自考04183概率论与数理统计（经管类）密训高频考点重点汇总.docx

1、 第一章 随机事件与概率知识点名称事件的包含与相等内容设 A,B为两个事件，若 A发生必然导致 B的发生，则称事件 B包含事件 A，或称事件 A包含在事件 B中，记作B A，A B.显然有： A 称事件“A,B中至少有一个发生”为事件 A与事件 B的和事件，也称 A与 B的并，记作A B或 A + B。A B发生意味着：或事件 A发生，或事件 B发生。显然有：A A B, B A B；或A B，则 A B = B和事件称事件“A,B同时发生”为事件 A与事件 B的积事件，也称 A与 B的交，记作A B，简记为 AB。事件 AB发生意味着事件 A发生且事件 B发生，也就是说 A,B都发生。显然积

2、事件有AB A，AB B；若A B，则 AB = A。差事件称事件“A发生而 B不发生”为事件 A与事件 B的差事件，记作 A-B。显然有：A B A；若A B，则 A B =若事件 A与事件 B不能同时发生，即AB =，则事件 A与事件 B是互不相容的两个事件，简称 A与 B互不相容（或互斥）。对于 n个事件A1, A2, , An,如果它们两两互不相容，即AiAj =(i j, i, j = 1,2, , n),则称A1, A2, , An互不相容互不相容称事件“A不发生”为事件 A的对立事件（或余事件，或逆事件），记作A。若事件 A与事件 B中至少有一个发生，且 A与 B互不相容，即A

3、B =，AB =，则称 A与 B互为对立事件。显然有：A = A；=， =；A B = AB = A AB.对立事件交换律结合律分配律A B = B A，A B = B AA (B C) = (A B) C，A (B C) = (A B) CA (B C) = (A B) (A C)，(A B) （A C）对偶律A B = AB，AB= A B1、基本事件的总数是有限的，换句话说样本空间仅含有有限个样本点；2、每个基本事件发生的可能性相同。设为随机试验 E的样本空间，其中所含样本点总古典概型的特点中样本点数，也即中样本点总数数为 n，A为一随机事件，其中所含样本点数为 r，则有P(A) =P(

4、A) =所包含的基本事件数.基本事件总数1、设是随机试验 E的样本空间，对于 E的每个事件 A赋予一个实数，记为 P(A)，称P(A)为事件 A的概率，如果它满足下列条件：P(A) 0；P () = 1；设 1, 2, , 是一列互不相容的事件，则有 0 P(A) 1，P() = 0；2、对于任意事件 A，B有P(A B) = P(A) + P( ) P(AB)。当 A与 B互不相容时，P(A B) = P(A) + P( )。概率3、对于任意事件 A，B，C有P(A B C) = P(A) + P( ) + P( ) P(AB) P(AC) P(BC) + P(ABC)。当 1, 2, ,

5、互不相容时，P( 1 2 ) = P( 1) + P( 2) + P( ),其中 n为正整数。P(B A) = P( ) P(AB)，特别的，当A B时，P(B A) =P( ) P(A)。P(A) = 1 P(A)1、设 A，B是两个事件且P( ) 0，称P( | ) =件概率。()为在事件 B发生条件下事件 A的条)条件概率(1 / 12 2、定理（乘法公式） 设 P(A) 0，则 P(AB)= P(A)P(B | A).同样地，若 P(B) 0，则P(AB)= P(B)P(A| B).n推广到 个事件的情况：（1）设 P(AB) 0，则 P(ABC)= P(A)P(B | A)P(C |

6、 AB).（2）设 P(A1A2L An1) 0，则P(A1A2LAn1An)= P(A1)P(A2 | A1)LP(An | A1A2LAn1)设事件1, 2, , 满足如下两个条件：（1） 1, 2, , 互不相容，且P(A ) 0，i =1,2, , n;（2） 1 2 为样本空间 的一个划分。= ，即 1, 2, ,至少有一个发生，则称 1, 2, ,全概率公式与贝叶斯（Bayes）公式全概率公式设随机试验对应的样本空间为，设 1, 2, ,B是任意一个事件，则P( ) = =1 P(A )P( |A ).是样本空间的一个划分，设1, 2, , 是样本空间的一个划分，B是任一事件，且P

