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1、第十章第十章 机翼与叶栅理论机翼与叶栅理论机翼和叶栅是飞行器与叶轮机械的最主要元件，叶机翼和叶栅是飞行器与叶轮机械的最主要元件，叶栅是剖面为翼型的一系列叶片的组合。本章用流体栅是剖面为翼型的一系列叶片的组合。本章用流体力学的原理和方法力学的原理和方法建立流体作用于机翼和叶栅上的建立流体作用于机翼和叶栅上的力的计算方法力的计算方法，为其设计奠定理论基础。，为其设计奠定理论基础。本章主要内容：本章主要内容：（1）翼型的几何要素和流体动力特性；）翼型的几何要素和流体动力特性；（2）翼型动力特性的流体力学原理，包括保角变换）翼型动力特性的流体力学原理，包括保角变换法和奇点分布法；法和奇点分布法；（3）

2、叶栅特征方程；）叶栅特征方程；（4）叶栅流动的保角变换解法和奇点分布解法。）叶栅流动的保角变换解法和奇点分布解法。第一节第一节 机翼升力原理机翼升力原理机翼是指产生的升力比其阻力大得多的物体。机翼是指产生的升力比其阻力大得多的物体。该特性取决于其该特性取决于其剖面形状（翼型）剖面形状（翼型）。理论依据理论依据：（1）流体有环量绕流会产生升力；）流体有环量绕流会产生升力；（2）绕流阻力由粘性摩擦阻力和压差阻力两部）绕流阻力由粘性摩擦阻力和压差阻力两部分组成。分组成。小攻角翼型绕流小攻角翼型绕流FL流线较密，速度大流线较密，速度大流线较疏，速度小流线较疏，速度小压力系数分布曲线压力系数分布曲线 吸

3、力吸力压力压力机翼一部分是由流过上表面的空气把它吸机翼一部分是由流过上表面的空气把它吸起来的，且上表面产生的负压对全部升力的起来的，且上表面产生的负压对全部升力的贡献大于下表面的贡献。贡献大于下表面的贡献。较大攻角翼型绕流较大攻角翼型绕流翼型表面压强的分布翼型表面压强的分布大攻角翼型绕流大攻角翼型绕流流体绕过翼型时要产生升力，是流体绕过翼型时要产生升力，是由于翼型由于翼型上下表面速度不同造成压强分布的不同。上下表面速度不同造成压强分布的不同。将上下翼面速度分布的差异视为将上下翼面速度分布的差异视为均匀的无均匀的无穷远来流穷远来流与由翼型形成的与由翼型形成的有一定环量的环有一定环量的环流流两者叠

4、加而成。两者叠加而成。升力的大小与流体绕流翼型的环量升力的大小与流体绕流翼型的环量成正比，成正比，即即 vFL环量的大小与翼型的形态有关。环量的大小与翼型的形态有关。第二节第二节 翼型的几何参数翼型的几何参数飞机的机翼和水轮机等流体机械的叶片的剖面形状飞机的机翼和水轮机等流体机械的叶片的剖面形状称为翼型，翼型的周线称为形线。翼型的形状称为翼型，翼型的周线称为形线。翼型的形状一般一般是圆头尖尾的流线形是圆头尖尾的流线形。后缘后缘前前缘缘上弧线上弧线下弧线下弧线（骨线）（骨线）2.翼型中弧线翼型中弧线：轮廓线的内切圆之圆心连线，：轮廓线的内切圆之圆心连线，也称为翼型的骨线或中线。也称为翼型的骨线或

5、中线。3.翼型的（最大）弯度翼型的（最大）弯度：中弧线的最大纵坐：中弧线的最大纵坐标，用标，用f表示，弯度也称为拱度。表示，弯度也称为拱度。最大相对弯度最大相对弯度最大弯度的相对位置最大弯度的相对位置1.翼弦翼弦：连接翼型前后缘直线，弦长用：连接翼型前后缘直线，弦长用b表示。表示。bff/bxxff/4.翼型的（最大）厚度翼型的（最大）厚度：翼型的各垂线被：翼型的各垂线被翼型上下表面型线所截的最大者，用翼型上下表面型线所截的最大者，用t表示。表示。最大相对厚度最大相对厚度最大厚度的相对位置最大厚度的相对位置5.前后缘半径前后缘半径：翼型的前后缘圆角半径，：翼型的前后缘圆角半径，用用rl和和rt

