高校自主招生暨强基计划数学真题合集.pdf

1、自主招生自主招生与与强基计划真题合集强基计划真题合集目录目录 .年年北京大学强基计划北京大学强基计划真题真题 .年北京大学高水平艺术团试题年北京大学高水平艺术团试题 .年北京大学自主招生试题年北京大学自主招生试题 .年北京大学金秋营试题年北京大学金秋营试题 .年北京大学冬令营试题年北京大学冬令营试题 .年北京大学冬令营试题年北京大学冬令营试题 .年北京大学博雅计划试题年北京大学博雅计划试题 .年北京大学博雅计划试题年北京大学博雅计划试题 .年北京大学夏令营试题年北京大学夏令营试题 .年北京大学夏令营试题年北京大学夏令营试题 .年北京大学夏令营试题年北京大学夏令营试题 .年北京大学夏令营试题年北

2、京大学夏令营试题 .年北京大学夏年北京大学夏令营试题令营试题 .年北京大学夏令营试题年北京大学夏令营试题 .年清华大学强基计划真题年清华大学强基计划真题 扫描二维码关注公众号：后台回复获取讲解答案.年清华大学“大中衔接”试题年清华大学“大中衔接”试题 .清华大学自主招生试题清华大学自主招生试题 .年清华大学冬令营试题年清华大学冬令营试题 .年清华大学领军计划试题年清华大学领军计划试题 .年复旦大学自主招生试题年复旦大学自主招生试题 .年上海交通大学自主招生试题年上海交通大学自主招生试题 .年上海交通大学自主招生试题年上海交通大学自主招生试题 .年中国科学技术大学创新班试题年中国科学技术大学创新

3、班试题 .年中国科学技术大学创新班试题年中国科学技术大学创新班试题 .年中国科学技术大学创新班试题年中国科学技术大学创新班试题 .年中国科学技术大学创新班试题年中国科学技术大学创新班试题 .年中国科学技术大学创新班试题年中国科学技术大学创新班试题 .年中国科学技术大学创新班试题年中国科学技术大学创新班试题 .年香港中文大学综合评价测试年香港中文大学综合评价测试 .年深圳莫斯科大学附加测试年深圳莫斯科大学附加测试 .年浙江大学自主招生试题年浙江大学自主招生试题 年北京大学强基计划真题年北京大学强基计划真题 1.正实数满足和，则的最小值等于（）A.B.C.D.前三个答案都不对 2.在的全体正因数中

4、选出若干个，使得其中任意两个的乘积都不是平方数，则最多可选因数个数为（）A.B.C.D.前三个答案都不对 3.整数列满足，且对任意有，则的个位数字是（）A.B.C.D.前三个答案都不对 4.设是方程的 个复根，则 的值为（）A.B.C.D.前三个答案都不对 5.设等边三角形的边长为，过点作以为直径的圆的切线交的延长线于点，则的面积为（）A.B.C.D.前三个答案都不对 6.设均不为，其中为整数，已知，成等差数列，则依然成等差数列的是（）A.，B.，C.，D.前三个答案都不对 7.方程的整数解的个数为（）A.B.C.D.前三个答案都不对 8.从圆上的点向椭圆：引切线，两切点间的的线段称为切点弦，

5、则椭圆内不与任何切点弦相交的区域的面积为（）A.B.C.D.前三个答案都不对 9.使得对所有的正实数都成立的实数 的最小值为（）A.B.C.D.前三个答案都不对 10.设为单位立方体上一点，则的最小值为（）A.B.C.D.前三个答案都不对 11.数列满足，且对任意的都有，其前项和为，则函数的最大值等于（）A.B.C.D.前三个答案都不对 12.设直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，则面积的最大值为（）A.B.C.D.前三个答案都不对 13.正整数称为理想的，若存在正整数使得，构成等差数列，其中为组合数，则不超过的理想数个数为（）A.B.C.D.前三个答案都不对 14.在中，依 次 为 边上 的

6、点，且，设,，则的值为（）A.B.C.D.前三个答案都不对 15.函数的最大值为（）A.B.C.D.前三个答案都不对 16.方程的实数根的个数为（）A.B.C.D.前三个答案都不对 17.凸五边形的对角线分别与对角线和交于点和，已知，的值等于（）A.B.C.D.前三个答案都不对 18.设，均为不超过的正整数，则有理根的多项式的个数为（）A.B.C.D.前三个答案都不对 19.满足任意有，且严格递增的数列的个数为（）A.B.C.无穷多个 D.前三个答案都不对 20.设函数，其中均为正实数，则有（）A.既有最小值也有最大值 B.有最大值但无最小值 C.有最小但无最大值 D.前三个答案都不对 年年

