全国高中数学联赛真题及答案（2011-2020）.doc

1、目录2020 年全国高中数学联赛一试 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12020 年全国高中数学联赛二试 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42020 年全国高中数学联赛一试 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62020 年全国高中数学联赛二试 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2、 . . . . . . . . . . 92019 年全国高中数学联赛一试 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112019 年全国高中数学联赛二试 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142019 年全国高中数学联赛一试 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162019 年全国高中数学联赛二试 (B 卷) . . . . . .

3、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192018 年全国高中数学联赛一试 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212018 年全国高中数学联赛二试 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242018 年全国高中数学联赛一试 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262018 年全国高中数

4、学联赛二试 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292017 年全国高中数学联赛一试 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312017 年全国高中数学联赛二试 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352017 年全国高中数学联赛一试 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5、 . . . . . 372017 年全国高中数学联赛二试 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402016 年全国高中数学联赛一试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422016 年全国高中数学联赛二试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452015 年全国高中数学联赛一试 . . . . . . . . . . . .

6、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472015 年全国高中数学联赛二试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502014 年全国高中数学联赛一试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522014 年全国高中数学联赛二试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552013 年全国

7、高中数学联赛一试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572013 年全国高中数学联赛二试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602012 年全国高中数学联赛一试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622012 年全国高中数学联赛二试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8、. . . . . . . . . . . 652011 年全国高中数学联赛一试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672011 年全国高中数学联赛二试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702020 年全国高中数学联赛一试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722020 年全国高中数学联赛二试答案 (A 卷) . . . .

9、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782020 年全国高中数学联赛一试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842020 年全国高中数学联赛二试答案(B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892019 年全国高中数学联赛一试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932019 年全国高中数学联赛二试答案 (A 卷) .

10、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972019 年全国高中数学联赛一试答案(B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012019 年全国高中数学联赛二试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052018 年全国高中数学联赛一试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092018 年全国高中数学联赛二试

11、答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1142018 年全国高中数学联赛一试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1182018 年全国高中数学联赛二试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1222017 年全国高中数学联赛一试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1252017

12、 年全国高中数学联赛二试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1332017 年全国高中数学联赛一试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1412017 年全国高中数学联赛二试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1472016 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13、 . . . 1532016 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1602015 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1642015 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1702014 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . .

14、 . . . . . . . . . . . . . 1752014 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1842013 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1892013 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1942012 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . .

15、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1982012 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2072011 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2112011 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2212020 年全国高中

16、数学联赛一试 (A 卷)一、 填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分.1. 在等比数列 an 中,a9 = 13, a13 = 1, 则 loga1 13 的值为 .2. 在椭圆 中，A 为长轴的一个端点，B 为短轴的一个端点，F1, F2 为两个焦点，若 AF2 + BF BF2 = 0, 则 |AB|的值为 1003. 设 a 0，函数 f(x) = x + 在区间 (0, a 上的最小值为 m1，在区间 a, +) 上的x最小值为 m2，若 m1m2 = 2020，则 a 的值为 .4. 设 z 为复数，若z 2 z i为实数（i 为虚数单位），则 |z + 3| 的

17、最小值为 .5. 在 ABC 中，AB = 6，BC = 4，边 AC 上的中线长为 10，则 sin6值为 A2+ cos6A2的6. 正三棱锥 P ABC 的所有棱长均为 1，L, M, N 分别为棱 P A, PB, PC 的中点，则该 正三棱锥的外接球被平面 LMN 所截的截面面积为 7. 设 a, b 0，满足关于 x 的方程 p|x| + p|x + a| = b 恰有三个不同的实数解 x1, x2, x3，且 x1 x2 x3 = b，则 a + b 的值为 8. 现有 10 张卡片，每张卡片上写有 1, 2, 3, 4, 5 中两个不同的数，且任意两张卡片上的数不完全相同将这

18、10 张卡片放入标号为 1, 2, 3, 4, 5 的五个盒子中，规定写有 i, j 的卡片只能放在 i 号或 j 号盒子中一种方法称为“好的”，如果 1 号盒子中的卡片数多于其他每个盒子中的卡片数，则“好的”放法共有 种二、 解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 其中第 9 题满分 16 分，第 10、11 题满分 20 分.9. 在 ABC 中，sin A =2，求 cos B + 2 cos C 的取值范围210. 对正整数 n 及实数 x（0 6 x 3，设 a1, a2, , a2n, b1, b2, , b2n 是 4n 个非负实数

