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高考数学复习专题18《利用函数的极值求参数值》讲义及答案.docx

1、专题18 利用函数的极值求参数值一、单选题 1若函数的极值为,则实数的值为( )ABCD2已知,若是函数的极小值点,则实数的取值范围为( )A且BC且D3若,且函数在处有极值,则的最大值等于( ).A16B25C36D494若函数不存在极值点,则的取值范围是( )A或B或CD5函数在处取得极值,则( )A,且为极大值点B,且为极小值点C,且为极大值点D,且为极小值点6已知在处取得极值,则的最小值是( )AB2CD7若函数在区间内有极小值,则的取值范围是( )ABCD8已知函数的极大值为4,若函数在上的极小值不大于,则实数的取值范围是( )ABCD9已知函数在处取极大值,则( )A2或6B2或6

2、C6D210已知a为常数,函数有两个极值点x1,x2(x1x2),则下列结论正确的是( )ABCD二、解答题11已知函数(为自然对数的底数).(1)当时,求证:函数在上恰有一个零点;(2)若函数有两个极值点,求实数的取值范围.12已知函数,且在处取得极值()求b的值;()若当时,恒成立,求c的取值范围;()对任意的,是否恒成立?如果成立,给出证明;如果不成立,请说明理由13设函数,其图像与轴交于,两点,且(I)求的取值范围;()证明:14已知函数.(1)若是函数的一个极值点,求的值;(2)当时,恒成立,求的取值范围.15已知函数,且(1)若函数在处取得极值,求函数的解析式;(2)在(1)的条件

3、下,令,求的单调区间;16设函数(1)若函数有两个极值点,求实数的取值范围;(2)设,若当时,函数的两个极值点,满足,求证:.17已知函数在处取得极值(1)求实数a的值(2)当时,求函数的最小值18设函数(1)若曲线在点处的切线与轴平行,求;(2)若在处取得极小值,求的取值范围19已知函数.(1)当时,求证:恰有1个零点;(2)若存在极大值,且极大值小于0,求a的取值范围.20已知函数,是的导函数.(1)若,当时,函数在内有唯一的极小值,求的取值范围;(2)若,试研究的零点个数.21设函数,其中.()若,求曲线在点处的切线方程;()若函数在上有极大值,求的取值范围.22已知函数.(1)求函数在

4、处的切线方程;(2)若不等式对任意的都成立,求实数m的取值范围.23已知函数.()求曲线在点处的切线方程;()若函数在上有极值,求的取值范围24已知函数.()当时,求函数的单调区间;()若函数在处取得极大值,求实数m的取值范围.25已知函数.(1)若在处取得极值,求的值;(2)求函数在上的最大值.26已知函数().(1)若是函数的极值点,求a的值及函数的极值;(2)讨论函数的单调性.27已知函数(1)若,函数的极大值为,求a的值;(2)若对任意的,在上恒成立,求实数的取值范围.28已知函数在处取得极值为2,(1)求函数的解析式;(2)若函数在区间上为增函数,求实数的取值范围;(3)若为函数图像

5、上的任意一点,直线与的图象相切于点,求直线的斜率的取值范围.29已知函数在时有极值0,求常数,的值.30已知函数(1)若在处取得极值,求实数的值;(2)若恒成立,求实数的取值范围专题18 利用函数的极值求参数值一、单选题 1若函数的极值为,则实数的值为( )ABCD【答案】D【分析】对分和两种情况讨论,分析函数的单调性,结合函数的极值为,可求得实数的值.【详解】由已知可得.当时,对任意的,此时函数在上单调递增,函数无极值;当时,令,可得,此时函数单调递减;令,可得,此时函数单调递增.所以,函数的极小值为,令,则且,.当时,函数单调递增;当时,函数单调递减.所以,由于,.故选:D.【点睛】本题考