7、( ) 0，则贝叶斯公式|A ) =P(A )P( |A )|A)P(A )P(P(P(A | ) =)P(A)P(若P(AB) = P(A)P( )，则称 A与 B相互独立，简称 A，B独立。性质：（1）设P(A) 0，则 A与 B相互独立的充分必要条件是P( ) = P( | )。（2）若 A与 B相互独立，则 A与B, A与 B，A与B都相互独立。一般，A与 B，A与B, A与 B，A与B，只要有一相互独立，另三组也各自相互独立事件 A与 B相互独立，则 P(AB)=P(A)P(B)事件的独立性设 A，B，C为 3个事件，若满足P(AB) = P(A)P( )，P(AC) = P(A)P

8、( )，P(BC) =P(B)P( )，P(ABC) = P(A)P(B)P( )，则称 A，B，C两两独立，简称 A，B，C独立定义设 A，B，C为 3个事件，若满足P(AB) = P(A)P( )，P(AC) = P(A)P( )，P(BC) =P(B)P( )，则称 A，B，C两两独立。A，B，C独立必有 A，B，C两两独立，反之不然设1, 2, , 为 n个事件，若对于任意整数k(1 k n)和任意 k个整数1 1 2 ,有P( 2 ) = P( 1)P( 2) P( )，则称 1, 2, ,1, 2, ,相互独立，简称1独立n重贝努利(Bernoulli)试验在 n重贝努利试验中，设

9、每次试验中事件 A的概率为p(0 p 1),则事件 A恰好发生 k次的概率( ) =(1 ) = 0,1,2, , .事实上，A在指定的 k次试验中发生，而,在其余 n-k次试验中不发生的概率为(1 ) 。1、乘法原理：若某件事需经k步才能完成，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法做第k步有mk种方法，则完成这件事共有m1m2 Lmk种方法。2、加法原理：若某件事可由k类不同途径之一去完成，在第一类途径中有m1种完成方法，在第二类途径中有m2种完成方法在第k类途径中有mk种完成方法，那么完成这件事共有m1 + m2 +L+ mk种方法。排列与组合2 / 12 第二章 随机变量及其概率分布

10、知识点名称内容若随机变量 X只取有限多个或可列无限多个值，则称 X为离散型随机变量。离散型分布变量设 X为离散型随机变量，可能取值为 1,2, , ， ，且PX = =,= 1,2, ，则称 为 X的分布律（或分布列，或概率分布）。性质： 0， = 1,2, ； = 1=1离散型分布律 1 = = 1 + = 2设 X为连续型随机变量，其概率密度为 ( ).设 g(x)是一严格单调可导函数，其值域为,且 (x) 0.记 x=h(y)为 y= g(x)的反函数，则 Y= g(X)的概率密度f ( ) =离散型随机变量函数的概率分布(h(y) | (y)|， y 。0，其他特别地，当=-，=+时，

11、f ( ) (h(y) | (y)|， y +若随机变量 X只取两个可能值 0,1，且PX = 1 = p，PX = 0 = q，其中0 p 1，q = 1 p，则称 X服从 0-1分布0-1分布分布律为XP01qp若随机变量 X的可能取值为 0,1，n，而 X的分布律为 = PX = k = , = 0,1，n，其中0 p 0,是常数，n是任意正整数，且n = ,则对于任意取定的非负整数 k，有 lim(1 泊松定理) = .由泊松定理，当 n 很大 p 很小时，有近似公式! ，其中=!np。泊松分布设随机变量 X的可能取值为 0,1,2，n，而 X的分布律为0,1,2， ，其中0，则称 X

12、服从参数为的泊松分布，简记为 XP（）设 X为随机变量，称函数F(X) = PX x, (, +)为 X的分布函数。当 X为离散型随机变量时，设 X的分布律为 = PX = k，k = 0,1,2, ,则F(X) = = PX = k = ，k =!定义，其中求和是对所有满足 时0 ( ) 1；F（x）是不减函数，即对于任意的 10，F (+) = 1，即 lim F( ) = 0, lim F( ) = 1 ; F( ) 右 连 续 ， 即 F( + 0) =相对应的概论的求和分布函数2有 F( 1) F( 2)；F () =性质定义lim( + ) = F( )若对于随机变量 X 的分布函

