1、适用于教育机构高考数学专题辅导讲义年 级: 辅导科目:数学 课时数:课 题数列求和与数列综合应用教学目的教学内容第四节 数列求和(一)高考目标考纲解读1熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式2掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法考向预测1以考查等差、等比数列的求和公式为主,同时考查转化的思想2常与函数、方程、不等式等诸多知识联系在一起,作为高考的中档题或压轴题(二)课前自主预习知识梳理1当已知数列an中,满足an1anf(n),且f(1)f(2)f(n)可求,则可用求数列的通项an.2当已知数列an中,满足f(n),且f(1)f(2)f(n)可求,则可用求数列的项通an.3.等差数列前n项和=
2、 = ,推导方法: (5)= 5(1)分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和的数列(2)拆项相消:有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式,相加过程消去中间项,只剩有限项再求和(3)错位相减:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和;(4)倒序相加:例如,等差数列前n项和公式的推导方法(三)基础自测1(2011威海模拟)设f(n)2242723n1(nN*),则f(n)等于()A.(8n1)B.(8n11) C.(8n21) D.(8n31)答案B解析由题意发现,f(n)即为一个以2为首项,公比q238,项数为n1的等比数列的和由公式可得f(n)Sn1(8n11)2(2011
3、滨州模拟)已知数列2011,1,2010,2011,1,这个数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2012项之和S2012等于()A2010 B2011 C1 D2012答案D解析a12011,a21,a32010,a42011,a51,a62010,a72011,a81,该数列是周期为6的周期数列且S60,S2012S2201112012.3数列an的通项公式是an(nN*),若前n项的和为10,则项数n为()A11 B99 C120 D121答案C解析an,a11,a2,an,Sn110,n120.4(2009广东理)已知等比数列an满足an0,n1,2,且a
4、5a2n522n(n3),则当n1时,log2a1log2a3log2a2n1()An(2n1) B(n1)2 Cn2 D(n1)2答案C解析考查等比数列的性质、通项、等差数列求和及对数的运算法则an为等比数列,且a5a2n522n,an222n,an0,an2n,a2n122n1.log2a1log2a3log2a2n1135(2n1)n2.5(2011济南模拟)数列1,12,1222,12222n1,的前n项和为_答案2n12n解析该数列的前n项和Sna1a2an,而an12222n12n1.Sn(211)(221)(231)(2n1)(2222n)nn2n12n.6(教材改编题)数列1,
5、2,3,4,的前n项和为_答案(n2n2)解析数列的通项公式为:ann,Sn(123n)(n2n2).7求数列1,3a,5a2,7a3,(2n1)an1,(a0)的前n项和解析当a1时,数列变为1,3,5,7,(2n1),Sn1357(2n1)n2;当a1时,有Sn13a5a27a3(2n1)an1,aSna3a25a37a4(2n1)an,令,得SnaSn12a2a22a32a42an1(2n1)an,(1a)Sn12(2n1)an,1a0,Sn.(四)典型例题1.命题方向:公式法求和例1已知函数f(x)x22(n1)xn25n7(nN*)(1)若函数f(x)的图像的顶点的横坐标构成数列an
6、,试证明数列an是等差数列;(2)设函数f(x)的图像的顶点到x轴的距离构成数列bn,试求数列bn的前n项和Sn.解析f(x)x22(n1)xn25n7x(n1)23n8.(1)由题意,ann1,故an1an(n1)1(n1)1,故数列an是等差数列(2)由题意,bn|3n8|.当1n2时,bn3n8,数列bn为等差数列,b15,Sn;当n3时,bn3n8,数列bn是等差数列,b31.SnS2.Sn.点评用等差数列或等比数列的求和公式时,一定要看清数列的哪些项构成等差数列或等比数列在第(2)问的求解中,1n2或n3时,都可以用等差数列的前n项和公式,但当1n2时,不要误求为数列的前2项和;当n