6、表示。表示。btt/bxxtt/工程实际中应用的一些翼型的基本形状：工程实际中应用的一些翼型的基本形状：翼型上下表面坐标翼型上下表面坐标y0,1(x)与弯度坐标与弯度坐标yf(x)和厚和厚度坐标度坐标yt(x)的关系式为：的关系式为：)()()(1,0 xyxyxytf 中弧线的中弧线的y y坐标坐标局部厚度的一半局部厚度的一半NACA翼型翼型NACA翼型是美国国家航空资讯委员会翼型是美国国家航空资讯委员会（National Advisory Committee for Aeronautics）所发表的所发表的翼型系列，有以下常用的系列翼型：翼型系列，有以下常用的系列翼型：（1）NACA四位数

7、字翼型四位数字翼型厚度厚度方程为：方程为：)5075.04215.17580.16300.04845.1()(432xxxxxtxyt 最大厚度最大厚度前缘半径前缘半径 2109.1)(txrl 中弧线中弧线取为两段抛物线，这两段抛物线在中弧线取为两段抛物线，这两段抛物线在中弧线的最高点相切的最高点相切 2)21()1(22xxxxxfyffff )2(22xxxxfyfff )(fxx )(fxx 例如：例如：最大弯度为弦最大弯度为弦长的百分之几长的百分之几即即 最大厚度是弦最大厚度是弦长的百分之几长的百分之几即即 最大弯度位置最大弯度位置离前缘为弦长离前缘为弦长的十分之几，的十分之几，即即

8、%2 f%40 fx%12 t18（）（）NACA五位数字翼型五位数字翼型NACA2 3 0 1 2例如例如五位数字翼型的厚度分布同四位数字翼型。五位数字翼型的厚度分布同四位数字翼型。相对厚度相对厚度 12%t最大弯度的相对最大弯度的相对位置的百分数的位置的百分数的两倍两倍230%fx最大弯度为弦最大弯度为弦长的百分之几长的百分之几即即 2%f19翼面上最低压力点位置尽可能后移，以延长翼面上最低压力点位置尽可能后移，以延长顺压梯度段长度，努力使其边界层为层流状态，顺压梯度段长度，努力使其边界层为层流状态，降低翼型的摩阻。降低翼型的摩阻。（)NACA)NACA层流翼型层流翼型NACANACA层流

9、翼型应用较多的是层流翼型应用较多的是6 6系列系列例如例如NACA6 4-2 0 8层流层流最低压力点位置离最低压力点位置离前缘位置在前缘位置在0.40.4的弦的弦长处长处设计升力系数设计升力系数的十分之一的十分之一相对厚度相对厚度%8 t20NACANACA层流翼型的基本形状及最小压力点位置层流翼型的基本形状及最小压力点位置 此外还有前苏联，德国、英国的翼型，我国此外还有前苏联，德国、英国的翼型，我国也曾设计自己翼型，但应用最多的是也曾设计自己翼型，但应用最多的是NACA系系列翼型。列翼型。机翼的常机翼的常见平面图见平面图形形机翼的平面图形机翼的平面图形展长展长第三节第三节 翼型的流体动力特

10、性翼型的流体动力特性翼型的流体动力特性主要包括翼型翼型的流体动力特性主要包括翼型压力分布压力分布特性、升力特性、阻力特性、俯仰力矩特性特性、升力特性、阻力特性、俯仰力矩特性等。这些特性与机翼等。这些特性与机翼冲角（攻角）冲角（攻角）有关。有关。（冲角）攻角（冲角）攻角 翼弦与无穷远来流方向翼弦与无穷远来流方向的夹角，用的夹角，用表示。表示。对于任意一个翼型，会在某一冲角时，其升对于任意一个翼型，会在某一冲角时，其升力等于零，此时的来流方向称为力等于零，此时的来流方向称为零升力方向零升力方向。零升力方向与翼弦的夹角称为零升力方向与翼弦的夹角称为零冲角零冲角，用，用0表示。表示。来流速度来流速度v