6、查利用函数的极值存在的条件求参数的值,考查计算能力,属于中等题.2已知,若是函数的极小值点,则实数的取值范围为( )A且BC且D【答案】B【分析】由既是的极小值点,又是零点,且的最高次项系数为1,因此可设,这样可求得,然后求出,求得的两个零点,一个零点是,另一个零点必是极大值点,由可得的范围【详解】因为,是函数的极小值点,结合三次函数的图象可设,又,令得,即,由得,是极小值点,则是极大值点,所以故选:B【点睛】本题考查导数与极值点的关系,解题关键是结合零点与极值点,设出函数表达式,然后再求极值点,由极小值点大于极大值点可得所求范围3若,且函数在处有极值,则的最大值等于( ).A16B25C36

7、D49【答案】C【分析】先对函数求导,根据题中条件,得到,再结合基本不等式,即可得出结果.【详解】因为,所以,又函数在处有极值,所以,即,因为,所以,当且仅当时,等号成立.故选:C.4若函数不存在极值点,则的取值范围是( )A或B或CD【答案】D【分析】由已知条件得只有一个实数根或没有实数根,从而 由此能求出的取值范围.【详解】, 在定义域内不存在极值, 只有一个实数根或没有实数根, 故选:D.【点睛】本題主要考查极值的概念,利用导数研究函数的极值,考查发推理论证能力,转化能力,属于中档题.5函数在处取得极值,则( )A,且为极大值点B,且为极小值点C,且为极大值点D,且为极小值点【答案】B【

8、分析】先求导,再根据题意得,由此求得,再根据导数研究函数的极值【详解】解:,又在处取得极值,得,由得,即,即,同理,由得,在处附近的左侧为负,右侧为正,函数在处取得极小值,故选:B【点睛】本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性与极值,属于基础题6已知在处取得极值,则的最小值是( )AB2CD【答案】D【分析】求导,根据极值点得到,展开利用均值不等式计算得到答案.【详解】,故,根据题意,即,经检验在处取得极值.,当且仅当,即时,等号成立.故选:.【点睛】本题考查了根据极值点求参数,均值不等式,意在考查学生的综合应用能力.7若函数在区间内有极小值,则的取值范围是( )ABCD【答案】C【分析】

9、求出,根据在内有极小值可得的图象性质,从而可求的取值范围.【详解】,由题意在区间上有零点,且在该零点的左侧附近,有,右侧附近有.则在区间上有零点,且在该零点的左侧附近,有,右侧附近有.当时,为开口向上的抛物线且,故,无解.当,则,舍.当,为开口向下的抛物线,其对称轴为,故,解得.故选:C.【点睛】本题考查函数的极值,注意根据极值的类型判断导数的函数图象性质,本题属于中档题.8已知函数的极大值为4,若函数在上的极小值不大于,则实数的取值范围是( )ABCD【答案】A【分析】对函数求导,令导函数为0,结合函数单调性可得极值,明确极大值和极小值的定义求解即可.【详解】,当时,无极值;当时,,的递增区

10、间是,递减区间是,在处取得极大值,则有,解得,于是,.当时,在上不存在极小值.当时,在单调递减,在单调递增,所以在处取得极小值,依题意有,即解得.故选:A.【点睛】本小题主要考查的数学知识是:函数与导数,导数与单调性、极值的关系,考查分类讨论的数学思想方法.9已知函数在处取极大值,则( )A2或6B2或6C6D2【答案】C【分析】由题意可知,从而可求得的值,然后再验证在x2处是否取得极大值即可【详解】解:由,得,因为函数在处取极大值,所以,即,解得或,当时,令,得或,令,得,所以在处取得极大值,在处取得极小值,所以不合题意,当时,令,得或,令,得,所以在处取得极大值,在处取得极小值,所以,故选