7、3时,数列的首项为b3,项数为n2,不要误求为n项的和,也不要误求为n3项的和跟踪练习1在等差数列an中,a16a17a18a936,其前n项和为Sn.(1)求Sn的最小值,并求出Sn取最小值时n的值;(2)求Tn|a1|a2|an|.解析a16a17a183a1736.a1712.又a936,d3,首项a1a98d60,(1)方法一:设前n项和Sn最小,则即得n20或n21.故n20或n21时Sn的值最小,且最小值为S20S21630.方法二:Sn60n3(n241n)2.nN*,当n20或21时,Sn取最小值,最小值为630.(2)由an3n630,得n21.当n21时,TnSn(41nn
8、2);当n21时,Tna1a2a21a22anSn2S21(n241n)1260.2.命题方向:分组求和例2(2008陕西)已知数列an的首项a1,an1,n1,2,.(1)证明:数列是等比数列;(2)求数列的前n项和Sn.分析(1)由已知条件利用等比数列的定义证明,即从an1得到1与1的等式关系(2)充分利用(1)的结论得出1.欲求数列的前n项和Sn可先求出Tn的值解析(1)an1,1,又a1,1,数列是以为首项,为公比的等比数列(2)由(1)知1,即1,n.设Tn,则Tn,得Tn1Tn2.又123n.数列的前n项和Sn2.跟踪练习2(2011浙江省金丽衢联考)已知在数列an中,a13,an
9、12an1(nN*)(1)求证:数列an1是等比数列;(2)设数列2nan的前n项和为Sn,求Sn的大小解析(1)a13,an12an1,an112(an1),an1是以a112为首项,以2为公比的等比数列(2)由(1)知an122n12n,an2n1,2nan2n(2n1)n2n12n,Sn2(211)4(221)6(231)2n(2n1)(2214226232n2n)(2462n)设Tn2214226232n2n,Tn21426222n2n1,两式相减,得Tn222232n12n2n2n2n2n2n2n2n12,Tn4(n1)2n4,Sn4(n1)2n4n2n.3.命题方向:错位相减求和例
10、3(2009山东文)等比数列an的前n项和为Sn,已知对任意的nN*,点(n,Sn)均在函数ybxr(b0且b1,b,r均为常数)的图像上(1)求r的值;(2)当b2时,记bn(nN*),求数列bn的前n项和Tn.解析(1)由题意,Snbnr,当n2时,Sn1bn1r,所以anSnSn1bn1(b1),由于b0且b1,所以n2时,an是以b为公比的等比数列,又a1br,a2b(b1),b,即b,解得r1.(2)由(1)知,nN*,an(b1)bn12n1所以bn.Tn.Tn,两式相减得Tn,故Tn.跟踪练习3:(2010新课标理)设数列an满足a12,an1an322n1.(1)求数列an的通
11、项公式;(2)令bnnan,求数列bn的前n项和Sn.解析本小题主要考查数列的基础知识,即数列的通项公式与前n项和的求法以及分析问题与解决问题的能力(1)由已知得,当n1时,an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)222(n1)1.而a12,所以数列an的通项公式为an22n1.(2)由bnnann22n1知Sn12223325n22n1.从而22Sn123225327n22n1.得(122)Sn2232522n1n22n1.即Sn(3n1)22n12.4.命题方向:裂项相消求和例4(2008江西)等差数列an的各项均为正数,a13,前n项和为Sn,bn为等比
12、数列,b11,且b2S264,b3S3960.(1)求an与bn;(2)求.解析(1)设an的公差为d,bn的公比为q,则d为正整数,an3(n1)d,bnqn1,依题意有解得,或(舍去)故an32(n1)2n1,bn8n1.(2)Sn35(2n1)n(n2),.跟踪练习4求数列,的前n项和Sn.解析,Sn1.5.命题方向:倒序相加法求和例5设函数f(x)图像上有两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),若P为P1P2的中点,且P点的横坐标为.(1)求证:P点的纵坐标为定值,并求出这个值;(2)求fff.分析(1)由已知函数图像上两点P1P2可得y1,y2,设P(x,y),根据中点坐标公式去