11、与零升力方向的夹角与零升力方向的夹角a称为称为气动气动冲角（流体动力冲角）冲角（流体动力冲角），0 a一般为负值一般为负值零升力方向零升力方向流体对翼型的流体对翼型的总作用力总作用力R可以分解为两个相可以分解为两个相互垂直的分力，分别是平行于来流方向的互垂直的分力，分别是平行于来流方向的阻阻力力D和垂直于来流方向的和垂直于来流方向的升力升力L。压力中心点压力中心点S，距前缘位置为，距前缘位置为xs。1.压力分布特性压力分布特性221 vppCp 压力系数压力系数压力系数分布曲线压力系数分布曲线 吸力吸力压力压力2.升力系数升力系数bvLCL221 攻角攻角 升力系数升力系数线性线性 到临界攻角

12、到临界攻角，升力系升力系数达最大值数达最大值LmaxLmax若再若再 突突 伴随伴随C CD D 突突 称为称为“失速失速”机翼失速是由于边界层分离造成的，失速机翼失速是由于边界层分离造成的，失速时的冲角称为时的冲角称为失速角失速角，一般由实验确定，一般由实验确定，通常在通常在1020之间。之间。多数翼型：多数翼型：%0f 最大升力系数最大升力系数LmaxLmax主要与翼弦雷诺数主要与翼弦雷诺数Re、翼型、翼型最大相对厚度最大相对厚度 、最大相对弯度、最大相对弯度 及表面粗糙度及表面粗糙度有关，下面逐一进行讨论。有关，下面逐一进行讨论。ft 升力曲线升力曲线 平行上移，而平行上移，而cr保保

13、持不变。持不变。C CL L与与 的关系：的关系：ff C CL L与与 的关系：的关系：t%15%12 tLmax 达到最大。达到最大。C CL L与与ReRe的关系：的关系：ReRe LmaxLmax ,增大增大Re,Re,可推迟边界可推迟边界层分离。层分离。小结：小结：通常，通常，CLmax值最大，随值最大，随 或或Re的增大而增加。接近前缘的表面粗糙度对的增大而增加。接近前缘的表面粗糙度对CLmax的影响很敏感，随粗糙度增加将减小。因的影响很敏感，随粗糙度增加将减小。因此，为获得较大的升力系数，翼型头部应采用此，为获得较大的升力系数，翼型头部应采用光滑曲面。光滑曲面。%15%12 tf

14、3.阻力系数阻力系数翼型阻力翼型阻力表面摩擦阻力表面摩擦阻力压差阻力压差阻力bvDCD221 翼型阻力系数：翼型阻力系数：翼型阻力大小与翼型参数、冲角大小、翼型阻力大小与翼型参数、冲角大小、ReRe有密切关系。有密切关系。Re CD CD =0=0时时D取极小值取极小值为提高流动性能，为提高流动性能，需特别重视翼型阻力的最小需特别重视翼型阻力的最小值值。实验表明，。实验表明，时，其翼型阻力最小。时，其翼型阻力最小。由于冲角对翼型阻力的影响很大，因此欲设计由于冲角对翼型阻力的影响很大，因此欲设计获得一定升力系数而阻力最小的话，获得一定升力系数而阻力最小的话，应考虑使应考虑使用有弯度的翼型用有弯度

15、的翼型。用弯度来提高升力系数所引。用弯度来提高升力系数所引起的阻力增加量最小。起的阻力增加量最小。%6 t4.俯仰力矩系数俯仰力矩系数由升力和阻力合成的总动力由升力和阻力合成的总动力R的力矩称为的力矩称为俯仰力俯仰力矩矩M。俯仰力矩的大小与所选取的力矩的参考俯仰力矩的大小与所选取的力矩的参考点有关。参考点通常有两种取法：点有关。参考点通常有两种取法：取翼型前缘取翼型前缘为参考点为参考点和和取离前缘为取离前缘为1/4弦长处为参考点弦长处为参考点。前。前者用者用M0表示，相应的力矩系数为表示，相应的力矩系数为Cm0；后者用；后者用 表示，相应的力矩系数为表示，相应的力矩系数为 。bvMCm2002