7、月月日北京大学高水平艺术团日北京大学高水平艺术团 招生文化课测试（回忆版）招生文化课测试（回忆版）前言：原题是前言：原题是 2020 道选择题，考试时间一个小时道选择题，考试时间一个小时，这里学生只回忆起了，这里学生只回忆起了 1616 道题道题 1.已知是的个根，求 的值 2.已知，在的延长线上，且；在上，且，求与的比值 3.双曲线：有一点在双曲线上，分别过点作渐近线平行线交 轴于，且在靠近原点的一侧，过点作 轴垂线交以为直径的圆于点，求的取值范围 4.正方体，分别为面，的中心，求与夹角的正弦值 5.四边形中，且，若四边形面积为，求的长 6.三角形，且，已知的面积为，求的最小值 7.求的最大

8、值与最小值之积 8.已知，求的取值范围 9.已知三角形中：，求的值 10.已知，求的值 11.直角中，为直角，作，到的中点距离为，又已知所在的中线长为，求 12.已知表示不超过 的最大整数，如：，等，求 的值 13.已知表示不超过 的最大整数，如：，等，现记为，求有几个交点 14.已知的三条边分别为，求边长为 所对应的中线的值在哪一个区间（）A.B.C.D.都不是 15.已知复数，求中有几个不同的数？A.B.C.D.都不是 16.平面上有个互不相交的圆，若该平面上的点不论往何种方向的射线都能与 个圆相交，问至少为多少？A.B.C.D.都不是 20192019 年北京年北京大学自主招生试题大学自

9、主招生试题 1.若，求满足不等式的 取值范围 2.复数满足，则由复数围成的面积是（）A.B.C.D.以上全错 3.从取出 个不同的数，分别记为，求和奇偶性相同的概率 4.正方形，为内一点，满足，则 A.B.C.D.以上错误 5.设，若为完全平方数，则数对有（）组 A.B.C.无穷多 D.以上全错 6.方程的根的个数为（）A.个 B.个 C.个 D.以上全错 7.设为椭圆上一点，为椭圆的左、右焦点，为的内心，若内切圆半径为，求的长度 8.已知数列满足：，求 年北京大学金秋营试题（考生回忆版）年北京大学金秋营试题（考生回忆版）第一天第一天 1.对于非负实数，考虑如下个实数 其中，记为这个数中所有正

10、数之和，在的条件下，求的最小值 2.在中，为的中点，分别为，中点，取外接圆，外接圆与射线，交于点，外接圆与射线，交于点，证明：若、共点，则、交点在上 3.数列满足：，已知，求证：，4.求 的最小值，使得将方格挖去 个格后，剩余图形不存在字形（字形指一个方格与其相邻的三个方格有公共边构成的图形）第二天第二天 5.内部取一点，直线，分别交对边于，若四边形，都有内切圆，求证：在内心和垂心所在直线上 6.若自然数可以写成若干个自己的不同的因数的和，其中有个为，就称为好数，证明：对任意大于，存在无穷个的正倍数为好数，且最小的倍数不大于，其中是最大的奇素因数（若为二的幂，则为）7.求证：，其中为素奇数，8

11、.求所有的，使得平面上有个完全相同的凸多边形，且满足对任意 个凸多边形，所有在他们之中且不在其余多边形中的点的集合为凸多边形（非退化）年北京大学物理学科冬令营试卷数学试题年北京大学物理学科冬令营试卷数学试题 一、单项选择题，共一、单项选择题，共小题小题 1.已知函数是偶函数，其图与 轴有 个交点，则的所有实数根之和是（）A.B.C.D.2.若，则的值为（）A.B.C.D.3.方程的两个实根分别为和，且，则的值为（）A.B.C.D.4.当，二次函数的最大值是（）A.B.C.D.5.方程表示的图形是（）A.两条平行直线 B.两条相交直线 C.两条平行线与一个圆 D.两条相交直线与一个圆 6.一个梯

12、形上下底的长度分别为 和，两条对角线的长度分别为 和，则梯形面积是（）A.B.C.D.7.设个数，的平均数为，的平均数为，的平均数为，则有（）A.B.C.D.8.设，则函数的取值范围是（）A.B.C.D.9.外接球的半径为 的正四面体的棱长为（）A.B.C.D.10.设为实函数，满足的实数称为的不动点，设，其中且，若恰有两个互不相同的不动点，则 的取值范围是（）A.B.C.D.11.设，是平面上两个彼此外切且半径不相等的定圆，动点与，均外切，则动点的圆心轨迹为（）A.直线 B.圆或椭圆 C.抛物线 D.双曲线的一支 12.考虑三维空间中任意给定的空间四边形，其中为四个顶点，四条直线段顺序首尾相

