流体力学漩涡理论(课堂PPT)课件(PPT 51页).pptx

1、1.1.旋涡场的基本概念（涡线，涡管，旋涡强旋涡场的基本概念（涡线，涡管，旋涡强 度和速度环量）度和速度环量）2.2.司托克斯定理司托克斯定理3.3.汤姆逊定理汤姆逊定理4.4.海姆霍兹定理海姆霍兹定理5.5.毕奥沙伐尔定理毕奥沙伐尔定理6.6.兰金组合涡兰金组合涡 第五章：旋涡理论第五章：旋涡理论(vortex theory)第1页，共51页。有旋运动有旋运动：x x,y y,z z在流场中不全为零的流动在流场中不全为零的流动存在旋涡运动的流场存在旋涡运动的流场旋涡场旋涡场:旋涡理论第2页，共51页。园盘绕流尾流场中的旋涡园盘绕流尾流场中的旋涡第3页，共51页。园球绕流尾流场中的旋涡园球绕流

2、尾流场中的旋涡第4页，共51页。园柱绕流尾流场中的旋涡园柱绕流尾流场中的旋涡第5页，共51页。有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡第6页，共51页。涡线上所有流体质点在涡线上所有流体质点在同瞬时的旋转角速度矢量同瞬时的旋转角速度矢量与此线相切。与此线相切。涡线涡线(vortex line)(vortex line)：一、涡线一、涡线,涡管涡管,旋涡强度旋涡强度123流线流线(streamline)(streamline)：1v2v3v 流线上所有流体质点在流线上所有流体质点在同瞬时的流速矢量同瞬时的流速矢量 与此线与此线相切。相切。v第7页，共51页。涡矢量与涡线相切涡矢量

3、与涡线相切(,)(,)(,)xyzdxdydzxyztxyztxyzt积分时将看成参数积分时将看成参数涡线微分方程：涡线微分方程：dsdxidyjdzk取涡线上一段微弧长取涡线上一段微弧长xyzijk该处的旋转角速度该处的旋转角速度d s流速与流线相切流速与流线相切(,)(,)(,)xyzd xd yd zv xyzt v xyzt v xyzt流线微分方程：流线微分方程：dsdxidyjdzk取流线上一段微弧长取流线上一段微弧长xyzvv iv jv k该处的速度该处的速度vds第8页，共51页。涡管涡管vortex tube vortex tube 截面积为无限小的涡束截面积为无限小的涡束

4、称为涡索（涡丝）。称为涡索（涡丝）。涡丝涡丝vortex filamentvortex filament流管流管元流元流截面积为无限小的流束截面积为无限小的流束称为元流称为元流第9页，共51页。d dn ndd旋涡强度旋涡强度nJd表征流场中旋涡强弱和表征流场中旋涡强弱和分布面积大小分布面积大小nd如果如果 是涡管的截面是涡管的截面则则J为为涡管强度涡管强度QdQud流量流量第10页，共51页。二、速度环量（二、速度环量（velocity circulationvelocity circulation）：速度矢在积分路径方向的分量沿该：速度矢在积分路径方向的分量沿该 路径的线积分。路径的线积分

5、。速度环量速度环量定义定义sABABV dsVsVdsA B速度环量是速度环量是标量标量，速度方向与积分，速度方向与积分ABAB曲线方向相同时（成锐角）为正曲线方向相同时（成锐角）为正,反之为负。反之为负。ABABBABA漩涡理论第11页，共51页。速度环量的其他表示形式：速度环量的其他表示形式：cos(,)ABABABxyzABV dsVV ds dsV dx V dyV dz速度环量单位为速度环量单位为2/msVsVdsA B漩涡理论第12页，共51页。沿封闭周线沿封闭周线C C的速度环量的速度环量xyzcscccdxV dyV dzV dsV dsV C CdssVV漩涡理论第13页，共

6、51页。对于无旋流场对于无旋流场:对于有旋场对于有旋场:ABxyzABABBBAAV dxV dyV dzdxdydzxyzd速度环量的计算速度环量的计算1)1)已知速度场，求沿一条开曲线的速度环量已知速度场，求沿一条开曲线的速度环量ABxyzABABV dsVdx Vdy VdzdsVsVA B漩涡理论第14页，共51页。2.2.若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量对于无旋场对于无旋场:对于有旋场对于有旋场:0cxyzcccV dx V dy V dzdxdydzxyzd 2csncV dsd 斯托克斯定理斯托克斯定理 C CdssVV漩涡理论第15页