11、:C【点睛】此题考查由函数的极值点求参数,考查导数的应用,属于基础题10已知a为常数,函数有两个极值点x1,x2(x1x2),则下列结论正确的是( )ABCD【答案】C【分析】求导得,令,转化条件为要使函数、的图象有两个不同交点,由导数的几何意义、函数的图象可得;数形结合可得当时,函数单调递减,且,即可得、,即可得解.【详解】因为,所以若要使函数有两个极值点,则有两个零点,令,则要使函数、的图象有两个不同交点,易知直线恒过点,在同一直角坐标系中作出函数、的图象,如图,当直线与函数的图象相切时,设切点为,则,所以,所以当且仅当时,函数、的图象有两个不同交点,所以若要使函数有两个极值点,则,故A、

12、B错误;当时,由图象可得当时,函数单调递减,且,所以, ,故C正确,D错误.故选:C.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的切线、极值及函数与方程的综合应用,考查了运算求解能力与数形结合思想,属于中档题.二、解答题11已知函数(为自然对数的底数).(1)当时,求证:函数在上恰有一个零点;(2)若函数有两个极值点,求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析;(2).【分析】(1)法一:利用导数的性质进行求证即可;法二:利用函数的性质直接判断即可求证;(2)对求导,得,构造函数,利用导数的性质求出参数的范围即可【详解】(1)法一:易得:,令,令,在上单调递减,且;在上单调递增且有,故命题获证.法二:

13、易得:,恒成立,有唯一零点.(2)易得,令得,在上单调递减且;在上单调递增且有,函数有两个极值点,.【点睛】关键点睛:解题的关键在于求导得到后,构造函数,并通过对通过求导得到奇函数的极值点,进而求出的范围,难度属于中档题12已知函数,且在处取得极值()求b的值;()若当时,恒成立,求c的取值范围;()对任意的,是否恒成立?如果成立,给出证明;如果不成立,请说明理由【答案】();()c的取值范围是()成立,证明见解析.【分析】()由题意得f(x)在x1处取得极值所以f(1)31+b0所以b2()利用导数求函数的最大值即g(x)的最大值,则有c22+c,解得:c2或c1()对任意的x1,x21,2

14、,|f(x1)f(x2)|恒成立,等价于|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min【详解】()f(x)x3x2+bx+c,f(x)3x2x+bf(x)在x1处取得极值,f(1)31+b0b2经检验,符合题意()f(x)x3x22x+cf(x)3x2x2(3x+2)(x1),当x(1,)时,f(x)0当x(,1)时,f(x)0当x(1,2)时,f(x)0当x时,f(x)有极大值c又f(2)2+cc,f(1)ccx1,2时,f(x)最大值为f(2)2+cc22+cc1或c2()对任意的x1,x21,2,|f(x1)f(x2)|恒成立由()可知,当x1时,f(x)有极小值c又f(1)ccx

15、1,2时,f(x)最小值为c|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min,故结论成立【点睛】本题考查函数的极值及最值的应用,易错点是知极值点导数为0要检验,结论点睛:|f(x1)f(x2)|a恒成立等价为f(x)maxf(x)mina13设函数,其图像与轴交于,两点,且(I)求的取值范围;()证明:【答案】(I);()证明见解析.【分析】(I)先求出,易得当不符合题意;当时,当时,取得极小值,所以,得到的范围,再由,结合零点存在定理,得到答案.()由题意,两式相减,得到,记,将转化为,再由导数求出其单调性,从而得到.【详解】(I)解:因为,所以.若,则,则函数是单调增函数,的图像与轴至

16、多有一个交点,这与题设矛盾.所以,令,则.当时,是单调减函数;时,是单调增函数;于是当时,取得极小值.因为函数的图像与轴交于两点,所以,即.此时,存在,;存在,又,又在上连续,故.()证明:因为,两式相减得.记,则,设,因为,所以,当且仅当时,即,而,所以,则,所以是单调减函数,则有,而,所以.【点睛】思路点睛:已知函数的零点情况求参数的取值范围,通常通过研究函数的单调性,进一步研究函数的值域,再解不等式求得参数的范围;证明函数值恒小于零,通过换元法构造新函数,再研究新函数的单调性和值域即可证明,不过这类题涉及知识点多,难度大.14已知函数.(1)若是函数的一个极值点,求的值;(2)当时,恒成

