1、第二节函数的单调性与最值,总纲目录,教材研读,1.函数的单调性,考点突破,2.函数的最值,考点二求函数的最值,考点一函数的单调性,考点三函数单调性的应用,1.函数的单调性(1)单调函数的定义,教材研读,(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是单调增函数或单调减函数,则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.,2.函数的最值,1.函数y=f(x),x-4,3的图象如图所示,则下列说法正确的是?()?A. f(x)在-4,-1上是减函数,在-1,3上是增函数B. f(x)在区间(-1,3)上的最大值为3,最小值为-2C. f(x)在-4,1上有最小值
2、-2,有最大值3D.当直线y=t与y=f(x)的图象有三个交点时,-1t?B.k-?D.k-,答案D因为函数y=(2k+1)x+b在(-,+)上是减函数,所以2k+10,即k-?.,D,5.若函数f(x)满足“对任意x1,x2R,当x1f(x2)”,则满足f(2 x-1)1,x的取值范围为(1,+).,(1,+),6.已知f(x)=?,x2,6,则f(x)的最大值为,最小值为.,考点一 函数的单调性典例1(1)(2017课标全国,8,5分)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是?()A.(-,-2)B.(-,1)C.(1,+)D.(4,+)(2)下列四个函数中,在(0,+)上为增
3、函数的是?(),考点突破,A.f(x)=3-xB.f(x)=x2-3xC.f(x)=-?D.f(x)=-|x|,典例2已知函数f(x)=?(a0),用定义法判断函数f(x)在(-1,1)上的单调性.,解析任取x1,x2(-1,1),且x10,x1x2+10,(?-1)(?-1)0.又a0,f(x1)-f(x2)0,函数f(x)在(-1,1)上为减函数.,探究如何利用导数求解本例?,解析由于y=?即y=?画出函数图象如图所示,可知函数的单调递增区间为(-,-1和0,1,单调递减区间为-1,0和1,+).,1-1(2018山东济南质检)求函数y=-x2+2|x|+1的单调区间.,1-2试讨论函数f
4、(x)=?(a0)在(-1,1)上的单调性.,解析解法一:(定义法)任取x1,x2(-1,1),且x1x2,f(x)=a?=a?,f(x1)-f(x2)=a?-a?=?.由于-1x1x20,x1-10时, f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),函数f(x)在(-1,1)上递减;当a0时,在(-1,1)上, f (x)0,函数f(x)在(-1,1)上递增.,答案(1)1(2),解析(1)令t=?,则t0,且x=t2+1,原函数变为y=t2+1+t,t0.配方得y=?+?,又t0,y?+?=1.故函数y=x+?的最小值为1.(2)y=?=?=2+?=2+?.,?+?,21,0?2,-1
5、-1+?1,即-1?0恒成立,试求实数a的取值范围.,答案(1)2,解析(1)当x1时,函数f(x)=?为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值,为f(1)=1;当x0,即f(x)在1,+)上是增函数,所以f(x)min=f(1)=1+?+2=?.(ii)f(x)=x+?+2,x1,+).当a0时, f(x)在1,+)内为增函数,最小值为f(1)=a+3.要使f(x)0在x1,+)上恒成立,只需a+30,所以-30,a-3,所以0x11时,f(x2)-f(x1)(x2-x1)abB.cbaC.acbD.bac,答案D,解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且在(1,+)上是减
6、函数.所以a=f?=f?,所以f(2)f?f(3),即bac.,命题方向一比较大小,D,命题方向二解不等式典例5已知函数f(x)为(0,+)上的增函数,若f(a2-a)f(a+3),则实数a的取值范围为.,答案(-3,-1)(3,+),解析由已知可得?解得-33,所以实数a的取值范围为(-3,-1)(3,+).,(-3,-1)(3,+),命题方向三求参数的值或取值范围典例6已知函数f(x)=?满足对任意的实数x1x2都有 ?0成立,则实数a的取值范围为?()A.(0,1)B.?C.?D.,C,3-1设函数f(x)=?若函数y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递增,则实数a的取值范围是?()A.(-,1B.1,4C.4,+)D.(-,14,+),D,答案D作出函数y=f(x)的图象,如图所示,?由图象可知f(x)的单调递增区间为(-,2,(4,+),所以要使f(x)在(a,a+1)上单调递增,需满足a+12或a4,即a1或a4,故选D.,3-2已知函数f(x)=ln x+2x,若f(x2-4)2,则实数x的取值范围是.,(-?,-2)(2,?),解析因为函数f(x)=ln x+2x在定义域上单调递增,且f(1)=ln 1+2=2,所以由f(x2-4)2得, f(x2-4)f(1),所以0x2-41,解得-?x-2或2x?.,答案(-?,-2)(2,?),