7、，共51页。三、斯托克斯定理三、斯托克斯定理沿任意闭曲线的速度环量等于该沿任意闭曲线的速度环量等于该曲线为边界的曲面内的旋涡强度曲线为边界的曲面内的旋涡强度的两倍的两倍,即即 J2csncV dsd 或或Cnd漩涡理论第16页，共51页。0 0c cd da ab bdxdxxvyvx xy ydydyyyvvdxxxxvvdyy 斯托克斯定理证证 明三步曲：明三步曲：1 1、微元矩形、微元矩形abcdabcd()()yxabcdaxyxyvvdv dxvdx dyvdy dxv dyxy()yxvvdxdyxy()2yxzvvxy而而微矩形面积微矩形面积dsds上的环量：上的环量：222zn

8、ddSdSdJ 漩涡理论第17页，共51页。2 有限平面有限平面 推广到有限大平面推广到有限大平面22CndJ（单连通区域）（单连通区域）C C 所包围的区域所包围的区域内全部是流内全部是流体，没有固体或空洞。体，没有固体或空洞。单连通区域：单连通区域：3 任意曲面任意曲面Cnd第18页，共51页。CABDB A EAABCB AL 区域在走向的左侧区域在走向的左侧ABB A 2CLnd 双连通域的斯托克斯定理双连通域的斯托克斯定理C C的内部有空洞或者包的内部有空洞或者包含其他的物体含其他的物体。复连通域复连通域(多连通域多连通域)：C漩涡理论第19页，共51页。推论一推论一单连域内的无旋运

9、动，流场中单连域内的无旋运动，流场中 处处处处 为零为零，则沿任意封闭周线的速度环量为，则沿任意封闭周线的速度环量为零零沿某闭周线的速度环量为零，不一定无旋。沿某闭周线的速度环量为零，不一定无旋。2200cndd 漩涡理论第20页，共51页。推论二推论二 对于包含一固体在内的双连通域，若流对于包含一固体在内的双连通域，若流动无旋，则沿包含固体在内的任意两动无旋，则沿包含固体在内的任意两个封闭周线的环量彼此相等。个封闭周线的环量彼此相等。2CLnd (与积分路径方向一致时与积分路径方向一致时)0n=-=-C漩涡理论第21页，共51页。（3 3）正压流体（流体密度仅为压力的函数）正压流体（流体密度

10、仅为压力的函数）假设：假设：（1）理想流体；）理想流体；（2）质量力有势；）质量力有势；沿流体质点组成的任一封闭流体沿流体质点组成的任一封闭流体周线的速度环量不随时间而变周线的速度环量不随时间而变.汤姆逊定理汤姆逊定理:即即0ddt5-2 汤姆逊定理汤姆逊定理漩涡理论第22页，共51页。2 2）在理想流体中）在理想流体中,速度环量和旋涡不生不灭。速度环量和旋涡不生不灭。因为不存在切向应力，不能传递旋转运动。因为不存在切向应力，不能传递旋转运动。汤姆逊定理和斯托克斯定理说明：汤姆逊定理和斯托克斯定理说明：1)推论推论:2)流场中原来没有旋涡和速度环量的流场中原来没有旋涡和速度环量的,就永远就永远

11、无旋涡和速度环量。无旋涡和速度环量。原来有旋涡和速度环量的，永远有旋涡并保持环量原来有旋涡和速度环量的，永远有旋涡并保持环量不变不变2 2）流场中漩涡的产生起因于：）流场中漩涡的产生起因于：粘性，非正压流场，粘性，非正压流场，非有势力。非有势力。漩涡理论第23页，共51页。2abdb a eand-海姆霍兹定理海姆霍兹定理海姆霍兹第一定理海姆霍兹第一定理（同一涡管各截面上的旋涡强度都相同）（同一涡管各截面上的旋涡强度都相同）0abdb a ea abb a 0 0abb a 12nndd或.ndconst 涡面上涡面上0n漩涡理论（逆 顺）第24页，共51页。涡管不能在流体中以尖端形式终止或开

