2019届高考数学一轮复习第4单元平面向量数系的扩充与复数的引入听课学案（理科）.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第四单元 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第 24讲 平面向量的概念及其线性运算 课前双击巩固 1.向量的有关概念及表示 名称 定义 表示 向量 在平面中 ,既有 又有 的量 用 a,b,c,?或 , ,?表示 向量的模 向量 a的 ,也就是表示向量a的有向线段 的 (或称模 ) 或 零向量 长度为 的向量 用 表示 单位向量 长度等于 个单位的向量 用 e表示 ,|e|= 平行向量 方向 或相反的非零向量 (或称共线向量 ) a b 相等 向量 相等且方向 的向量 a=b 相反向量 相等 ,方向 的向量 向量 a的相反向量是 说明 :零向量的方向是 、 .

2、 规定 :零向量与任一向量 . 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则 (或几何意义 ) 运算律 加法 求两个向量 的运算 法则 (1)加法交换律 :a+b= ; (2)加法结合律 :(a+b)+c= =【 ;精品教育资源文库 】 = 法则 减法 减去一个向量相当于加上这个向量的 法则 a-b= 数乘 实数 与向量 a的积是一个 ,这种运算叫作向量的 , 记作 (1)|a|= . (2)当 0时 ,a 与 a的方向 ;当 |b|0,则向量 a+b的方向与向量 a的方向相同 ; 设 a0为单位向量 ,则平面内向量 a=|a| a0.其中正确结论的序号是 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 6

3、.若四边形 ABCD满足 = 且 | |=| |,则四边形 ABCD的形状是 . 7.已知向量 a,b,若 |a|=2,|b|=4,则 |a-b|的取值范围为 . 课堂考点探究 探究 点一 平面向量的基本概念 1 (1)设 a,b都是非零向量 ,下列条件中一定能使 + =0成立的是 ( ) A.a=2b B.a b C.a=- b D.a b (2)给出下列说法 : 若 |a|=|b|,则 a=b; 若 a b,b c,则 a c; a 与 b是非零向量 ,若 a与 b同向 ,则 a与 -b反向 ; 若 与 共线 ,则 A,B,C三点在同一条直线上 . 其中错误说法的序号是 . 总结反思 对于

4、平面向量的有关概念应注意以下几点 : (1)平行向量就是共线向量 ,二者是等价的 ,它们均与 起点 无关 ;非零 向 量的平行具有传递性 ;相等向量一定是平行向量 ,而平行向量则未必是相等向量 ;相等向量 具有传递性 . (2)向量与数量不同 ,数量可以比较大小 ,向量则不能 ,但向量的模是 非负数 ,可以比较大小 . (3)向量可以平移 ,平移后的向量与原向量是 相等 向量 ,解题时 ,不要把它与函数图像的移动混为一谈 . (4)非零向量 a与 的关系 : 是与 a同方向的 单位向量 . 式题 (1)如图 4-24-3,等腰梯形 ABCD中 ,对角线 AC与 BD交于点 P,点 E,F分别在

5、 AD,BC上 ,EF过点 P,且 EF AB,则下列等式中成立的是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A. = B. = C. = D. = 图 4-24-3 (2)给出下列说法 : 若 A,B,C,D是不共线的四个点 ,则 = 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件 ; 若 a,b都是单位向量 ,则 a=b; 向量 与 相等 ; 若 a=b,b=c,则 a=c.其中正确说法的序号是 ( ) A. B. C. D. 探究点二 平面向量的线性运算 考向 1 平面向量加减法的几何意义 2 (1)2017南昌重点学校模拟 已知 O为 ABC内一点 ,满足 4 = +2 ,则 AOB 与

6、 AOC的面积之比为 ( ) A.1 1 B.1 2 C.1 3 D.2 1 (2)已知 ABC,若 | + |=| - |,则 ABC的形状为 . 总结反思 利用向量加减法的几何意义解决问题通常有两种方法 : (1)根据两个向量的和与差 ,构造相应的平行四边形 ,再结合其他知识求解相关问题 ; (2)平面几何中如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形的问题 ,可考虑利用向量知识来求解 . 考向 2 平面向量的线性运算 3 (1)2017西宁一模 如图 4-24-4所示 , =【 ;精品教育资源文库 】 = 图 4-24-4 在 ABC中 ,点 D在 BC 边上 ,且 CD=2DB,点 E在

7、AD上 ,且 AD=3AE,则 = ( ) A. + B. - C. + D. - (2)2017长春二模 在 ABC中 ,D为 ABC所在平面内一点 ,且 = + ,则=( ) A. B. C. D. 总结反思 向量线性运算的解题策略 : (1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则 ,一般共起点的向量求和用平行四边形法则 ,求差用三角形法则 ,求首尾相连的向量的和用三角形法则 . (2)找出图形中的相等向量、共线向量 ,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解 . (3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧 : 观察各向量的位置 ; 寻找相应的三角形或多边形 ; 运用法