16、1 41M41mCmomo曲线曲线m m1/41/4曲线曲线NACA对称翼型的俯仰力矩曲线对称翼型的俯仰力矩曲线可以看可以看出，压出，压力中心力中心恒为离恒为离前缘前缘1/4弦长处弦长处复变函数的重要定理复变函数的重要定理1.柯西积分定理如f(z)在封闭曲线C内和C上都是解析和单值的，则0)(Cdzzf2.泰勒级数如f(z)在封闭曲线C内和C上都是解析函数，且z=z0是内的一个点，则f(z)可展开为如下收敛的泰勒级数：)(!)()()()()(00000zfnzzzfzzzfzfnn3.罗朗级数如f(z)在z=z0中心的两个同心圆C和C的圆环内是解析函数，则f(z)可以用（z-z0）的正和负的

17、幂次式展开，即有环形区间内都收敛的罗朗级数：nnnzzAzf)()(0式中，An为复系数。4.柯西留数定理孤立奇点：如函数f(z)在点z=z0不解析，但是在z0的去心领域0|z-z0|内处处解析，那么称z0为f(z)的孤立奇点。留数的定义：设z=z0为函数f(z)的孤立奇点，函数f(z)在0|z-z0|R内解析，C是任意正向圆周|z-z0|=c的圆变换为 z 平面上长半轴为a+c2/a（位于实轴），短半轴为 ac2/a 的椭圆。（二）绕椭圆柱体的势流平面上绕圆柱流动的复势为)()(22 aeveavevzWiii 儒可夫斯基变换函数的反函数为2222czz z平面上椭圆绕流的复势为2222)(

18、22222czzeaveczzvzWii 化简，得到22)(222 czzeecazevzWiii 前后驻点为 cos)(2,acaxBA sin)(2,acayBA 1、1.4.P7z,2 cosA Bxc,0A By2iicWee22()2sin22izzW zzeic1.4.P82、4sinc 2()2sinlniicWeeicc1.4.P9z22222 sinlnzzci cc2 sinlC22222()222(2)iizzc eW zcezzc2sinLb1.4.P10mczc 1.4.P112 cos,21 cossinxcyc221122xxyccc 20.3851 212xxy

19、tbb max2ty式中b 1.4.P12 Wzz 2ln2iiaimWm eema41sinc 1 0.77sinbt b 21 0.77sinLbt b1.4.P1321 0.77sinlCt blCc z 2222224ccxycmm1.4.P14b=4c f=2mz b f 2222218416bbbyxff W(z)2ln2iiaiimWim eeimasin2fbdb 1.4.P1522 sinlfCb（六）z1.4.P16)2sin(2bfbvL 2222222210.385 114168bbbxxyxtffbb1.4.P17W(z)221 0.77sinltfCbblC21 0

20、.77sintfbbb 1.4.P18 2ln2iiiiiaimeWmeeemea第六节第六节 叶栅及叶栅特征方程叶栅及叶栅特征方程 叶片式水力机械的转轮、导叶轮都由若干叶片式水力机械的转轮、导叶轮都由若干个个相同的叶片或翼型按相互等距离排列组相同的叶片或翼型按相互等距离排列组成成，叶片或翼型之间将彼此相互影响。，叶片或翼型之间将彼此相互影响。按按照一定规律排列起来而又相互影响的叶片照一定规律排列起来而又相互影响的叶片或翼型的组合，叫做或翼型的组合，叫做翼栅或叶栅翼栅或叶栅。叶栅理论的目的在于寻找叶栅与流体之间叶栅理论的目的在于寻找叶栅与流体之间相互作用的运动学和动力学规律，以及影相互作用的运

21、动学和动力学规律，以及影响这些规律的各种因素，是响这些规律的各种因素，是叶片式水力机叶片式水力机械械水动力学计算的理论基础。水动力学计算的理论基础。一、叶栅的主要类型一、叶栅的主要类型按流体流经叶栅流道的流动是平面流动还按流体流经叶栅流道的流动是平面流动还是空间流动，可将叶栅分为是空间流动，可将叶栅分为平面叶栅平面叶栅和和空空间叶栅间叶栅。平面叶栅：平面叶栅：轴流式涡轮机械轴流式涡轮机械的转轮和导叶，的转轮和导叶，径流式水轮机径流式水轮机、水泵及压缩机的转轮和导叶。、水泵及压缩机的转轮和导叶。空间叶栅：空间叶栅：混流式涡轮机械混流式涡轮机械的转轮。的转轮。轴流式涡轮机械轴流式涡轮机械径流式涡轮

