1、7.3基本不等式及其应用,高考数学,1.基本不等式如果a,b是正数,那么?(当且仅当a=b时取等号).2.几个重要的不等式(1)a2+b22ab(a,bR).(2)?+?2(a,b同号).(3)ab?(a,bR+).,知识清单,(4)?(a,bR+).,拓展延伸1.“和定积最大,积定和最小”,即n(n=2,3,)个正数的和为定值,则可求其积的最大值;积为定值,则可求其和的最小值.2.基本不等式是几个正数和与积转化的依据,不但可直接解决和与积的不等问题,而且通过结合不等式性质、函数单调性等还可解决其他形式的不等式问题.如:和与平方和、和与倒数和、和与根式和、和与两数之积之和等.3.利用基本不等式
2、求最值的变形技巧凑、拆、除、代、解.,(1)凑:凑项,例:x+?=x-1+?+12+1=3(x1);凑系数,例:x(1-3x)=?3x(1-3x)?=?;(2)拆:例:?=?=x+3+?=x-3+?+62?+6=12(x3);(3)除:例:?=?1(x0);(4)代:例:已知a0,b0,a+b=1,求?+?的最小值.解析:?+?=?+?=1+?+?+12+2=4.(5)解:例:已知a,b是正数,且ab=a+b+3,求a+b的最小值.解析:ab,?a+b+3,即?(a+b)2-(a+b)-30,解得a+b6(a+b-2舍去).,利用基本不等式求最值问题1.利用基本不等式可以求一些函数或代数式的最
3、大值或最小值,其基本法则如下:(1)已知x,yR+,若x+y=P(定值),当且仅当x=y时,积xy取得最大值?P2;(2)已知x,yR+,若xy=S(定值),当且仅当x=y时,和x+y取得最小值2?.2.利用基本不等式求最值应满足的三个条件:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取到使等号成立的值.简记:一正、二定、三相等.,方法技巧,如果解题过程中不满足上述条件,可以进行必要、合理的拆分或配凑因式,以满足以上三个条件.3.利用基本不等式求函数的最值,关键在于将函数变形为两项和或积的形式,然后用基本不等式求出最值.条件最值的求解通常有两种方法:一是将条件灵活变形,利
4、用常数代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值;二是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为求函数的最值.例1(1)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是.(2)(2016江苏南通中学检测,12)若a0,b0,且?+?=1,则a+2b的最小值为.(3)(2017江苏苏北四市期中)已知正数a,b满足?+?=?-5,则ab的最小值为.,解析(1)由x+3y=5xy,得?+?=5(x0,y0),则3x+4y=?(3x+4y)?=?=?(13+12)=5,当且仅当?=?,即x=2y时,“=”成立.此时,由?解得?故填5.(2)设a+2b=t
5、,则a=t-2b.,a0,b0,?+?=1,?+?=1,即?+?=1.?=1-?=?.从而2t-3b=?=1+?,即2t=3b+?+12?+1=2?+1?,t?.故a+2b的最小值为?.(3)a,b为正数,?+?2?,?-52?,即?-5?-60,?6,ab36,当且仅当b=9a时取等号,因此ab的最小值为36.,答案(1)5(2)?(3)36,基本不等式的实际应用应用基本不等式解决实际问题的步骤:(1)仔细阅读题目,透彻理解题意;(2)分析实际问题中的数量关系,引入未知数,并用它表示其他的变量,把要求最值的变量设为函数;(3)应用基本不等式求出函数的最值;(4)还原实际问题,作出解答.例2(
6、2016江苏泰州中学质检)某企业投入81万元经销某产品,经销时间共60个月,市场调研表明,该企业在经销这个产品期间第x个月的利润f(x)=?(单位:万元).为了获得更多的利润,企业将每月,获得的利润再投入到次月的经营中.记第x个月的当月利润率g(x)=?,例如g(3)=?.(1)求g(10);(2)求第x个月的当月利润率;(3)求该企业经销此产品期间,哪一个月的当月利润率最大,并求出该月的当月利润率.,解析(1)依题意得f(1)=f(2)=f(3)=f(9)=f(10)=1,g(10)=?=?.(2)当x=1时,g(1)=?,当1?,当x=40时,g(x)取得最大值?.即该企业经销此产品期间,
7、第40个月的当月利润率最大,其当月利润率为?.,不等式恒成立问题恒成立问题是不等式与参数问题的典型代表,解此类问题主要有以下三种方法:1.函数法设f(x)=ax2+bx+c(a0).(1)f(x)0在xR上恒成立?a0且0时, f(x)0在x,上恒成立?或?或?f(x)f(x)max;ag(x)对一切xI恒成立?f(x)的图象在g(x)的图象的上方.例3若不等式x+2?a(x+y)对任意的实数x,y(0,+)恒成立,则实,数a的最小值为.,解析由题意得a?=?恒成立.令t=?(t0),则a?.再令1+2t=u(u1),则t=?,故a?=?.因为u+?2?(当且仅当u=?时等号成立),故u+?-22?-2,从而0?=?,故a?,即amin=?.,答案,