8、则找关系 ; 化简结果 . 考向 3 利用向量的线性运算求参数 4 2017运城三模 在 ABC中 , = ,P是直线 BN 上一点 ,且 =m + ,则实数 m的值为 ( ) A.-2 B.-4 C.1 D.4 =【 ;精品教育资源文库 】 = 总结反思 与向量的线性运算有关的参数问题 ,一般是构造三角形 ,利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算 ,然后通过建立方程组即可求得相关参数的值 . 强化演练 1.【考向 1】设 D,E,F 分别为 ABC的边 BC,CA,AB 的中点 ,则 + = ( ) A. B. C. D. 2.【考向 1】 2017长沙长郡中学三模 已知 O是 ABC所

9、在平面内一点 ,D为 BC 边的中点 ,且 2 + + =0,则 ( ) A. = B. =2 C. =3 D.2 = 3.【考向 2】在 ABC中 ,点 D是 BC的中点 ,点 E是 AC的中点 ,点 F在线段 AD上 ,且 AF=2DF,设 =a, =b,则 = ( ) A. a- b B. a- b C. a- b D. a- b 4.【考向 1】已知向量 a,b满足 |a|=|b|=1,且 |a-b|= ,则 |a+b|= . 5.【考向 3】 2017山东滨州二模 如图 4-24-5所示 ,在 ABC中 ,O为 BC的中点 ,过点 O的直线分别交 AB,AC所在直线于点 M,N.若

10、=m , =n ,则 m+n= . =【 ;精品教育资源文库 】 = 图 4-24-5 探究点三 共线向量定理及应用 考向 1 向量共线的问题 5 已知 e1,e2是两个不共线的向量 ,若 a=2e1-e2与 b=e1+e 2共线 ,则 = ( ) A.- B.-2 C. D.2 总结反思 两个向量共线是指两个向量的方向相同或相 反 ,因此共线包含两种情况 :同向共线或反向共线 .一般地 ,若 a=b (a 0),则 a与 b共线 : (1)当 0时 ,a与 b同向 ; (2)当 0时 ,a与 b反向 . 考向 2 三点共线的问题 6 (1)已知 a,b是不共线的向量 , =a+5b, =-3

11、a+6b, =4a-b,则 ( ) A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线 C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线 (2)已知 a,b是不共线的向量 , =a+ 2b, =a+( -1)b,且 A,B,C三点共线 ,则 =( ) A.-1 B.2 C.-2或 1 D.-1或 2 总结反思 (1)三点共线问题可转化为向量共线问题来解决 ,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系 ,当两向量共线且有公共点时 ,才能得出三点共线 .根据 A,B,C三点共线求参数问题 ,只需将问题转化为 = ,再利用对应系数相等列出方程组 ,进而解出系数 . (2)三点共线的一个常用结论 :A,B,C三

12、点共线 ?存在实数 , ,对平面内任意一点 O(O不在直线 BC 上 )满足 = + (+= 1). 强化演练 1.【考向 1】已知 e1,e2是不共线的向量 ,则下列各组向量中是共线向量的有 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = a= 5e1,b=3e1;a= 3e1-2e2,b=- e1+ e2;a=e 1+e2,b=-2e1+2e2. A. B. C. D. 2.【考向 1】 2017景德镇模拟 已知 O,A,B三点不共线 ,P为该平面内一点 ,且 = + ,则 ( ) A.点 P在线段 AB 上 B.点 P在线段 AB 的延长线上 C.点 P在线段 AB 的反向延长线上 D.点 P

13、在射线 AB 上 3.【考向 1】 2017哈尔滨三中四模 设 e1,e2是不共线的向量 ,a=e1+ke2,b=ke1+e2,若 a与 b共线 ,则实数 k= ( ) A.0 B.-1 C.-2 D. 1 4.【考向 2】已知 O为 ABC内一点 ,且 = ( + ), =t ,若 B,O,D三点共线 ,则t=( ) A. B. C. D. 第 25讲 平面向量基本定理及坐标表示 课前双击巩固 1.平面向量的基本定理 如果 e1,e2是同一平面内的两个 向量 ,那么对于这一平面内的任意向量 a, 一对实数 1, 2使 .其中 ,不共线的向量 e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组 . 2

14、.平面向量的坐标运算 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)平面向量的坐标运算 向量 a b a + b a-b a 坐标 (x1,y1) (x2,y2) (2)向量的坐标求法 已知 A(x1,y1),B(x2,y2),则 = , | |= . 3.平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b 0,则 a b?a=b ( R)? . 常用结论 1.若 a与 b不共线 ,且 a+b= 0,则 = 0. 2.已知 P为线段 AB的中点 ,若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 P点坐标为 , ;已知 ABC的顶点 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则 ABC的重心 G的坐标为 , . 题组一 常识题 1.教材改编 已知向量 =(-5,2),点 P(2,3),则点 Q的坐标为 . 2.教材改编 如图 4-25-1,已知向量 e1,e2,a的起点与终点均在正方形网格的格点上 ,则向量 a用基底 e1,e2表示为 . 图 4-25-1 3.教材改编 在平面直角坐标系中 ,A(-1,2),B(3,1),且 =3 ,则向量 = .