17、立,求的取值范围.【答案】(1)2;(2).【分析】(1)由解析式得到导函数,结合是函数的一个极值点,即可求的值;(2)由题设分析知,在内有,结合已知,讨论、分别求的范围,然后求并集即可.【详解】解:(1)由函数解析式知:,由题意,得,故.经检验,满足题意.(2)由已知,当时,只需,.当时,在单减,在单增.所以,而,故.所以,解得(舍去).当时,在单增,在单减,在单增.由于,所以只需,即,所以.当时,在单增,所以,满足题意.当时,在单增,在单减,在单增.由于,所以只需,即,所以.综上,知:.【点睛】思路点睛:已知函数极值点求参数时,一般应用极值点处的导数为0列方程;函数在闭区间内任意两个函数值

18、的差小于定值转化为最值间的距离小于该定值,(1)当有极值则,即可得有关参数的方程;(2),恒成立转化为,;15已知函数,且(1)若函数在处取得极值,求函数的解析式;(2)在(1)的条件下,令,求的单调区间;【答案】(1);(2)的单调递减区间为,单调递增区间为.【分析】(1)求出导函数,由,可解得,得函数解析式;(2)求出,然后求出的解,确定的正负,得单调区间【详解】(1)函数的定义域为由已知可得:解得,经检验:符合题意(2)的定义域为由于满足故:在上单增,故:当时,恒成立故单调递减单调递增故:的单调递减区间为,单调递增区间为【点睛】本题考查用导数研究函数的极值,求单调区间,解题基础是掌握导数

19、的运算法则,求出导函数再根据导数与极值、单调性的关系求解16设函数(1)若函数有两个极值点,求实数的取值范围;(2)设,若当时,函数的两个极值点,满足,求证:.【答案】(1);(2)证明见解析.【分析】(1)先由题中条件,得出函数定义域,由题意,得到在上有两个零点,即在上有两个不等实根,设,得到函数与直线在上有两个不同交点,对函数求导,判定其单调性,得出最值,进而可得出结果;(2)对函数求导,根据题中条件,由韦达定理,得到,求出得到,设,对其求导,用导数的方法求出最值,即可得出结果.【详解】(1)由已知,可知函数的定义域为,在上有两个零点,即方程在上有两个不等实根,设,因此函数与直线在上有两个

20、不同交点,又,由得;由得;则函数在上单调递增,在上单调递减;则;又当时,当时,;为使函数与直线在上有两个不同交点,只需,解得,即实数的取值范围是.(2)证明:因为,由的两根为,故可得,因为,所以,又,所以,解得,设,则,当,是增函数;所以;因此.【点睛】本题主要考查由函数极值点个数求参数,考查由导数的方法证明不等式,属于常考题型.17已知函数在处取得极值(1)求实数a的值(2)当时,求函数的最小值【答案】(1)1;(2).【分析】(1)在处取得极值,则可求出的值;(2)求出函数在上的单调区间,从而得出函数的最小值;【详解】解:(1)由,函数在处取得极值,解得,当时,令,得或,令,得,函数在,上

21、单调递增,在上单调递减,极大值,极小值符合题意(2)由(1)得在上单调递增,在上单调递减;极大值,极小值,且,当时,求函数的最小值为:【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值与最值,属于中档题.18设函数(1)若曲线在点处的切线与轴平行,求;(2)若在处取得极小值,求的取值范围【答案】(1);(2).【分析】(1)利用导数的几何意义可得,即可得答案;(2)利用极值的定义对分、三种情况进行讨论;【详解】解:(1),(2)当时,令,得,、随变化如下表:10极大值在处取得极大值(舍去)当时,令得,()当,即时,在上单调增,无极值(舍)()当,即时,随变化如下表:100极大值极小值在处取极大值(舍)()