13、求y.(2)根据(1)的结论:若x1x21,则由f(x1)f(x2)1可以得到ff1,利用倒序相加进行求解解析(1)证明:P为P1P2的中点,x1x21,yp.又y1y2112211,yp.(2)由x1x21,得y1y2f(x1)f(x2)1,f(1).设Snffff,又Snffff,2Sn111112f(1)n2,即Sn.(五)思想方法点拨1常见数列求和的类型及方法(1)anknb,利用等差数列前n项和公式直接求解;(2)anaqn1,利用等比数列前n项和公式直接求解,但要注意对q分q1与q1两种情况进行讨论;(3)anbncn,数列bn,cn是等比数列或等差数列,采用分组转化法求an前n项
14、和;(4)anbncn,bn是等差数列,cn是等比数列,采用错位相减法求an前n项和;(7)an(1)nf(n),可采用相邻两合并求解,即采用“并项法”(8)求出S1,S2,S3,然后猜出Sn,用数学归纳法证明2求和时应注意的问题(1)直接用公式求和时,注意公式的应用范围和公式的推导过程(2)注意观察数列的特点和规律,在分析数列通项的基础上或分解为基本数列求和,或转化为基本数列求和(六)课后强化作业一、选择题1等差数列an的前n项和为Sn,若S22,S410,则S6等于()A12 B18 C24 D42答案C解析由题意设SnAn2Bn,又S22,S410,4A2B2,16A4B10,解得A,B
15、,S636324.2数列an的前n项和为Sn,若an,则S8等于()A. B. C. D.答案A解析an,而Sna1a2an,S8.3数列1,2,3,4,的前n项和为()A2 B2C.(n2n2) D.n(n1)1答案B解析S1234n123n,则S123(n1)n,得Sn1.S2.4.的值为()A. B.C. D.答案C解析.Sn.5(2011汕头模拟)已知anlog(n1)(n2)(nN*),若称使乘积a1a2a3an为整数的数n为劣数,则在区间(1,2002)内所有的劣数的和为()A2026 B2046 C1024 D1022答案A解析a1a2a2anlog2(n2)k,则n2k2(kZ
16、)令12k22002,得k2,3,4,10.所有劣数的和为18211222026.6(2011威海模拟)已知数列an的前n项和Snn24n2,则 |a1|a2|a10|()A66 B65 C61 D56答案A解析当n2时,anSnSn12n5;当n1时,a1S11,不符合上式,an|an|从第3项起构成等差数列,首项|a3|1,末项|a10|15.|a1|a2|a10|1166.7(文)(2009江西)公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn,若a4是a3与a7的等比中项,S832,则S10等于()A18 B24 C60 D90答案C解析由题意可知,S1010(3)260,选C.(理)(200
17、9重庆)设an是公差不为0的等差数列,a12且a1,a3,a6成等比数列,则an的前n项和Sn()A. B. C. Dn2n答案A解析设等差数列公差为d,a12,a322d,a625d.又a1,a3,a6成等比数列,a32a1a6,即(22d)22(25d),整理得2d2d0.d0,d,Snna1dn.故选A.8在等比数列an中,a12,前n项和为Sn,若数列an1也是等比数列,则Sn等于()A2n12 B3n C2n D3n1答案C解析解法1:由an为等比数列可得an1anq,an2anq2由an1为等比数列可得(an11)2(an1)(an21),故(anq1)2(an1)(anq21),
18、化简上式可得q22q10,解得q1,故an为常数列,且ana12,故Snna12n,故选C.解法2:设等比数列an的公比为q,则有a22q且a32q2,由题设知(2q1)23(2q21),解得q1,以下同解法1.二、填空题9设f(x),则f(9)f(8)f(0)f(9)f(10)的值为_答案5解析f(n)f(n1),f(9)f(8)f(0)f(9)f(10)5.10(2011启东模拟)对于数列an,定义数列an1an为数列an的“差数列”,若a12,an的“差数列”的通项为2n,则数列an的前n项和Sn_.答案2n12解析an1an2n,an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n1