22、机械径流式涡轮机械混流式涡轮机械混流式涡轮机械将轴流式涡轮机械叶栅流动用圆柱状流面展将轴流式涡轮机械叶栅流动用圆柱状流面展开后得到一直列的平面叶栅。开后得到一直列的平面叶栅。径流式机械的流面各叶片组成一环列平面叶径流式机械的流面各叶片组成一环列平面叶栅栅二、叶栅的主要几何参数二、叶栅的主要几何参数1 1列线列线叶栅中各翼型相应点的连线称为叶栅的列线叶栅中各翼型相应点的连线称为叶栅的列线，通常以叶片前后缘点的连线表示列线通常以叶片前后缘点的连线表示列线。列。列线的类型：直线、圆周。线的类型：直线、圆周。2 2栅轴栅轴垂直于列线的直线称为栅轴垂直于列线的直线称为栅轴，对环列叶栅的，对环列叶栅的栅轴

23、应是转轴。栅轴应是转轴。3.栅距栅距直列叶栅中相邻两翼型上相应点之间的距离直列叶栅中相邻两翼型上相应点之间的距离称为栅距，用称为栅距，用t表示。表示。4.安放角安放角翼型的翼型的弦线与列线之间的夹角弦线与列线之间的夹角称为安放角，称为安放角，用用s表示。中弧线在前缘点处的切线与列表示。中弧线在前缘点处的切线与列线的夹角叫进口安放角，用线的夹角叫进口安放角，用s1表示。同样可表示。同样可定义出口安放角定义出口安放角s2。5.稠密度稠密度直列叶栅中翼型弦长与栅距之比直列叶栅中翼型弦长与栅距之比b/t叫做叶叫做叶栅的稠密度，其倒数栅的稠密度，其倒数t/b叫相对栅距叫相对栅距。环列叶栅环列叶栅没有栅距

24、，就没有稠密度的概念。没有栅距，就没有稠密度的概念。叶栅可按稠密度进行分类：叶栅可按稠密度进行分类：b/t1，稠叶栅，稠叶栅三、叶栅的升力定理三、叶栅的升力定理翼型的冲角及进、出气角翼型的冲角及进、出气角对于对于孤立翼型孤立翼型，无穷远来流速度与翼弦之，无穷远来流速度与翼弦之间的夹角间的夹角称为冲角。规定冲角在翼弦以下称为冲角。规定冲角在翼弦以下的为正，以上的为负。的为正，以上的为负。流体在叶栅进口的速度流体在叶栅进口的速度v1与列线之间的夹角与列线之间的夹角1称为称为进气角进气角；出口速度；出口速度v2与列线之间的夹与列线之间的夹角角2称为称为出气角出气角。讨论理想不可压缩流体绕流平面直列叶

25、栅讨论理想不可压缩流体绕流平面直列叶栅的作用力：的作用力：选取选取控制体控制体ABCD，线段线段AB和和CD远离叶栅，远离叶栅，平行于叶栅列线，长度等于栅距平行于叶栅列线，长度等于栅距。认为线。认为线段段AB和和CD上的速度和压强均匀分布；上的速度和压强均匀分布；AD和和BC为两条流线。同时，假设叶栅中围为两条流线。同时，假设叶栅中围绕每个翼型的流动是完全相同的。绕每个翼型的流动是完全相同的。控制体内控制体内流体所受的作用力流体所受的作用力为为 yyxxFRtppFR)(21对控制体内流体列对控制体内流体列动量方程动量方程：)(0)(1212yyxyxxxxvvtvRvvtvR 因此，得到因此

26、，得到 )()(2121yyxyxvvtvFtppF（1）下面求控制体封闭曲线的速度环量。下面求控制体封闭曲线的速度环量。)(12yyBADCADCBAvvt （2）由由AB、CD的伯努利方程，得到的伯努利方程，得到)(21212221vvpp )(212122yyvv yyyvvv)(12 （3）将式（将式（2）代入式（）代入式（3），得），得tvppy 21上式即为上式即为叶栅的升力定理叶栅的升力定理。表明表明流体作用在叶栅每个翼型上的合流体作用在叶栅每个翼型上的合力大小等于流体密度、力大小等于流体密度、平均速度平均速度以及绕翼型的速度环量的乘积。以及绕翼型的速度环量的乘积。yxvF xy