13、连，在 点的内角定义为射线与射线所成的角，其补角称为点的外角，其它顶点处类似，考虑这种空间四边形的外角和，则有（）A.B.C.D.相对于大小关系不确定，三种可能性都存在 13.定 义 函 数，则 此 函 数为（）A.B.C.D.14.有 副动物拼图，每幅一种颜色且各不相同，每幅都固定由同一动物的 个不同部分（如头、身、尾、腿）组成，现在拼图被打乱重新拼成了 副完整的拼图，但每一副都不是完全同色的，则符合上述条件的不同的打乱方式种数是（）A.B.C.D.15.设有，做它的内切圆，三个切点确定一个新的，再作的内切圆，三个切点确定，以此类推，一次一次不停的作下去可得得到一个三角形序列，它们的尺寸越来

14、越小，则最终这些三角形的极限情形是（）A.等边三角形 B.直角三角形 C.与原三角形相似 D.以上均不对 二、解答题二、解答题 1.设为圆周上依次排列的五个点，已知，求的长 2.集合，集合是集合的子集，中的元素个数为偶数，且中元素之和为奇数，求符合要求的集合的个数 3.求证：（1）（2）年北京大学生命科学冬令营试卷数学试题年北京大学生命科学冬令营试卷数学试题 1.已知函数是连续的偶函数，且当时，是严格单调函数，则满足的所有 之和是（）A.B.C.D.2.设集合，则与的关系是（）A.是在有理数集中的补集 B.是的真子集 C.是的真子集 D.以上均不对 3.方程的两个实根中一个大于，另一个小于，则

15、 的取值范围是（）A.B.C.D.4.设实数均不为，且满足，则的值为（）A.B.C.D.以上均不对 5.设，则（）A.B.C.D.6.设一个圆锥的底面面积为，它的侧面展开成平面图形后为一个半圆，则此圆锥的侧面积是（）A.B.C.D.7.设，且对任意，不等式恒成立，则实数 的取值范围是（）A.B.C.D.以上均不对 8.设，：，：，若是的必要而不充分条件，则的取值范围是（）A.B.C.D.9.设，把复数在复平面上对应的向量按顺时针旋转后得到的复数为，那么（）A.B.C.D.10.函数的最大值与最小值的和为（）A.B.C.D.11.设为任意的正整数，函数的取值也是正整数，且满足，则（）A.B.C.

16、D.12.设命题，其中是的充分条件，是的冲要条件，是的充分条件，是的必要条件，则是的（）A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 13.设直角梯形的高为，其两条对角线交点为，以它的两底中点的连线为直径的圆与此梯形的直腰相交于点和，则到和这两点的距离之和为（）A.B.C.D.以上均不对 14.一种正十二面的骰子，个表面分别写有 到的个数字，则扔一对这样的骰子，可能出现的结果种数是（）A.B.C.D.15.设实数，且，则与的大小关系（）A.B.C.D.以上均有可能 16.设，则的值为（）A.B.C.D.以上均不对 17.已知时，不等式恒成立，则实数 的取值范围是（）A.B

17、.C.D.不存在这样的 18.已知，且，则具有（）A.最大值 B.最小值 C.取不到最大值或最小值 D.以上均不对 19.设实数满足且，则之间的大小关系是（）A.B.C.D.不能比较大小 20.设的中线与相交于点，若四点共圆，则的值是（）A.B.C.D.不能确定 年北京年北京大学大学博雅博雅计划测试计划测试 1有个不同的元素，有放回地取，则在前五次内取到过相同元素的概率为（保留两位有效数字）（）A B C D以上选项都不对 2（高斯函数的定义），记，求的最小值（）3已知的所有正因数的乘积等于（为之间的正整数），问的个数（）A B C C以上选项都不对 4求使得成立的正整数的个数（）A B C无

18、穷多个 C以上选项都对 5已知非负实数满足，求的最大值（）A B C C以上选项都不对 6个人围坐在圆桌旁，从中任取 人，两两不相邻的概率是（）A B C D以上选项都不对 7已知互不相同的实数，对任意，则对任意，求（）A B C D以上选项都不对 8记表示为边长的整数，周长为且互不全等的三角形的个数，求（）A B C D以上选项都不对 9已知，求的最小值（）A B C D以上选项都不对 10已知为上的动点，则的最小值（）A B C D以上选项都不对 11求方程的实数根（）A B C D以上选项都不对 12 在面积为 的中，线段上各有一点，使得，记为的交点，求四边形的面积（）A B C D以上

19、选项都不对 13为实数，问的最小值属于以下哪个区间（）A B C D以上选项都不对 14已知为等差不为的等差数列，的坐标，过向直线做垂线，垂足为，求的最大值与最小值的乘积（）A B C D以上选项都不对 15从所有不大于的正整数中任取 个，均不相邻的选法有（）种 A B C D以上选项都不对 16组合数定义为，求（）A B C D以上选项都不对 17数列表示正整数除去完全平方数由小到大的排列，求（）A B C D以上选项都不对 年北京年北京大学大学博雅博雅计划测试计划测试 1若正整数满足，则使得的最大正整数是（）A B C D以上选项都不对 2满足的互不相似的一共（）个 A B C D以上选项

