2019届高考数学一轮复习第七章立体几何第二节空间几何体的表面积与体积课时作业.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第二节 空间几何体的表面积与体积 课时作业 A 组 基础对点练 1 (2018 合肥市质检 )已知一个圆锥底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内切球的表面积为 ( ) A B.32 C 2 D 3 解析： 依题意，作出圆锥与球的轴截面，如图所示，设球的半径为 r，易知轴截面三角形边 AB 上的高为 2 2，因此 2 2 r3 r1，解得 r 22 ，所以圆锥内切球的表面积为 4( 22 )2 2 ，故选 C. 答案： C 2平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 的距离为 2，则此球的体积为 ( ) A. 6 B 4 3 C 4 6 D

2、6 3 解析 ： 设球的半径为 R， 由球的截面性质得 R 2 2 12 3， 所以球的体积 V 43 R3 4 3 . 答案： B 3已知一个几何体的三视图如图 所示，则该几何体的体积为 ( ) A.323 B 163 C.83 D 43 解析：该几何体由一个三棱锥和一个三棱柱组合而成，直观图如图所示， =【 ;精品教育资源文库 】 = V V 柱 V 锥 12(1 1)12 13 12(1 1)12 83，故选 C. 答案： C 4如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线 (实线和虚线 )表示的是某几何体的三视图，则该几何体外接 球的体积为 ( ) A 24 B 29 C 48 D 58

3、解析：如图，在 324 的长方体中构造符合题意的几何体 (三棱锥 A BCD)，其外接球即为长方体的外接球，表面积为 4 R2 (3 2 22 42) 29. 答案： B 5 (2018 合肥市质检 )如图，网格纸上小正方形的边长为 1，实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 3 B 3 2 C 9 D 9 2 解析：由题中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图中的梯形为底面的四 棱锥，其底面面积 S 12(2 4)1 3，高 h 3，故其体积 V 13Sh 3，故选 A. 答案： A 6若三棱锥 P ABC 的最长的棱 PA 2，且各面均

4、为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是 _ 解析：如图，根据题意，可把该三棱锥补成长方体，则该三棱锥的外接球即该长方体的外接球，易得外接球的半径 R 12PA 1，所以该三棱锥的外接球的体积 V 431 3 43. 答案： 43 7已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 2 的球 O 的球面上，且 AB 3， BC 3，过点 D 作 DE垂直于平面 ABCD，交球 O 于 E，则棱锥 E ABCD 的体积为 _ 解析：如图所示， BE 过球心 O， DE 42 32 3 2 2， VE ABCD 133 32 2 3. 答案 ： 2 3 8 已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点， AH H

5、B 1 2， AB 平面 ， H 为垂足， 截球 O 所得截面的面积为 ，则球 O 的表面积为 _ 解析：如图，设截面小圆的半径为 r，球的半径为 R，因为 AH HB 1 2，所以 OH 13R.由勾股定理，有 R2 r2 OH2，又由题意得 r2 ，则 r 1，故 R2 1 (13R)2，即 R2 98.由=【 ;精品教育资源文库 】 = 球的表面积公式，得 S 4 R2 92 . 答案： 92 9如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E， F 分别在 AD， CD 上， AE CF， EF交 BD 于点 H.将 DEF 沿 EF 折到 D EF 的位置 (1)证

6、明： AC HD ； (2)若 AB 5， AC 6， AE 54， OD 2 2，求五棱锥 D ABCFE 的体积 解析： (1)证明：由已知得 AC BD， AD CD. 又由 AE CF 得 AEAD CFCD，故 AC EF. 由此得 EF HD， EF HD ，所以 AC HD. (2)由 EF AC 得 OHDO AEAD 14. 由 AB 5， AC 6 得 DO BO AB2 AO2 4. 所以 OH 1， D H DH 3. 于是 OD 2 OH2 (2 2)2 12 9 D H2， 故 OD OH. 由 (1)知， AC HD ，又 AC BD， BD HD H， 所以 A

7、C 平面 BHD ，于是 AC OD. 又由 OD OH， AC OH O，所以 OD 平面 ABC. 又由 EFAC DHDO得 EF 92. =【 ;精品教育资源文库 】 = 五边形 ABCFE 的面积 S 12 68 12 923 694. 所以五棱锥 D ABCFE 的体积 V 13 694 2 2 23 22 . 10 (2018 莆田质检 )如图，在四棱锥 S ABCD 中，四边形 ABCD 为矩形， E 为 SA 的中点，SA SB 2， AB 2 3， BC 3. (1)证明： SC 平面 BDE； (2)若 BC SB，求三棱锥 C BDE 的体积 解析： (1)证明：连接