12、始涡管不能在流体中以尖端形式终止或开始不可能的情况涡管存在的形式涡管存在的形式：要么终止于流体边界或固体要么终止于流体边界或固体边界，要么自行封闭形成涡环。边界，要么自行封闭形成涡环。.ndconst 0,nd第25页，共51页。海姆霍兹第二定理海姆霍兹第二定理涡管保持定理涡管保持定理 正压、理想流体在有势质量力作用下，正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管永远由相同的流体质点所组成。涡管永远由相同的流体质点所组成。涡管涡管 即涡管永远由相同的流体质点所组成。即涡管永远由相同的流体质点所组成。但涡管的形状和位置可能随时间变化。但涡管的形状和位置可能随时间变化。涡管涡管漩涡理论第26页，共51页

13、。海姆霍兹第三定理海姆霍兹第三定理涡管旋涡强度不随时间而变涡管旋涡强度不随时间而变 正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管的旋正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管的旋涡强度不随时间而变。涡强度不随时间而变。不随时间变化（汤姆逊定理）2 (J 斯托克斯定理）J不随时间变化漩涡理论第27页，共51页。海姆霍兹第一定理既适用于理想流体又适用于海姆霍兹第一定理既适用于理想流体又适用于粘性流体。粘性流体。海姆霍兹第二、三定理只适用于理想流体。海姆霍兹第二、三定理只适用于理想流体。因为流体的粘性将导致剪切、速度等因为流体的粘性将导致剪切、速度等参数脉动以及能量耗散，旋涡强度将随时参数脉动以及能量耗散，旋

14、涡强度将随时间衰减。间衰减。漩涡理论第28页，共51页。-毕奥一沙伐尔定理毕奥一沙伐尔定理问题问题:已知旋涡场，能否确定速度场？已知旋涡场，能否确定速度场？由涡丝引起的速度称为由涡丝引起的速度称为旋涡诱导速度场旋涡诱导速度场。第29页，共51页。诱导速度场与电磁场的类比诱导速度场与电磁场的类比磁磁 场场 诱导速度场诱导速度场带电导线带电导线 涡丝涡丝(线线)电流强度电流强度 旋涡强度旋涡强度 诱导磁场强度诱导磁场强度 诱导速度场诱导速度场场点场点第30页，共51页。方向方向:垂直于垂直于dsds和所在的平面，按右手法则确定。和所在的平面，按右手法则确定。流体力学中流体力学中毕奥毕奥沙伐尔公式沙

15、伐尔公式的形式的形式微元涡丝微元涡丝dsds在在P P点的诱导速度点的诱导速度第31页，共51页。流体力学中流体力学中毕奥毕奥沙伐尔公式沙伐尔公式的形式的形式单一有限长涡丝在单一有限长涡丝在P P点的诱导速度点的诱导速度第32页，共51页。典型实例：无限长直涡丝典型实例：无限长直涡丝dxdx段对点的诱导速度段对点的诱导速度直涡丝直涡丝段对点的诱导速度：段对点的诱导速度：方向垂直于纸面向外方向垂直于纸面向外2112sin4(coscos)4vdRR 第33页，共51页。=1801.1.对于无限长直涡对于无限长直涡丝：丝：2.2.对于半无限长直涡丝：对于半无限长直涡丝：=90=18012(cosc

16、os)1(1)442vRRR 12(coscos)0(1)444vRRR 第34页，共51页。点涡的诱导速度点涡的诱导速度02rvvR（R R为场点至点涡的距离）为场点至点涡的距离）这种速度场是无旋的（例这种速度场是无旋的（例3.4）R无限长的直涡丝无限长的直涡丝 点涡点涡！点涡不对自身！点涡不对自身产生诱导速度产生诱导速度第35页，共51页。例例5.15.1如图强度相等的两点涡的初始位置，试如图强度相等的两点涡的初始位置，试就就(a)(a)和和(b)(b)两种情况决定此两点涡的运动。两种情况决定此两点涡的运动。解解:(a)(a)：0AxAdxvdt点：点：1224AyAdyvdtaa 由由B

17、S定律定律0BxBdxvdtB点：点：1224ByBdyvdtaa 第36页，共51页。34,4BBxcytca 12,4AAxcytca 积分得积分得:,0,0AABBxa yxa y 时时代入方程得代入方程得:1=2=3=-4=故，两点的运动方程为故，两点的运动方程为:,4BBxayta ,4AAxayta 两点涡相对位置保持不变，两点涡相对位置保持不变，它们同时沿方向等速向下移动。它们同时沿方向等速向下移动。第37页，共51页。0AxAdxvdt点：点：4AyAdyvdta0BxBdxvdt4ByBdyvdtaB点：点：转动的角速度为转动的角速度为:2v4aa情况情况(b)点和点的运动方