20、都不对 3 三角形满足一个内角是另一个内角的两倍，且边长为连续正整数，则三边长可能是（）A B C D以上选项都不对 4的值是（）A B C D以上选项都对 5由构造的数除以 的余数是（）A B C D以上选项都不对 6正整数使得也是正整数，则的最大值与最小值之差为（）A B C D以上选项都不对 7若四边形的对角线相交于，的周长相等，且，的内切圆半径分别为，则的内切圆半径是（）A B C D以上选项都不对 8之和共有（）个 A B C D以上选项都不对 9已知，则的最大值为（）A B C D以上选项都不对 10单位圆内接五边形的所有边长与对角线的平方和的最大值是（）A B C D以上选项都不

21、对 11若，则（）A B C D以上选项都不对 12设，则的大小关系是（）A B C D以上选项都不对 13现将正整数数列分成两组，使得两组中均不包含无穷等差数列，问上述分组数（）A B C无穷种 D以上选项都不对 14使得和个位数字相同的最小正整数是（）A B C D以上选项都不对 年北京大学优秀中学生暑期体验营综合测试年北京大学优秀中学生暑期体验营综合测试 数学试题（理）数学试题（理）年年 月月号号 1.判断函数是否为周期函数，如果是，求出最小正周期；如果不是，请说明理由 2.4.在方格表中，将若干格子染成黑色，求每行每列均恰有 个黑色格子的方法数 3.已知为不超过 的最大整数，求方程的解

22、集 4.对任意的正整数，证明：存在无穷个正整数为 的倍数，在十进制条件下，的最左位为 5.为正实数，为负实数，求证：存在，使得成立（）年北京大学优秀中学生暑期体验营综合测试年北京大学优秀中学生暑期体验营综合测试 数学试题（文）数学试题（文）年年 月月日日 1.已知正整数满足，求 2.证明双曲线的切线与渐近线的交点与双曲线的两个焦点四点共圆 3.判断函数是否为周期函数，如果是，求出最小正周期；如果不是，请说明理由 4.在方格表中，将若干格子染成黑色，求每行每列均恰有 个黑色格子的方法数 5.对任意的正整数，证明：存在无穷个正整数为 的倍数，在十进制条件下，的最左位为 年北京大学优秀中学生暑期体验

23、营综合测试年北京大学优秀中学生暑期体验营综合测试 数学试题数学试题 注：文科同学请做 至 题，理科同学请做 至 题 1.为正实数，求证：2.非负实数满足，求的最小值 3.已知函数实满足，试证明：是否存在整数使得是整数？如有，请写出所有符合条件的；若无，请说明理由 4.证明：不存在映射：，使 5.如下图所示，在等腰直角三角形中，过作的垂线，交于，求证：（请使用平面几何方法证明，解析几何方法不得分）6.实数满足，求的最大值和最小值 7.有条长为 的线段，每一条都被分成若干个小线段，证明：总可以从中选择 条组成个三角形 年北京大学优秀中学生暑期体验营综合测试年北京大学优秀中学生暑期体验营综合测试 数

24、学试题数学试题 注：文科同学请做 至 题，理科同学请做 至 题 1.已知，求的最小值 2.求证：抛物线的焦点发出的光线经抛物线反射后与抛物线对称轴平行 3.在中，已知，为的角平分线，为的中点，过作平行交于，求证：4.已知为无理数，求证：，均为有理数的的最大值 5.已知正实数列（）满足，求的整数部分 6.已知非负实数满足，求证：对任意正实数，都有 7.求方程的实数解：8.在平面凸四边形中，点在线段上，为的中点，且，求证：年北京大学优秀中学生暑期体验营综合测试年北京大学优秀中学生暑期体验营综合测试 数学试题数学试题 注：文科同学请做 至 题，理科同学请做 至 题 1.求函数的最大值 2.正实数满足

25、，求 的最小值 3.在中，证明：4.方程有整根，求 的所有可能值 5.正实数满足，证明：6.在数列中，其中是否存在项构成等差数列？7.给定整数，已知有一个无理根，证明：，使得对任意，有 年北京大学优秀中学生暑期体验营综合测试年北京大学优秀中学生暑期体验营综合测试 数学试题数学试题 注：文科同学请做 至 题，理科同学请做 至 题 1.已知在实数范围内有解，求 的取值范围 2.正数构成等差数列，问，是否构成等差数列 3.设为实数，证明：对于任意实数的恒成立，当且仅当 4.复数，满足，（），求 5.一直线与一双曲线交于两点，与该双曲线的渐近线交于两点，证明：6.设锐角满足，求 7.已知三角形面积为，