13、数F( )，存在非负数 f(x)，使得对任意实数 x，有F( ) = f(t)dt，则称 X为连续型随机变量，并称 f(x)为 X的概率密度函数，简称概率密度0+连续型随机变量3 / 12 f(x) 0； f(x)= 1；Pa X b = F( ) F( ) = f(x), ；设 x为性质举例+f(x)的连续点，则F(x)存在，且F(x) = f(x)设随机变量 X的概率密度为 则常数 c=（）1，a x b若随机变量 X的概率密度为f(x) = ，则称 X服从区间a,b上的均匀其他0,均匀分布0， x a，分布，简记为 AU(a,b).其分布函数为F(x) = , 0，其中0为常数，则称 X

14、服从参数为x 0若随机变量 X的概率分布为f(x) = 指数分布0,，x 0的指数分布，简记为 XE()，其分布函数为F(x) = 1 0,x 0)22(211、若随机变量 X的概率密度为f(x) =, x +,其中， 2为常数， 2 0，则称 X服从参数为， 2的正态分布，简记为XN(， 2)2、标准正态分布函数F(x)的性质：（1）F( x)=1 F(x)；（2）F(0)= 1；2正态分布 x m （3）对一般正态分布 X N(m,s 2)，其分布函数F(x)= PX x= F；s b m F a m 即 s （4） Pa x b= Pa x b= Pa x b= Pa x a= PX a

15、=1 F . s 第三章 多维随机变量及其概率分布知识点名称二维随机变量内容n个随机变量 1, 2, , 构成的整体X = 1, 2, , 称为一个 n维随机变量或 n维随机向量， 称为 X的第 i（i=1,2，n）个分量二维离散型随机变量：若二维随机变量只能取有限多对或可列无穷多对 (,)，( ,=1,2, )，则称(X,Y)为二维离散型随机变量 .设二维随机变量 (X,Y)的所有可能取值为二维离散型随机变量(,), ( , = 1,2, )，(X,Y)在各个可能取值的概率为：P = 。( , = 1,2, )为(X,Y)的分布律性质： 0，( , = 1,2, )； = 1.=,= = ，

16、( ,=1,2, )，则称P=,=4 / 12 边缘分布律：对于离散型随机变量(X,Y)，分量 X（或 Y）的分布律称为(X,Y)关于 X（或Y）的边缘分布律，记为 ( = 1,2, )（或 ( = 1,2, )），它可由(X,Y)的分布律求出. (X,Y)的边缘分布律有下列性质： 0， 0，( , = 1, ) = 1, =1设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x, y)，若存在非负可积函数f(x, y)，使得对任意的实数 x,y，有F(x, y) = f(u, v) udv，则称(X,Y)为二维随机变量；并称f(x, y)为(X,Y)的概率密度或 X与 Y的联合密度函数。二维连续型随机

17、变量的概率密度按定义，概率密度f(x, y)有以下性质：f(x, y) 0； + + f(x, y) xdy = 1；若 f x, y( )F(x, y)2xy在 x, y 处连续，则有 ( )= f (x, y)；若(X ,Y)的概率密度为 f (x, y)，则(X ,Y)P X ,Y D = f x, y dxdy在平面区域 D（即(X ,Y) D）内取值的概率为 ()()D对连续型随机变量(X,Y)，分量 X（或 Y）的概率密度称为(X,Y)关于 X（或 Y）的边缘概率密度，简称边缘密度，记为( )（或 ( )）。边缘概率密度 ( )或 ( )可由(X, Y)边缘概率密度的概率密度 f(

18、x, y)求出： ( ) = + f(x, y) ， x +； ( ) =+ f(x, y)， y 0， D(Y) 0，称D(Y )为 X与 Y的相关系数，记为 r XY，即定义性质Cov(X ,Y )D(X ) D(Y )r XY=相关系数（1） r XY 1， r xx =1（2） r XY =1存在常数a,b使 PX = aX + b=1且a 0。（3）若相关系数 r XY = 0则称 X与 Y不相关。6 / 12 分布分布律或概率密度PX = 0= q，q =1 p，PX =1= p，0 p 0的指数分布，概率密度为连续型X 服从指数分布X E(l)11ll2lelx, x 0,f (