8、AC，设 AC BD O， 四边形 ABCD 为矩形，则 O 为 AC 的中点 在 ASC 中， E 为 AS 的中点， SC OE， 又 OE? 平面 BDE， SC?平面 BDE， SC 平面 BDE. (2) BC AB， BC SB， AB SB B， BC 平面 SAB，又 BC AD， AD 平面 SAB. SC 平面 BDE， 点 C 与点 S 到平面 BDE 的距离相等， VC BDE VS BDE VD SBE， 在 ABS 中， SA SB 2， AB 2 3， S ABS 122 31 3. 又 E 为 AS 的中点， S BES 12S ABS 32 . =【 ;精品教

9、育资源文库 】 = 又点 D 到平面 BES 的距离为 AD， VD BES 13S BES AD 13 32 3 32 ， VC BDE 32 ， 即三棱锥 C BDE 的体积为 32 . B 组 能力提升练 1 (2018 湖北七市联考 )一个几何体的三 视图如图所示，该几何体外接球的表面积为 ( ) A 36 B 1123 C 32 D 28 解析：根据三视图，可知该几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为 4 的正方形，高是2 3.将该四棱锥补形成一个三棱柱，如图所示，则其底面是边长为 4 的正三角形，高是 4，该三棱柱的外接球即为原四棱锥的外接球 三棱柱的底面是边长为 4 的正三角形，

10、 底面三角形的中心到该三角形三个顶点的距离为 232 3 4 33 ， 外接球的半径 R ?4 332 22 283 ，外接球的表面积 S 4 R2 4 283 1123 ，故选 B. 答案： B 2 (2018 广州模拟 )九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑若三棱锥 P ABC 为鳖臑， PA 平面 ABC， PA AB 2， AC 4，三棱锥 P ABC 的四个顶 点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面=【 ;精品教育资源文库 】 = 积为 ( ) A 8 B 12 C 20 D 24 解析：如图，因为四个面都是直角三

11、角形，所以 PC 的中点到每一个顶点的距离都相等，即PC 的中点为球心 O，易得 2R PC 20，所以 R 202 ，球 O 的表面积为 4 R2 20 ，选C. 答案： C 3在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1内有一个体积为 V 的球若 AB BC， AB 6， BC 8， AA13，则 V 的最大值是 ( ) A 4 B.92 C 6 D.323 解析：由题意可得若 V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为 2，球的直径为 4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径 R 32，该球的体积最大， Vmax 43 R3 4

12、3 278 92 . 答案： B 4四棱锥 S ABCD 的所有顶点都在同一个球面上，底面 ABCD 是正方形且和球心 O 在同一平面 内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于 8 8 3，则球 O 的体积等于 ( ) A.323 B 32 23 C 16 D 16 23 解析：依题意，设球 O 的半径为 R，四棱锥 S ABCD 的底面边长为 a、高为 h，则有 h R，即 h 的最大值是 R，又 AC 2R，则四棱锥 S ABCD 的体积 VS ABCD 132 R2h 2R33 .因此，当四棱锥 S ABCD 的体积最大，即 h R 时，其表面积等于 ( 2R)2 4 12 2R 2

13、R22 R2 8 8 3，解得 R 2，因此球 O 的体积等于 4 R33 323 ，选 A. 答案： A =【 ;精品教育资源文库 】 = 5 (2017 河北质量监测 )多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为 _cm3. 解析： 由三视图可知该几何体是一个三棱锥，如图所示，在三棱锥 D ABC 中，底面 ABC 是等腰三角形，设底边 AB 的中点 为 E，则底边 AB 及底边上的高 CE 均为 4，侧棱 AD 平面 ABC，且 AD 4，所以三棱锥 D ABC 的体积 V 13S ABC AD 13 12444 323(cm3) 答案： 323 6已知正四棱锥 O ABCD 的体积为

14、3 22 ，底面边长为 3，则以 O 为球心， OA 为半径的球的表面积为 _ 解析：过 O 作底面 ABCD 的垂线段 OE(图略 )，则 E 为正方形 ABCD 的中心由题意可知 13( 3)2 OE 3 22 ，所以 OE 3 22 ，故球的半径 R OA OE2 EA2 6，则球的表面积 S 4 R2 24. 答案： 24 7如图，已知正三棱锥 PABC 的侧面是直角三角形， PA 6.顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D， D 在平面 PAB 内的正投影为点 E，连接 PE 并延长交 AB 于点 G. (1)证明： G 是 AB 的中点； (2)在图中作出点 E 在平面 PA

15、C 内的正投影 F(说明作法及理由 )，并求四面体 PDEF 的体积 解析： (1)证明：因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 AB PD. 因为 D 在平面 PAB 内的正投影为 E，所以 AB DE. 因为 PD DE D， 所以 AB 平面 PED，故 AB PG. =【 ;精品教育资源文库 】 = 又由已知，可得 PA PB，所以 G 是 AB 的中点 (2)在平面 PAB 内，过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F， F 即为 E 在平面 PAC 内的正投影 理由如下：由已知可得 PB PA， PB PC，又 EF PB，所以 EF PA， EF PC.因此 EF 平面PAC，