18、程为：点和点的运动方程为：2,4BBrata 2,4AArata第38页，共51页。-兰金组合涡兰金组合涡 设流场中有一半径为的无限长圆柱形设流场中有一半径为的无限长圆柱形流体象刚体一样绕其轴线转动，角速度为流体象刚体一样绕其轴线转动，角速度为。第39页，共51页。一、速度分布一、速度分布（1 1）旋涡内部：）旋涡内部：0,rVVr（r R）2222.RRconst 外部流速与成反比。外部流速与成反比。第40页，共51页。二、压力分布二、压力分布（1 1）旋涡外部：）旋涡外部：流动定常且无旋流动定常且无旋拉格朗日积分式拉格朗日积分式(略去质量力略去质量力)22001122pVpVpC(,0)2

19、rVr 2012ppV（rR）r=Rr=R，V V V VR R22012RppR第41页，共51页。（2 2）旋涡内部）旋涡内部:定常有旋流动定常有旋流动伯努利方程伯努利方程212LpVC流线为同心圆族流线为同心圆族不同流线上压力不同不同流线上压力不同22012RppVV第42页，共51页。欧拉方程（略去质量力）欧拉方程（略去质量力）1xxxyVVpVVxxx 1yyxyVVpVVxxy 求解过程求解过程2()ppxdxydydxdydpxy222()2xydpd22221()22xypcVc20,12RRRr R VVp ppV22012RppVV21pxx21pyyxyVyVx 第43页

20、，共51页。旋涡内部压力分布：旋涡内部压力分布：22012RppVV 旋涡中心旋涡中心0,0rV旋涡中心的相对压力为旋涡中心的相对压力为20RppV旋涡外部旋涡外部:速度越大压力越小速度越大压力越小旋涡内部旋涡内部:速度越小压力越小速度越小压力越小2012RppV旋涡外部压力分布：旋涡外部压力分布：结论：结论：第44页，共51页。兰金涡兰金涡:（Rankine）压力分布：压力分布：240222220 ()2 ()2RpgzrRrpprRgzrR(0)r(0)r重力的影响重力的影响rRrRrR区域，水面凹区域，水面凹陷与陷与2 2成反比成反比第45页，共51页。第46页，共51页。例例5.2 设

21、流场的速度分布为设流场的速度分布为V Vr r，V V=r=r，constconst，求涡线方程。，求涡线方程。解：解：1()2yxzVVxysinsinxVVry容易验证容易验证:x xy yxyzdxdydz涡线方程涡线方程:积分得积分得:=1 1 =2 2 垂直于垂直于xoyxoy平面的直线平面的直线coscosyVVrx第47页，共51页。例例5.3 5.3 在大圆内包含了在大圆内包含了A A、BCBC、D D四个旋涡四个旋涡,其强度分别为其强度分别为:A =B =C =D =求求:沿周线沿周线S S的速度环量的速度环量解解:由斯托克斯定理由斯托克斯定理 0ssABCDsV ds S

22、S所围区域内速度环量为零，但该区域内并所围区域内速度环量为零，但该区域内并非处处无旋。非处处无旋。第48页，共51页。sinxVr cosyVr解：解：在极坐标下在极坐标下cossinx ry rsincosdxRddyRd sxyr Rr RV dsV dxV dy 22222220sincos()2RRRdRR在圆周在圆周r=R上上dxdyd求求:绕圆周绕圆周r=Rr=R的速度环量的速度环量例例5.4 已知速度场已知速度场22xyVxy22yxVxy第49页，共51页。本章重点：1.1.旋涡场的基本概念（涡线，涡管，旋涡强旋涡场的基本概念（涡线，涡管，旋涡强 度度,速度环量速度环量,圆柱形涡的速度分布，压力分布）圆柱形涡的速度分布，压力分布）2.2.斯托克斯定理，斯托克斯定理，汤姆逊定理，海姆霍兹定理前提汤姆逊定理，海姆霍兹定理前提结论结论3.3.速度环量的计算：速度环量的计算：（1 1）直接由定义计算）直接由定义计算（2 2）由斯托克斯定理，计算漩涡强度）由斯托克斯定理，计算漩涡强度4.4.毕奥沙伐尔定理的应用毕奥沙伐尔定理的应用诱导速度场的计算诱导速度场的计算第50页，共51页。第51页，共51页。