27、vF vFFFyx 22将上式代入式（将上式代入式（1），得），得221xxxvvv 221yyyvvv 22yxvvv 四、等价叶栅四、等价叶栅 如果两个由不同翼型组成的栅距相同的叶如果两个由不同翼型组成的栅距相同的叶栅在任何来流情况下升力相同，则称为两叶栅在任何来流情况下升力相同，则称为两叶栅等价。栅等价。任何叶栅都存在它等价的叶栅，且等价叶任何叶栅都存在它等价的叶栅，且等价叶栅的叶型可以任意。栅的叶型可以任意。特别是任何叶栅都能找特别是任何叶栅都能找到与它等价的平板叶栅。到与它等价的平板叶栅。满足条件：满足条件：（1）平板叶栅与原叶栅的栅距）平板叶栅与原叶栅的栅距t相等；相等；（2）安放

28、角等于原叶栅的无环量绕流角）安放角等于原叶栅的无环量绕流角0（即（即零升力方向）；零升力方向）；（3）弦长满足：）弦长满足：zllzbCCb)/(升力系数升力系数五、叶栅绕流问题的解法五、叶栅绕流问题的解法1.正命题正命题实际上是实际上是叶栅的流动分析问题叶栅的流动分析问题：给定叶栅：给定叶栅和翼型的几何参数，叶栅进流速度矢量，和翼型的几何参数，叶栅进流速度矢量，求解叶栅内的流动参数，包括叶面上的速求解叶栅内的流动参数，包括叶面上的速度分布和压强分布。度分布和压强分布。叶栅绕流的求解分为叶栅绕流的求解分为正命题正命题和和反命题反命题。2.反命题反命题实际上是实际上是叶栅的设计问题叶栅的设计问题

29、：给出叶栅进、：给出叶栅进、出流速度矢量，以及叶面上的速度分布或出流速度矢量，以及叶面上的速度分布或压强分布，要求解出满足这种流动的叶栅压强分布，要求解出满足这种流动的叶栅和翼型的几何参数。和翼型的几何参数。求解叶栅绕流的正、反命题的手段有理论分求解叶栅绕流的正、反命题的手段有理论分析法、实验法和数值计算法。这里讨论其中析法、实验法和数值计算法。这里讨论其中的理论分析法，主要包括的理论分析法，主要包括流线法、保角变换流线法、保角变换法和奇点法。法和奇点法。1.流线法流线法从流线下手进行流动分析与叶栅设计，主要从流线下手进行流动分析与叶栅设计，主要求解叶栅的空间绕流，其优点是公式、程序求解叶栅的

30、空间绕流，其优点是公式、程序较简单，但缺点是引入的假设较多，计算精较简单，但缺点是引入的假设较多，计算精度较低。度较低。2.保角变换法保角变换法用来解算由弯度不大的叶栅或由理论翼型所组用来解算由弯度不大的叶栅或由理论翼型所组成的平面叶栅绕流的正、反命题。该方法理论成的平面叶栅绕流的正、反命题。该方法理论上严格，不需要经验数据进行修正，上严格，不需要经验数据进行修正，通常用于通常用于轴流式转轮叶栅设计计算。轴流式转轮叶栅设计计算。基本思想是应用保角变换，把给定的叶栅平面基本思想是应用保角变换，把给定的叶栅平面变换到某一辅助平面，使在辅助平面上的绕流变换到某一辅助平面，使在辅助平面上的绕流是已知的

31、或容易求解的。这样，在叶栅平面上是已知的或容易求解的。这样，在叶栅平面上的流动就可以逆变换关系求出。的流动就可以逆变换关系求出。3.奇点法奇点法用来解任意叶栅正、反命题的现代方法之一。用来解任意叶栅正、反命题的现代方法之一。其实质是在有势流场中置入的其实质是在有势流场中置入的点源系与点涡点源系与点涡系系替代叶栅中的翼型，以确定流场受叶栅干替代叶栅中的翼型，以确定流场受叶栅干扰后的流动。扰后的流动。奇点法成功地解决了环列叶栅绕流的计算和奇点法成功地解决了环列叶栅绕流的计算和直列叶栅汽蚀绕流的计算。直列叶栅汽蚀绕流的计算。当叶栅前方的来流速度和冲角已知时，绕流当叶栅前方的来流速度和冲角已知时，绕流