19、2n2222222n222n,Sn2n12.11(2011江门模拟)有限数列Aa1,a2,an,Sn为其前n项的和,定义为A的“凯森和”;如果有99项的数列a1,a2,a99的“凯森和”为1000,则有100项的数列1,a1,a2,a99的“凯森和”为_答案991解析a1,a2,a99的“凯森和”为1000,S1S2S99100099,数列1,a1,a2,a99的“凯森和”为:991.三、解答题12(2010重庆文)已知an 是首项为19,公差为2的等差数列,Sn为an的前n项和(1)求通项an及Sn;(2)设bnan是首项为1,公比为3的等比数列,求数列bn的通项公式及其前n项和Tn.解析本
20、题主要考查等差数列的基本性质,以及通项公式的求法,前n项和的求法,同时也考查了学生的基本运算能力(1)因为an为首项a119,公差d2的等差数列,所以an192(n1)2n21,Sn19n(2)n220n.(2)由题意知bnan3n1,所以bn3n12n21Tnb1b2bn(133n1)Snn220n.13已知数列an的前n项和Sn2n23n.(1)求证:数列an是等差数列;(2)若bnan2n,求数列bn的前n项和Tn.解析(1)证明:a1S11,当n2时,anSnSn12n23n2(n1)23(n1)4n5.又a1适合上式,故an4n5(nN*)当n2时,anan14n54(n1)54,所
21、以an是等差数列且d4,a11.(2)bn(4n5)2n,Tn21322(4n5)2n,2Tn22(4n9)2n(4n5)2n1,得Tn2142242n(4n5)2n124(4n5)2n118(4n9)2n1,Tn18(4n9)2n1.14设数列an的前n项和为Sn,已知a11,且an2SnSn10(n2),(1)求数列Sn的通项公式;(2)设Sn,bnf()1.记PnS1S2S2S3SnSn1,Tnb1b2b2b3bnbn1,试求Tn,并证明Pn.解析(1)解:an2SnSn10(n2),SnSn12SnSn10.2.又a1,Sn(nN)(2)证明:Sn,f(n)2n1.bn2()11()n
22、1.Tn()0()1()1()2()n1()n()1()3()5()2n11()nSn(nN)Pn180,故舍去4有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒,问细菌将病毒全部杀死至少需要()A6秒钟 B7秒钟 C8秒钟 D9秒钟答案B解析设至少需要n秒钟,则121222n1100,100,n7.故选B.5(2011安徽合肥模拟)秋末冬初,流感盛行,某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列an,已知a11,a22,且an2an1(1)n(nN*),则该医院30天入院治疗流感的人数共有_答案255解析由于an2an1(
23、1)n,所以a1a3a291,a2,a4,a30构成公差为2的等差数列,所以a1a2a29a30151522255.6设等差数列an的前n项和为Sn,S410,S515,则a4的最大值是_答案4解析由题意,得,即,也即,又a4a13d(2a13d)3(a12d)5334,故a4的最大值为4.7某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员第1名得全部资金的一半加一千元,第二名得剩下的一半加一千元,以名次类推都得到剩下的一半加一千元,到第10名恰好资金分完,求此科研单位共拿出多少千元资金进行奖励解析设单位共拿出x千元资金,第1名到第10名所得资金构成数列an,前n项和为Sn,则a11,an(xSn1)1
24、(n2),2anxSn12,2an1xSn2,两式相减得2an12anan,2an1an.an是首项为1,公比为的等比数列,S10x,解得x2046.故单位共拿出2046千元资金进行奖励(四)典型例题1.命题方向:等差数列与等比数列的综合应用例1设数列an的前n项和为Sn,且(3m)Sn2manm3(nN*),其中m为常数,m3,且m0.(1)求证:an是等比数列;(2)若数列an的公比满足qf(m)且b1a1,bnf(bn1)(nN*,n2),求证:为等差数列,并求bn.分析对于已知的条件运用Sn与an之间的关系式:an,求出an、an1之间的关系,以及、之间的关系,再进行判定证明(1)由(