19、，满足a1 + a2 + + a2n = b1 + b2 + + b2n 0,且对任意 i = 1, 2, , 2n，有 aiai+2 bi + bi+1（这里 a2n+1 = a1，a2n+2 = a2，b2n+1 = b1），求 a1 + a2 + + a2n 的最小值三、 设 a1 = 1，a2 = 2，an = 2an1 + an2，n = 3, 4, 证明：对整数 n 5，an 必有一个模 4 余 1 的素因子四、 给定凸 20 边形 P用 P 的 17 条在内部不相交的对角线将 P 分割成 18 个三角形所得图形称为 P 的一个三角剖分图对 P 的任意一个三角剖分图 T，P 的 2

20、0 条边以及添加的 17 条对角线均称为 T 的边T 的任意 10 条两两无公共端点的边的集合称为 T的一个完美匹配当 T 取遍 P 的所有三角剖分图时，求 T 的完美匹配个数的最大值2020 年全国高中数学联赛一试 (B 卷)一、 填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分.1. 若实数 x 满足 log2x = log4(2x) + log8(4x)，则 x = 2. 在平面直角坐标系 xOy 中 ，圆 经过点 (0, 0), (2, 4), (3, 3)，则 圆 上的点到原点的距离的最大值为 3. 设集合 X = 1, 2, , 20，A 是 X 的子集，A 的元素个数至

21、少是 2，且 A 的所有元素 可排成连续正整数，则这样的集合 A 的个数为 4. 在三角形 ABC 中，BC = 4，CA = 5，AB = 6，则 sin6A2+ cos6A2= 5. 设 9 元集合 A = a + bi | a, b 1, 2, 3 ，i 是虚数单位 = (z1, z2, , z9) 是 A 中所有元素的一个排列，满足 |z 9|，则这样的排列 的个数为 1| 6 |z2| 6 6 |z6. 已知一个正三棱柱的各条棱长均为 3，则其外接球的体积为 7. 在凸四边形 ABCD 中，BC = 2AD点 P 是四边形 ABCD 所在平面上一点，满足PA + 2020PB + P

22、C + 2020PD = 0 .设 s, t 分别为四边形 ABCD 与 P AB 的面积，则ts= 8. 已知首项系数为 1 的五次多项式 f(x) 满足：f(n) = 8n，n = 1, 2, , 5，则 f(x) 的一次项系数为 二、 解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 其中第 9 题满分 16 分，第 10、11 题满分 20 分.9. 在椭圆中，A 为长轴的一个端点，B 为短轴的一个端点，F1, F2 为两个焦点若AF1 AF BF2 = 0,2 + BF1 求 tan ABF1 tan ABF2 的值10. 设正实数 a, b,

23、c 满足求1a+2b+3c的最小值a2 + 4b2 + 9c2 = 4b + 12c 2,11. 设数列 an 的通项公式为an =5 2 !n11 + 5 2 !n!, n = 1, 2, .1 5证明：存在无穷多个正整数 m，使得 am+4am 1 是完全平方数2020 年全国高中数学联赛二试 (B 卷)一、 如图，A, B, C, D, E 是圆 上顺次的五点，满足 ABC = BCD = CDE，点 P, Q 分别在线段 AD, BE 上，且 P 在线段 CQ 上证明：P AQ = P EQCDPBQA E二、 设集合 A = 1, 2, , 19是否存在集合 A 的非空子集 S1,

24、S2，满足 S1 S2 = ，S1 S2 = A； S1, S2 都至少有 4 个元素； S1 的所有元素的和等于 S2 的所有元素的乘积？证明你的结论三、 给定整数 n 2设 a1, a2, , an, b1, b2, , bn 0，满足a1 + a2 + + an = b1 + b2 + + bn,且对任意 i, j（1 6 i bi + bj求 a1 + a2 + + an 的最小值四、 设 a, b 为不超过 12 的正整数，满足：存在常数 C，使得 an + bn+9 C (mod 13) 对任 意正整数 n 成立求所有满足条件的有序数对 (a, b)2019 年全国高中数学联赛一试

25、 (A 卷)一、 填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分.1. 已知正实数 a 满足 aa = (9a) a 3a 的值为 8a，则 log2. 若实数集合 1, 2, 3, x 的最大元素和最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则 x的值为 3. 平面直角坐标系中，e 是单位向量，向量 a 满足 a e = 2，且 | 2 6 5 | a + te |a |对任意实数 t 成立，则 | a | 的取值范围是 4. 设 A, B 为椭圆 的长轴顶点，E, F 为 的两个焦点，|AB| = 4，|AF| = 2 + 为 上一点，满足 |PE| |PF| = 2，则 PEF 的