26、为线段上的点，为线段上一点，记，已知，求的最大值以及对应的值 年北京大学优秀中学生暑期体验营综合测试年北京大学优秀中学生暑期体验营综合测试 数学试题数学试题 注：文科同学请做 至 题，理科同学请做 至 题 1.已知，求的值 2.已知中，为上一点，求 的取值范围 3.为正实数，求的最大值 4.求整系数多项式使 5.是椭圆上的点，与两焦点连线的夹角为，求焦点三角形的面积 6.证明：7.为三角形三边且，其中 为实数，求证：或 年清华大学强基计划年清华大学强基计划真题真题 注：下面试题来自学生的回忆，整理了一下，推送出来分享给大家，题目也许会有一些错误，注：下面试题来自学生的回忆，整理了一下，推送出来

27、分享给大家，题目也许会有一些错误，欢迎大家指正！欢迎大家指正！1.已知，求的最值 A.B.C.D.2.非等边三角形中，分别为的外心和内心，在上且，下列选项正确的是（）A.四点共圆 B.C.四点共圆 D.3.已知集合均为子集，且，问有序的集合组的个数是（）A.B.C.D.4.已知数列满足，（），则的值可能为（）A.可以等于 B.可以等于 C.可以等于 D.可以等于 5.已知为椭圆上一点，则的最大值为（）A.B.C.D.6.已知三条边长均为整数，且面积为有理数，则可能值有（）A.B.C.D.7.已知为双曲线上一点，令，的面积为，则下列表述式为定值的是（）A.B.C.D.8.甲、乙、丙一起做一道题，

28、甲说“我做错了”，乙说“甲做对了”，丙说“我做错了”，而事实上仅有一人做对题目且仅有一人说谎了，那么谁有可能作对了题目（）A.甲 B.乙对 C.丙对 D.没有人 9.在直角中，以下正确的是（）A.B.C.D.10.求值：（）A.B.C.D.11.从这十个数中任取五个数组成一个五位数（可以为）位或位，则概率是（）A.B.C.D.12.随机变量，满足，且，则（）A.B.C.D.13.已知向量满足，则的最值为（）A.最大值为 B.最大值为 C.最小值为 D.最小值为 14.，下列说法正确的是（）A.与可以均为完全平方数 B.与可以均为完全平方数 C.与可以均为完全平方数 D.与可以均为完全平方数 1

29、5.求值：A.B.C.D.16.正四棱锥中，相邻两侧面夹角为，侧棱与底面夹角为，则（）A.B.C.D.17.已知函数（），则最大值与最小值之和为（）A.B.C.D.18.已知函数的图像如图所示，记，（），及 轴围成曲边梯形面积记为，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.19.定义数列，若对于，使得，则称数列为“好数列”，以下正确的是（）A.若，则数列为“好数列”B.若（为常数），则数列为“好数列”C.存在任意的两项均不相同的好数列，且对于任意，D.对于任意的等差数列，存在“好数列”，使得对于任意，有 20.求值：（）A.B.C.D.年年清华大学“大中衔接”试题清华大学“大中衔接”试题 1.设指

30、数两两不同，系数不全为零，证明：在上至多个零点 2.设：是连续函数，证明：证明：由于是的偶函数，只需证明右极限版本 3.设整数，证明：至多只有有限个正整数，使得方程 有非零整数解 4.设是单位球面上三个不同点且都位于第一象限中，对于任何两个不同的点，只要不是的直径，则平面与的交集是上的一个圆周，将此圆周分成两段弧，将其中较短的那段弧记为，设弧，的中点分别为，证明：弧经过同一个点 5.设共有个不同的字母，可用它们构成单词，给定一族（记为）禁用单词，其中任何两个禁用单词长度不等，称一个单词是可用的，如果它不含有连续一段字母恰为某禁用单词，证明：至少有个长为的可用单词 6.设是正整数，集合是的子集，

31、满足对任何都有，证明：年年清华大学自主招生试题（部分）清华大学自主招生试题（部分）1.一个四面体棱长分别为，求外接球的半径 2.求值：备注：听说真题是这一道：备注：听说真题是这一道：求值：3.已知为单位圆上一动点，求的最大值 4.为圆的直径，为中点，则下列选项正确的是（）A.B.C.D.忘记 5.，是到的映射，若满足，则称有序对为“好对”，求“好对”的个数最小值 6.若对，使得成立，则称函数满足性质，下列函数不满足性质的是（）A.B.C.D.7.已知，若，求的最大值 8.椭圆，过的直线交椭圆于两点，点在直线上，若为正三角形，求的面积 9.圆上一点处的切线交抛物线于两点，且满足，其中为坐标原点，