22、当,即时,随变化如下表:100极大值极小值在处取极小值即成立当时,令得,100极小值极大值在处取极大值(舍)综上所述:的取值范围为【点睛】本题考查导数的几何意义、极值的求解,考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.19已知函数.(1)当时,求证:恰有1个零点;(2)若存在极大值,且极大值小于0,求a的取值范围.【答案】(1)证明见解析;(2).【分析】(1)先求导,根据导数和函数最值得关系求出最值,即可判断;(2)先求导,再分类讨论,根据导数和函数极值的关系即可求出a的取值范围.【详解】(1)当时,函数的定义域为,可得,当时,函数单调递增;当时,函数单

23、调递减,所以当时,函数取得最大值,最大值,所以函数恰有1个零点.(2)由函数,其中,可得,当时,令,解的,当时,函数单调递增;当时,函数单调递减,所以当时,函数取得极大值,极大值为,解得,所以.当时,令,解的或,若时,即时,当时,函数单调递增;当时,函数单调递减,当时,函数单调递增;即函数在区间上单调递增,在单调递减,当时,函数取得极大值,极大值为,解得,所以;若时,即时,可得,函数在单调递增,函数无极值;若时,即时,当时,函数单调递增;当时,函数单调递减,当时,函数单调递增;即函数在区间上单调递增,在单调递减,当时,函数取得极大值,极大值为恒成立,所以.综上所述,函数存在极大值,且极大值小于

24、0,则a的取值范围为.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值的综合应用,其中解答中熟记导数与函数间的关系,着重考查导数的应用,以及分类讨论思想,属于中档试题.20已知函数,是的导函数.(1)若,当时,函数在内有唯一的极小值,求的取值范围;(2)若,试研究的零点个数.【答案】(1);(2)有3个零点.【分析】(1)先求导得,求出,再由和两种情况讨论求得的取值范围;(2)分析可知,只需研究时零点的个数情况,再分两种情形讨论即可.【详解】解:(1)当时,在是增函数,当时,在是减函数,无极值;当时,使得,从而在单调递减,在单调递增,为唯一的极小值点,所以(2)当时,可知,(i)时,无零点

25、;所以只需研究,(ii)时,可知单调递减,存在唯一的,;(iii)当,是减函数,且,则,在是增函数,是减函数,并且,所以,;,且知在减,在增,在减,又因为,综上所述,由(i)(ii)(iii)可知,有3个零点.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和零点问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21设函数,其中.()若,求曲线在点处的切线方程;()若函数在上有极大值,求的取值范围.【答案】();().【分析】(1)利用导数的几何意义求解即可;(2)求导得,令,则,则可证明在上恒成立,则在递减,即在上单调递减,若函数在上有极大值,则只需即可.【详解】()由题意,求导得.所以,

26、.所以曲线在点处的切线方程为.(),令,则.因为对于,恒成立,所以在上单调递减,即在上单调递减,因为在上有极大值,所以在上存在“左正右负”变号零点.由零点存在性定理:只需,即所以.所以函数在上有极大值时,的取值范围为.【点睛】本题考查曲线的切线方程求解,考查根据函数的极值点求参数的取值范围问题,难度较大.解答时分析清楚函数的单调性是核心.22已知函数.(1)求函数在处的切线方程;(2)若不等式对任意的都成立,求实数m的取值范围.【答案】(1);(2).【分析】(1)先利用导数求切线的斜率,再求切线方程;(2) 根据题意可得对任意的,都成立,当时,显然成立;当时,设, 问题即转化为恒成立,只需要