19、x)= 0, x 0,设 X N(m,s 2)概率密度为X 服从正态分布X N(m,s 2)(xm )2s 221ms2f (x)= 2ps e， x 0，有D(X )，或 PX E(X ) e1 D(X )PX E(X ) ee2e2设随机变量Zn是 次独立重复试验中事件 A发生的次数，np是事件 A发生的概率，则棣莫弗拉普拉斯中心极限定理t 2lim P np x=Zn1edt = F(x),xx2对于任意实数 ，2pnnpq其中q =1 p ,F(x)为标准正态分布函数.设 X1, X 2,L, X n,L是独立同分布的随机变量序列，且具有相同数学期望和方差nX i nm的分布函数为 F

20、n(x)，E(X i)= m ， D(X i)= s 2(i =1,2,L)。记随机变量Yn = i=1则对于任意实数x，有nsnX i nmt 21lim Fn(x)= lim PYn x= lim P =1i x = xdt = F(x)，p e22nnnns其中F(x)为标准正态分布函数n当 n 充分大时，独立同分布的随机变量之和 Zn = X i 的分布近似于正态分布独立同分布序列的中心极限定理=1iN(nm,ns 2).n个独立同分布的正态随机变量之和服从正态分布.中心极限定理表明，不论X1, X 2,L, X n,L同服从什么分布，当n充分大时，其和 Zn近似服从正态分布X = 1

21、n1nX i，有 E X = E X i = m，( ) ( )ni=1若 X1, X 2,L, X n,L的平均值ni=1D(X )= 1 D(X i)= sn2X m。n ，它的标准化随机变量为Yn=nsni=1t 21从而有Y 的分布函数为 Fn(x)，有nlim Fn(x)=tdt = F(x)。e2 2pn当n充分大时，独立同分布随机变量的平均值 X = 1nX i 的分布近似于正态分布ni=1m,s2Nn第六章 统计量及其抽样分布知识点名称内容1、样本方差：设 x1, x2,L, xn为取自某总体的样本，则它关于样本均值 x的平均偏差平样本方差与样本标准差1n 1n方和 s2 =(

22、xi x)2，称为样本方差，其算术根 s = s 2 称为样本标准差.样本标i=1准差与样本均值具有相同的度量单位.2、定理：设总体X具有二阶矩，即 E(X )= m， D(X )= s 2 1 ，(n)，则称X1 N(0,1)， X 2 c 2nD(T)=(n 2)；t分布X1n 2ta (n)= t (n)；4.t =X 2 n 的分布为自由度为 n的 t分a212布，记为t t(n) x21lim f (x)= p e 2 .n2第七章 参数估计知识点名称内容1、用样本矩替换总体矩（矩可以是原点矩也可以是中心矩）；2、用样本矩的函数替换相应的总体矩的函数。矩估计法替换原理（后称此法为矩法

23、）3、基本思想：在总体存在所需要的各阶矩的条件下，用样本的各阶矩去估计总体的相应的各阶矩（统计思想（替换思想），实质是用经验分布函数去替换总体分布）。4、方法步骤：求两矩作方程，解方程得估计。在总体分布形式未知场合可对各种参数作出估计，如：用样本均值 x 估计总体均值 E(X )，即 E(X )= X；用样本二阶中心矩 Sn2估计总体方差D(X )，即 D(X )= Sn2，其中 2 = 1 =1( )2点估计的评价标准包括：相合性、无偏性估计有效性设q =q(x1,L, xn)是的一个估计，的参数空间为Q，若对任意的q Q，有 E(q)=q，无偏性估计则称q是的无偏估计，否则称为有偏估计是取自总体 X 的样本， E(X )= m ， D(X )= s 2 ，由于注意：设 x1, x ,L, xn2E(X )= E(X )= m，E(S)= s2 22，故样本均值 X 是总体均值的无偏估计量，样本方差S是总体方差s 的无偏估计量.无偏性不具有不变性，从而 S不是的无偏估计2单个正态总9 / 12 体参数的置信区间所估参数条件估计函数置信区间u = (x m)x uass ss2已知n, x + uas2n2n m(x m) ta (n 1) s , x + ta (n 1) st =n2未知xsnn 22