32、求 10.设 为各位数字和，是 的各位数字之和，为 的各位数字之和，求 的值 11.实数满足，求的最大值和最小值 12.数列满足：，则（）A.单调递增 B.无上界 C.忘记 D.13.若正实数满足，则的最小值为 14.设，求最小值 15.设，则方程的解的个数为 16.若实数满足，求的取值范围 17.在直三棱柱中，已知，动点在线段上，求的最小值 年清华大学人文社科冬令营数学试题年清华大学人文社科冬令营数学试题 注：测试共题，其中题为单项选择题，题为填空题，为解答题，试题为回忆版，部分题目未收录，部分问题不确定是选择题还是填空题 一、选择题一、选择题 1.一摩天轮的底部距离地面 米，摩天轮半径长为

33、米，运转一周需要分钟，问摩天轮运转一周过程中，人在距离底面米及以上的总时长（）A.分钟 B.分钟 C.分钟 D.分钟 2.在中，成等比数列，所对角为，则的取值范围（）A.B.C.D.3.如图所示，分别为正方体某三条棱的中点（参考图片），问面被正方体截得的平面是（）边形 A.B.C.D.4.数列满足：，则的最大值为 5.在的表格中填入（每个数字各出现一次），要求每行从左至右递增，每列从上至下递增，和 的位置给出（参考下表），问表格有几种可能的填法？6.记表示不超过 的最大整数，如，求方程所确定的所有在平面直角坐标系中的面积为 7.从圆周上任取三点，形成锐角三角形的概率为 8.将二进制小数转化为十

34、进制的结果是 9.函数的零点个数为 10.为定义在实数集上的增函数，且满足，则 11.半径为 的球面上有不共面的四个点，满足，则 12.已知抛物线及其焦点，与连线段的中垂线为该抛物线的切线，则点的轨迹方程为 13.如下图所示，在边长为 的正方体中，为中点，为上底面的两点，满足，（1）与的关系是 （2）若允许，在正方体的整个表面运动，则的最小值为 二、解答题二、解答题 16.函数，为函数曲线上横坐标为的定点，和为函数曲线上的动点，满足（1）直接写出的定义域和单调区间（2）对于任意，满足题意的是否存在？若存在，结果是否唯一？（3）记（），问何时取得最大值？17.抛物线（）的焦点为，过抛物线外一点作

35、抛物线的切线，切点分别记为和（1）证明：的方程为（2）证明：（3）证明：年年清华大学领军计划测试清华大学领军计划测试 注：注：年领军计划数学试题为不定选项，以下题目为回忆版本，部分问题选项缺失年领军计划数学试题为不定选项，以下题目为回忆版本，部分问题选项缺失 1均为素数，且为整数，则（）A中一定有一个是 B中一定有一个是 C一中定有两个数相等 D也为素数 2均为素数，且平均数为，则（）A中位数最大为 B中位数最大为 C中位数最小为 D中位数最小为 3整数满足，则这样的有几组（）A B C C 4 在棱形中，为延长线上一点，与三角形外接圆交于，则（）A四点共圆 B四点共圆 C四点共圆 C四点共圆

36、 5为椭圆上的动点，过做切线交圆于，过做切线交于，则（）A的最大值为 B的最大值为 C的轨迹是 C的轨迹是 6实数满足，则（）A最小值为 B最小值为 C最大值为 D最大值为 7为正实数，则的最大值为（）A B C D 8将长为 的线段随机截成三段，则它们构成三角形的概率为 9 个互补相等的素数排成一排，任意相邻的 个和均大于，则这 个素数的和的最小值为 10实数满足，则的最大值为 11在中，斜边上有一点，使得，为上一点，使得，则 12为两个随机事件，则的充要条件是（）A B C D独立 13已知为和为 的 个非负实数，记，则的最小值为（）A B C D 14记，则为（）A B C D 15记，

37、过点可作的三条切线，则（）A B C或 D 16 个人站成一排拍照，从其中任选 人，则他们互不相邻的概率为（）A B C D 17 已知椭圆和圆上各有一个动点，则的最大值为（）A B C D 18求的值（）A B C D 19已知，的最大值为，最小值为，则为（）A B C D 20已知复数满足：，且，则下列选项正确的是（）A B C D 21英国、法国、意大利、巴西、西班牙和德国六个国家参加足球比赛，甲乙丙对话：甲说：意大利和西班牙肯定不是冠军；乙说：冠军肯定出自法国或德国；丙说：巴西肯定不是冠军；已知这三人说的话，恰有两人正确、一人错误，则冠军球队是哪个国家（）A巴西 B德国或法国 C英国