27、即可,因为 (当且仅当时取等号),即满足即有对恒成立,构造,通过求导判断函数的单调性求最小值,即可求得的取值范围.【详解】(1)设,则,当时,函数在处的切线方程为,即.(2)根据题意可得对任意的,都成立,当时,不等式即为,显然成立;当时,设,则不等式恒成立,即为不等式恒成立, (当且仅当时取等号),由题意可得,即有对恒成立,令,则,令,即有,令,则,当时,在上单调递增,又,有且仅有一个根,当时,单调递增,当时,单调递减,当时,取得最小值,为,实数的取值范围【点睛】本题考查导数的几何意义,考查利用导数研究函数恒成立问题求解参数范围,考查转化与化归思想,考查计算能力,综合性较强,难度困难.23已知

28、函数.()求曲线在点处的切线方程;()若函数在上有极值,求的取值范围【答案】() ;().【分析】(1)由题意,因为,利用点斜式方程即可求解切线的方程;()由,分和讨论,即可得出函数单调性,求得函数有极值的条件,求得实数的取值范围【详解】函数的定义域为, ()因为, 所以曲线在点处的切线方程为:,即 ()()当时,对于任意,都有,所以函数在上为增函数,没有极值,不合题意 ()当时,令,则 所以在上单调递增,即在上单调递增, 所以函数在上有极值,等价于 所以 所以所以的取值范围是24已知函数.()当时,求函数的单调区间;()若函数在处取得极大值,求实数m的取值范围.【答案】()的增区间为,减区间

29、为;().【分析】()定义域为,求出函数的导数,利用导函数的符号判断函数的单调性求解单调区间即可.()求出函数的导数,通过讨论当时,当时,判断函数的单调性求解函数的极值即可.【详解】解:()定义域为,当时,令得,令得.所以的增区间为,减区间为.(),时,在递减,在递增,函数在处取得极小值,不合题意;当时,若,则.此时,函数在处不可能取得极大值.当m1.函数在处取得极大值.综上可知,m的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间,考查已知函数的极值求参数,考查学生的计算能力以及转化能力,属于中档题.25已知函数.(1)若在处取得极值,求的值;(2)求函数在上的最大值.【答案】(1);(

30、2)答案见解析.【分析】(1)求导.由已知得,解得.再验证,可得答案.(2)由已知得,求导得单调性.分,三种情况分别求函数在上的最大值.【详解】(1)因为,所以函数的定义域为.所以.因为在处取得极值,即,解得.当时,在上,在上,此时是函数的极小值点,所以.(2)因为,所以,.因为,所以,所以在上单调递增,在上单调递减.当时,在上单调递增,所以;当,即时,在上单调递增,在上单调递减,所以;当,即时,在上单调递减,所以.综上所述,当时,函数在上的最大值是;当时,函数在上的最大值是;当时,函数在上的最大值是.【点睛】本题考查运用导函数研究函数的极值,函数的单调性,以及函数的最值,关键在于分析导函数取

31、得正负的区间,属于较难题.26已知函数().(1)若是函数的极值点,求a的值及函数的极值;(2)讨论函数的单调性.【答案】(1);极大值为,极小值为;(2)答案见解析.【分析】(1)由极值点处导数值为0即可求a的值,进而得到的解析式,利用其导函数研究单调区间,求的极值;(2)利用的导函数,结合分类讨论确定各种情况下的单调性;【详解】(1),由题意知:,解得,此时,有,当和时,是增函数,当时,是减函数,函数在和处分别取得极大值和极小值,的极大值为,的极小值为.(2)由(1)知,当,即时,则:当时,单调递减;当时,单调递增当,即时,则:当和时,单调递增;当时,单调递减当,即时,则当和时,单调递增;

32、当时,单调递减当,即时,在定义域上单调递增综上:当时,在区间上单调递减,在区间和上单调递增;当时,在定义域上单调递增;当时,在区间上单调递减,在区间和上单调递增;当时在区间上单调递减,在区间上单调递增【点睛】本题考查了利用导函数研究函数的性质,由极值点与导数的关系求参数,进而求函数的极值,结合分类讨论的方法说明参数在不同范围内函数的单调区间;27已知函数(1)若,函数的极大值为,求a的值;(2)若对任意的,在上恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【分析】(1)先对函数求导,得到,分别讨论,两种情况,根据导数的方法判定函数单调性,得出极值,根据题中条件,即可得出结果;(2)令,根据