26、面积为 3，P5. 在 1, 2, 3, , 10 中随机选出一个数 a，在 1, 2, 3, , 10 中随机选取一个数 b，则 a2 + b 被 3 整除的概率是 6. 对任意区间 I，用 MI 表示函数 y = sin x 在 I 上的最大值若正实数 a 满足 M0,a =2Ma,2a，则 a 的值为 7. 如图，在正方体 ABCD EF GH 的一个截面经过顶点 A, C 及棱 EF 上一点 K，且EK将正方体分成体积比为 3 : 1 的两部分，则 的值为 KF8. 将 6 个数 2, 0, 1, 9, 20, 19 按任意次序排成一行，拼成一个 8 位数（首位不为 0），则产生的不同

27、的 8 位数的个数为 二、 解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 其中第 9 题满分 16 分，第 10、11 题满分 20 分.9. 在 ABC 中，BC = a, CA = b, AB = c若 b 是 a 与 c 的等比中项，且 sin A 是sin (B A) 与 sin C 的等差中项，求 cos B 的值10. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 与抛物线 : y2 = 4x 恰有一个公共点，且圆 与 x轴相切于 的焦点 F求圆 的半径11. 称一个复数列 zn 是” 有趣的”，若 |z1| = 1，且对任意正整数 n，均有 4z 2

28、znzn+1 + zn2 = 0求最大的常数 C，使得对一切有趣的数列 zn 及任意正整数 m，均2n+1 +有 |z1 + z2 + + zm| C2019 年全国高中数学联赛二试 (A 卷)一、 如图，在锐角 ABC 中，M 是 BC 边的中点，点 P 在 ABCC 内，使得 AP 平分BAC直线 MP 与 ABP，ACP 的外接圆分别相交于不同于点 P 的两点 D, E证明：若 DE = MP，则 BC = 2BP二、 设整数 a1, a2, , a2019 满足 1 = a1 6 a2 6 6 a2019 = 99记 f = (a2 2 21 + a 1a3 + a2a4 + a3a5

29、 + + a2017a2019)求 f 的最小值 f0并确定使 f = f0 成立的数组 (a1, a2, , a2019) 的个数三、 设 m 为整数，|m| 2整数数列 a 均有 an+2 = an+1 ma1, a2, . . . 满足：a1, a2 不全为零，且对任意正整数 n，n 证明：若存在整数 r, s（r s 2）使得 ar = as = a1，则 r s |m|四、 设 V 是空间中 2019 个点构成的集合，其中任意四点不共面某些点之间连有线段，记E 为这些线段构成的集合试求最小的正整数 n，满足条件：若 E 至少有 n 个元素，则E 一定含有 908 个二元子集，其中每个

30、二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集2019 年全国高中数学联赛一试 (B 卷)一、 填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分.1. 已知实数集合 1, 2, 3, x 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则 x 的值为 2. 若平面向量 a = (2m, 1) 与 b = (2m 1, 2m+1) 垂直，其中 m 为实数，则 a 的模为 3. 设 , (0, ), cos , cos 是方程 5x2 3x 1 = 0 的两根，则 sin sin 的值为 4. 设三棱锥 P ABC 满足 PA = PB = 3, AB = BC = CA = 2，则该

31、三棱锥的体积的最大值为 5. 将 5 个数 2, 0, 1, 9, 2019 按任意次序排成一行，拼成一个 8 位数（首位不为 0），则产生的不同的 8 位数的个数为 6. 设整数 n 4, (x + 2y 为 1)n 的展开式中 xn4 与 xy 两项的系数相等，则 n 的值7. 在平面直角坐标系中，若以 (r + 1, 0) 为圆心，r 为半径的圆上存在一点 (a, b) 满足b2 4a，则 r 的最小值为 8. 设等差数列 an 的各项均为整数，首项 a1 = 2019，且对任意正整数 n，总存在正整数 m，使得 a1 + a2 + + an = am这样的数列 an 的个数为 二、 解

32、答题：本大题共 3 小题，满分 56 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 其中第 9 题满分 16 分，第 10、11 题满分 20 分.9. 在椭圆 中，F 为一个焦点，A, B 为两个顶点若 |F A| = 3, |FB| = 2，求 |AB| 的所有可能值10. 设 a, b, c 均大于 1，满足 log a + logb c = 3log b + loga c = 4求 log a log c 的最大值11. 设复数数列 zn 满足：|z1| = 1，且对任意正整数 n，均有 4z 232n+1 + 2znzn+1 + zn2 = 0证明；对任意正整数 m，均有 |z1