38、D意大利或西班牙 22数列满足：，（），则下列选项正确的是（）A B C D 23为三角形的内角，已知均为整数，则的可能值为（）A B C D 24数列满足：，记，则的表达式为（）A B C D 25若参数使得对任意非负实数恒成立，则下列选项正确的是（）A若，则的最大值为 B若，则不存在最小值 C“的最大值为”的充要条件是“”D若，则的最小值为 26有一个三棱锥，其中一个面为边长为 的正三角形，有两个面为等腰直角三角形，则该几何体的体积可能是（）A B C D 27复数 满足，下列选项正确的是（）A B C D 28向量的模长为正整数，且，则（）A B C D 29若函数满足：对于任意三角形的

39、三边长，也能构成三角形三边长，则称具有性质，则（）A具有性质 B不具有性质 C.当（）具有性质时，D.当（）具有性质时，年复旦大学自主招生试题（回忆版）年复旦大学自主招生试题（回忆版）1.直线：和：，有（）A.和可能重合 B.和不可能垂直 C.存在上一点使以为中心旋转后与重合 D.以上都不对 2.：，（）A.B.C.D.3.已知实数满足，那么的最小值为 4.已知为三角形的内心，且满足，求的最大值 5.？A.B.C.D.6.在抛物线中，过焦点的弦交抛物线于，且有，准线与 轴交于点，作到准线的垂线，垂足为，则当四边形的面积为时，的值为 7.抛物线焦点为，其上一点的切线与夹角为，求的横坐标（）A.B

40、.C.D.忘记了 8.已知为直线上一点，且到点和的距离相同，则点的坐标为 9.已知随机变量，且，连接点，与原点，那么的概率为 10.（）A.B.C.D.以上均不对 11.已知三棱锥的体积为，且，则的长度 12.在中，则边上的中线长度为 13.若，则的图像大致为 14.定义，那么已知集合：与：，则 15.方程有几组非负整数解的组数为（）A.B.C.D.16.已知，且，满足，则的值为（）A.B.C.忘记了 D.忘记了 17.设，若，则的值为（）A.B.C.D.与 有关 18.如图所示凸四边形，则条件是条件的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 19.如

41、图，平面中两条直线 与相交于点，对于平面上任意一点，若分别是到直线 和的距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”，已知常数，给出下列三个命题：若，则“距离坐标”为的点有且仅有 个 若且，则“距离坐标”为的点有且仅有 个 若，则“距离坐标”为的点有且仅有 个 上述命题中，正确的命题个数为（）A.B.C.D.20.函数的反函数为，那么在上的最大值和最小值的和为（）A.B.C.D.21.已知，直线与和坐标轴围成的四边形面积的取值范围为 22.如图所示四点共圆，且，则的长度为 A.B.忘记了 C.忘记了 D.忘记了 23.向 量 数 列满 足，且，令，则当取到最大值时，的值为（）A.B.C.D.或

42、24.“题目中给出了 个函数，其中 个为奇函数，个为偶函数”，在这 个函数中任取 个，其中既有奇函数又有偶函数的概率为 25.下列不等式恒成立的是（）A.B.C.忘记了 D.26.点绕点逆时针转，得到的点为 27.实数满足，若的值与无关，则 的取值范围是 28.某公司安排甲、乙、丙等七人完成除夕到大年初六共七天的值班任务，每人负责一天，但甲不能在除夕，乙不能在大年初一，甲和丙在相邻两天值班，这样的安排方式共有（）种 29.已知，若，则在能确定的参数是 30.若三次方程有一个根是纯虚数，则 31.展开式中，常数项为 32.33.方程所表示的曲线形状为是 年上海交通大学自主招生试题（部分）年上海交

43、通大学自主招生试题（部分）1.函数的定义域为，若，则函数的定义域为 2.已知方程，则下列判断：（1）方程没有正数解；（2）方程有无穷多个解；（3）方程有一个正数解；（4）方程的实根小于，其中错误的判断有 3.小于的正整数中，既不是 的倍数也不是 的倍数的整数有 个 4.已知边长为 的正三角形，分别在边，上，满足，连接，则和的夹角为 5.的顶点坐标分别为，则角的平分线所在的直线方程为 6.从 个红球，个黑球，个白球中任意取 个，有 种不同的 qufa 7.已知过，则 8.过抛物线（）的焦点作直线交抛物线于，两点，若，横坐标之和为，则直线的条数为 9.用同样大小的正边形平铺整个平面（没有重叠），若

44、要将平面铺满，则的值为 10.若三条直线，将平面划分成 个部分，则 可能的取值情况是（）A.只要唯一值 B.有两个不同值 C.有三个不同值 D.无穷多个值 11.非零实数，若，成等差数列，则下列不等式不成立的是（）A.B.C.D.12.函数定义域为，若对任意的，都存在唯一的，使得，则称在上和为，下列函数中和为 的函数有 个 13.若集合中任意两个元素的和差积商的运算结果都在中，则称是封闭集合，下列集合：（1）；（2）；（3）；（4）中，封闭集合的个数为 14.方程的正整数解有 15.若，且满足，则 16.若四面体的各个顶点到平面距离都相等，则称平面为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面的个数