33、题中条件,将不等式恒成立问题转化为对恒成立,等价于,对恒成立,先讨论时,求得,不满足题意;再讨论时,对其求导,得到,令,再分别讨论,两种情况,根据导数的方法,即可得出结果.【详解】(1)由题意,.(i)当时,令,得;,得,所以在单调递增,单调递减,因此的极大值为,不合题意;(ii)当时,令,得;,得或,所以在单调递增,在,在单调递减.所以的极大值为,得.综上所述;(2)令,当时,则对恒成立等价于,即,对恒成立.(i)当时,此时,不合题意.(ii)当时,令,则,其中,令,则在区间上单调递增,时,所以对,从而在上单调递增,所以对任意,即不等式在上恒成立.时,由,及在区间上单调递增,所以存在唯一的使

34、得,且时,.从而时,所以在区间上单调递减,则时,即,不符合题意.综上所述,.【点睛】本题主要考查由函数的极大值求参数,考查导数的方法研究不等式恒成立的问题,属于常考题型,难度较大.28已知函数在处取得极值为2,(1)求函数的解析式;(2)若函数在区间上为增函数,求实数的取值范围;(3)若为函数图像上的任意一点,直线与的图象相切于点,求直线的斜率的取值范围.【答案】(1)答案见解析;(2);(3).【分析】(1)对函数求导,得到,根据题中条件,列出方程组求解,即可得出结果;(2)根据(1)的结果,得到,求出函数的增区间,再由题中条件,列出不等式组求解,即可得出结果;(3)根据导数的几何意义,得到

35、,令,得到,且,求出的范围,即可得出结果.【详解】(1)由得, 因为函数在处取得极值为2,所以,即,解得,;(2)由(1)得,令,解得;即函数的单调递增区间是,因为函数在区间上为增函数,所以只需 ,解得;(3)根据导数的几何意义可得,=令,则,且,由二次函数的性质可得,在上单调递减,在上单调递增,则,又时,;时,;的取值范围是.【点睛】本题主要考查由函数极值点求参数,考查由函数单调性求参数,考查求曲线在某点的切线斜率,属于常考题型.29已知函数在时有极值0,求常数,的值.【答案】【分析】根据,解得或,再验证函数在时是否取得极值,即可得解.【详解】因为,所以,由题意可知,即,解得或,当时,函数为

36、上的递增函数,此时函数无极值,不合题意;当时,令,得或,令,得,所以函数在和上递增,在上递减,所以在时取得极大值,符合题意.所以.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值,属于基础题.30已知函数(1)若在处取得极值,求实数的值;(2)若恒成立,求实数的取值范围【答案】(1);(2)【分析】(1)先求函数的定义域,然后求出导函数,根据在处取得极值,则,求出a的值,然后验证即可;(2)设,然后利用导数研究该函数的最小值,使得最小值大于等于0,从而可求出a的取值范围.【详解】解:(1)函数定义域为,经检验,符合题意(2)解法一:设,则问题可转化为当时,恒成立,由得方程有一负根和一正根,其中不在函数定义域内且在上是减函数,在上是增函数,即在定义域上的最小值为,依题意即又,即令,则当时,是增函数,的解集为,即的取值范围是解法二:恒成立,即恒成立设,则,设,则,当时,则是减函数,即是减函数,当时,先证,设,则,在上是增函数且,时,即,当时,的最大值为2,即的取值范围是【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值以及函数的恒成立问题.对于函数的恒成立问题,一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解.本题选用了参变量分离的方法转化成二次函数求最值问题,属于难题.

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