33、+ z2 + + zm| a100 满足 ai ak =1, 2, , 99)证明：x1x2 x99 6 1kak+1(k =a1 + a2 + + ak二、 求满足以下条件的所有正整数 n：（1）n 至少有 4 个正约数；（2）若 d1 d2 b 0) 的左右焦点分别是+a2 b2F1, F2，椭圆 C 的弦 ST 与 UV 分别平行于 x 轴与 y 轴，且相交于点 P已知线段P U, PS, PV, PT 的长分别为 1, 2, 3, 6，则 P F1F2 的面积为 5. 设 f(x) 是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数，在区间 0, 1 上严格递减，且满足 f() =1, f(2)

34、 = 2，则不等式组 1 6 x 6 2的解集为 1 6 f(x) 6 26. 设复数 z 满足 |z| = 1，使得关于 x 的方程 zx2 + 2zx + 2 = 0 有实根，则这样的复数 z的和为 7. 设 O 为 ABC 的外心，若 AO = AB + 2A C，则 sin BAC 的值为 8. 设整数数列 a1, a2, , a10 满足 a10 = 3a1, a2 + a8 = 2a5，且 ai+1 1 + ai, 2 + ai, i = 1, 2, , 9，则这样的数列的个数为 二、 解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 其中第

35、9 题满分 16 分，第 10、11 题满分 20 分.9. 已知定义在 R 上的函数 f(x) = | log3 x 1|, 0 9设 a, b, c 是三个互不相同的实数，满足 f(a) = f(b) = f(c)，求 abc 的取值范围10. 已知实数列 a1, a2, a3, 满足：对任意正整数 n，有 an(2Sn a 数列的前 n 项和证明：n) = 1，其中 Sn 表示（1）对任意正整数 n，有 an 2n；（2）对任意正整数 n，有 anan+1 111. 在平面直角坐标系 xOy 中，设 AB 是抛物线 y2 = 4x 的过点 F(1, 0) 的弦，AOB 的外接圆交抛物线于

36、点 P（不同于点 O, A, B） 若 PF 平分 AP B，求 |PF| 的所有可能值2018 年全国高中数学联赛二试 (A 卷)一、 设 n 是正整数，a1, a2, , an, b1, b2, , bn，A, B 均为正实数，满足 ai 6 bi, ai 6 A, i =b1b2 bB n61, 2, , n，且a1a2 a An(b1 + 1)(b2 + 1) (bn + 1) B + 1(a1 + 1)(a2 + 1) (an + 1) 6A + 1 证明： 二、 如图，ABC 为锐角三角形，AB 2，且 n 6 m 1，a1 是任意正整数，对整数 n 1，an+1 是与于 a1,

37、, an 的最小整数证明：每个正整数均在数列 an 中出现Xni=1ai 互素，且不等2018 年全国高中数学联赛一试 (B 卷)一、 填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分.1. 设集合 A = 2, 0, 1, 8, B = 2a|a A，则 A SB 的所有元素之和是 2. 已知圆锥的顶点为 P，底面半径长为 2，高为 1在圆锥底面上取一点 Q，使得直线 PQ与底面所成角不大于 45，则满足条件的点 Q 所构成的区域的面积为 3. 将 1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为 a, b, c, d, e, f,，则 abc+def 是奇数的概率为 4. 在

38、平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 通过原点，n = (3, 1) 是 l 的一个法向量已知数列an 满足：对任意正整数 n，点 (an+1, an) 均在 l 上若 a2 = 6，则 a1a2a3a4a5 的值为 5. 设 , 满足 tan +3 = 3, tan 6 = 5，则 tan( ) 的值为 6. 设抛物线 C : y2 = 2x 的准线与 x 轴交于点 A，过点 B(1, 0) 作一直线 l 与抛物线 C相切于点 K，过点 A 作 l 的平行线，与抛物线 C 交于点 M, N，则 KMN 的面积为 7. 设 f(x) 是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数，在区间 1, 2

39、上严格递减，且满足 f() =1, f(2) = 0，则不等式组 0 6 x 6 1的解集为 0 6 f(x) 6 18. 已知复数 z1, z2, z3 满足 |z1| = |z2| = |z3| = 1, |z1 + z2 + z3| = r，其中 r 是给定实数，z1 z2 z3则 + 的实数是 （用含有 r 的式子表示）+z2 z3 z1二、 解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 其中第 9 题满分 16 分，第 10、11 题满分 20 分.9. 已知数列 an : a1 = 7,an+1an= an + 2, n = 1, 2, 3, 求满足 an 42018 的最小正整数 n10. 已知定义在 R 上的函数 f(x) 为 f(x) = | log3 x 1|, 0 9不相同的实数，满足 f(a) = f(b) = f(c)，求 abc 的取值范围设 a, b, c 是三个互 x2 y211. 如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，A, B 与 C, D 分别是椭圆 : a2 b2+ = 1(a b 0) 的左右顶点与上下顶