45、为 17.设是函数在区间上的最大值，则的最小值为 18.立方体 个顶点任意两个顶点所在的直线中，异面直线共有 对 19.空间三条直线两两异面，则与三条直线都相交的直线有 条 20.用平面截一个单位正方体，若截面是六边形，则此六边形周长的最小值为 21.矩形的边，过，作直线的垂线，垂足分别为，且，分别为的三等分点，沿着将矩形翻折，使得二面角成直角，则长度为 22.平面上给定 个点，任意三点不共线，过任意两点作直线，已知任意两条直线既不平行也不垂直，过 点中任意一点向另外四点的连线作垂线，则所有这些垂线的交点（不包括已知的 点）个数至多有 个 23.实数满足，则 24.甲、乙、丙三人的职业分别是，

46、乙的年龄比大，丙的年龄和不同，比甲的年龄小，则甲乙丙的职业分别为（）A.B.C.D.25.函数，的最小值是 年上海交通年上海交通大学自主招生试题大学自主招生试题 1.已知，且，求 2.已知，若，试比较的大小 3.已知方程各个实根为，若点均在直线同侧，求 的取值范围 4.已知复数 满足，且，求负实数 的值 5.若方程的三个根可以作为三角形的三边长，求的范围 6.对于，若，求的最小值 7.已知数列满足：，若，求的最小值 8.设展开式中 奇次幂的项的和为，求 9.已知不全为，求最大值 10.已知的面积为，在线段上，在线段上，在线段上，且满足，若，求的面积的最大值 11.对定义域内任意的，若满足，则称

47、 为凸函数，下列函数是凸函数的是（）A.B.D.D.12.已知复数所对应的点为，若，且满足，求的面积 13.实数满足，求最大值 14.在中，满足，求 15.数列是的末两位数，求 16.为的外心，到三边的距离分别为，则（）17.定义平面上两点的折线距离为，若平面上一点到，的折线距离之和最小，则点坐标为 18.已知，则的充要条件是（）A.B.C.D.年中国科学技术大学创新班初试数学试卷年中国科学技术大学创新班初试数学试卷 一、一、填空题填空题 1.函数的值域是 2.若且，则 3.若函数与的图像关于直线对称，则 4.在平面直角坐标系中，设是坐标原点，定点，动点满足且，则的最大值是 5.若椭圆d 的一

48、条切线 与 轴相交于点，则 与两坐标轴所围成的三角形面积是 6.设三个正整数满足且，则 7.的展开式中的系数是 8.从中随机选取 个不同的数，并从小到大排列，则它们构成等差数列的概率为 二、二、为测量远处一座山峰相对于水平地面的高度，测量者选取了水平地面上三点，分别测量了直线与水平地面的夹角，其中是山峰的顶点，已知是的中点，求（用表示）三、三、设，是满足以下两个条件的数列，的个数：（i）每个都是 或，（ii）当时，任意相邻两项的乘积（1）求 （2）求 四、四、（1）求的单调区间和最大值（2）设并且，求证：，其中 是自然对数的底数 年中国科学技术大学创新班初试数学试卷年中国科学技术大学创新班初试

49、数学试卷 一、一、填空题填空题 1.被除的余数是 2.设复数，满足，则 3.对任意实数 均有，则实数 的取值范围是 4.已知的三个内角满足，则的最大值是 5.设，则与的大小关系是 6.记为中 所有 元素 之和，满 足被整 除但 不被整 除 的非 空集合共有 个 7.设是梯形，过对角线与的交点作的平行线交于，过与的交点作的平行线交于，如此继续下去，若，则 8.设是与最接近的整数，则 二、二、设正数满足，求证：三、三、设是正整数集合，求所有满足以下性质的函数：对于任何正整数都有 四、四、求方程的所有非负整数解 年中国科学技术大学创新班初试数学试卷年中国科学技术大学创新班初试数学试卷 一、一、填空题

50、填空题 1.函数与的图像共有 个交点 2.设是正整数，方程共有 组整数解 3.已 知 映 射既 是 单 射 又 是 满 射，并 且 满 足，则 4.函数的取值范围是 5.设是等边三角形，直线交于点，则 6.设正四棱锥的底面边长和高都是，点分别在线段上，则的最小值为 7.设复数 满足，则 的实部的最小值为 8.从正方体的条棱选出 条两两不相交的棱，共有 种选法 二、二、设的外接圆半径是，角所对的边分别为满足，（1）证明角是常值，并求角；（2）求的取值范围 三、三、设椭圆：（1）求点处椭圆的切线方程（2）设点在椭圆上，在双曲线上，证明：四、四、设实数，满足，证明：若，则存在实数 使得，年中国科学技