25、3m)Sn2manm3,得(3m)Sn12man1m3,两式相减,得(3m)an12man(m3),m是常数,且m3,m0,故是不为0的常数an是等比数列(2)由b1a11,qf(m),bnf(bn1),nN*且n2,得bnbn13bn3bn1.是1为首项,为公差的等差数列,1,当n1时也符合此式,故有bn.跟踪练习1(2011广东深圳调研)设数列an的前n项和为Sn,其中an0,a1为常数,且a1,Sn,an1成等差数列(1)求an的通项公式;(2)设bn1Sn,问是否存在a1,使数列bn为等比数列?若存在,则求出a1的值;若不存在,请说明理由 解析(1)由题意可得2Snan1a1,当n2时
26、,有两式相减,得an13an(n2),又a22S1a13a1,an0,an是首项为a1,公比为3的等比数列,ana13n1.(2)方法一:Sna1a13n,bn1Sn1a1a13n,要使bn为等比数列,当且仅当1a10,即a12,此时bn3n,bn是首项为3,公比为3的等比数列bn能为等比数列,此时a12.方法二:设数列bn能为等比数列,则b1,b2,b3成等比数列,b22b1b3,Sna1a2an,ana13n1,bn1Sn,b214a1,b11a1,b3113a1,(14a1)2(1a1)(113a1),又an0,得a12,此时bn1Sn3n,bn是首项为3,公比为3的等比数列,bn能为等
27、比数列,此时a12.方法三:设数列bn能为等比数列,即满足bn2bn1bn1(n2,nN*),又bn1Sn,bn11(Snan),bn11(Snan1),(1Sn)2(1Snan)(1Snan1),(1Sn)2(1Sn)2(anan1)(1Sn)anan1,即2ananan1,将ana13n1代入得a12,此时bn1Sn3n.2.命题方向:数列与函数的综合应用例2已知f(x)logax(a0且a1),设f(a1),f(a2),f(an)(nN*)是首项为4,公差为2的等差数列(1)设a为常数,求证:an成等比数列;(2)若bnanf(an),bn的前n项和是Sn,当a时,求Sn.分析利用函数的
28、有关知识得出an的表达式,再利用表达式解决其他问题解析(1)f(an)4(n1)22n2,即logaan2n2,可得ana2n2.a2(n2),为定值an为等比数列(2)bnanf(an)a2n2logaa2n2(2n2)a2n2.当a时,bn(2n2)()2n2(n1)2n2.Sn223324425(n1)2n22Sn224325426n2n2(n1)2n3得Sn22324252n2(n1)2n316(n1)2n3162n324n2n32n3n2n3.Snn2n3(nN*)点评数列与函数的综合问题主要有以下两类:已知函数条件,解决数列问题此类问题一般利用函数的性质、图像研究数列问题;已知数列
29、条件,解决函数问题解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形跟踪练习2在数列an中,a14,且对任意大于1的正整数n,点(,)在直线yx2上(1)求数列an的通项公式;(2)已知b1b2bnan,试比较an与bn的大小解析(1)点(,)在直线yx2上,2,即数列是以2为首项,公差d2的等差数列22(n1)2n,an4n2.(2)b1b2bnan,当n2时,bnanan14n24(n1)28n4,当n1时,b1a14,满足上式bn8n4,anbn4n2(8n4)4(n1)20,anbn.点评第(2)问可由b1b2bnan得,anbnan14(n1)20,anbn简捷明了,
30、注意观察分析常能起到事半功倍的效果.3.命题方向:数列与导数、解析几何的综合应用例3(2011山东模拟)设曲线yx2x2lnx在x1处的切线为l,数列an的首项a1m(其中常数m为正奇数),且对任意nN*,点(n1,an1ana1)均在直线l上(1)求出an的通项公式;(2)令bnnan(nN*),当ana5恒成立时,求出n的取值范围,使得bn1bn成立分析问题(1)可先利用求导公式求得直线的斜率,进而求出直线方程,利用累加法即求得数列的通项公式;问题(2)是恒成立问题,可转化为数列的单调性问题进而求得数列的最小值解析(1)由yx2x2lnx,知x1时,y4.又y|x1(2x1)|x12,直线l的方程为y42(x1),即y2x2.又点(n1,an1ana1)在l上,an1anm2n,即an1an2nm(nN*)a2a12m,a3a222m,anan12(n1)m,各项相加,得an212(n1)(n1)ma1n2nnmmmn2(m1)n.通项公式ann2(m1)n(nN*)(2)m为奇数,为整数由题意,知a5是数列an中的最小项,5.m9.令f(x)x3(m
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