32、过叶栅后的流动将由特定的叶栅完全确定下过叶栅后的流动将由特定的叶栅完全确定下来。来。叶栅能够决定栅后流动的性能称为叶栅叶栅能够决定栅后流动的性能称为叶栅的动力特性。的动力特性。表征叶栅动力特性的方程，称表征叶栅动力特性的方程，称为为叶栅特征方程叶栅特征方程。一、静止叶栅的特征方程一、静止叶栅的特征方程假设有两个绕流静止直列叶栅的平面有势假设有两个绕流静止直列叶栅的平面有势流动，且这两个流动不相似，它们在叶栅流动，且这两个流动不相似，它们在叶栅前、后的速度分别为：前、后的速度分别为：),(111yxvvv),(111yxvvv),(222yxvvv),(222yxvvvv v依据依据连续性条件连

33、续性条件，xxxvvv111 xxxvvv222 由由势流叠加原理势流叠加原理，上述两势流可以确定另，上述两势流可以确定另一势流，其速度表达式为：一势流，其速度表达式为：vbva v21 （a,b为常数）为常数）对应的栅后速度表达式为：对应的栅后速度表达式为：vb va v21 （1）（2）将式（将式（1）、式（）、式（2）改写成标量形式：）改写成标量形式：212121yyyyyyxxxbvavvbvavvbvavv222122yxyxyxyxvvvvvvvva 211211yxyxyxyxvvvvvvvvb 21yyybvavv xyymvKvv （3）12211221yxyxyxyxvvv

34、vvvvvK 12211221yxyxyyyyvvvvvvvvm 引入新的系数引入新的系数i0Kmi 10式（式（3）可写成）可写成xyyviKKvv0)1(（4）上式两端同时乘以列线长度上式两端同时乘以列线长度2r，r为展为展开成平面叶栅的圆柱流面的半径，有开成平面叶栅的圆柱流面的半径，有xyyviKrrKvrv0)1(22 2 xyyviKrrKvrv0)1(22 2 2 yrv 2yrv QiKK0)1(xrvQ 2（5）上式中，上式中，是圆柱流面出口处的速度环量，是圆柱流面出口处的速度环量，是进口处的速度环量，是进口处的速度环量，Q是两径向距离为是两径向距离为1的圆柱流面间的流量。的圆

35、柱流面间的流量。式（式（5）即为静止直列叶栅前、后流动的特）即为静止直列叶栅前、后流动的特征方程。征方程。系数系数K、i0的物理意义的物理意义两个流量相同、绕流同一叶栅的不同流动，两个流量相同、绕流同一叶栅的不同流动，它们的特征方程为：它们的特征方程为：QiKK011)1(QiKK022)1(2121 K表示单位栅前速度环量变化所造成的栅后表示单位栅前速度环量变化所造成的栅后速度环量的变化。速度环量的变化。t0，栅后速度方向不受栅前流动影响而保，栅后速度方向不受栅前流动影响而保持恒定，因此持恒定，因此K=0;t，视为孤立翼型，栅前、后足够远处，视为孤立翼型，栅前、后足够远处速度相同，因此速度相

36、同，因此K=1。当当t0，b/t 时，流体时，流体无法穿过无法穿过叶栅，叶栅，当当t，b/t 0时，流体时，流体完全穿过完全穿过叶栅，叶栅，故故特征系数特征系数K称为叶栅的穿透系数，称为叶栅的穿透系数，0K1。系数系数K、i0的物理意义的物理意义现考察一种叶栅流动，在该流动中栅前与现考察一种叶栅流动，在该流动中栅前与栅后具有相同的速度矢量，这种流动使翼栅后具有相同的速度矢量，这种流动使翼型不受升力作用，称为型不受升力作用，称为零向来流零向来流。它的特。它的特征方程为：征方程为：0000)1(QiKK 000Qi 0000tan xyvvii0表示零向来流角表示零向来流角0的正切，称为零向系数。

37、的正切，称为零向系数。二、运动直列叶栅的特征方程二、运动直列叶栅的特征方程以以等角速度等角速度旋转的轴流式涡轮，将距轴旋转的轴流式涡轮，将距轴r的圆柱流层展开成平面直列叶栅时，得到的的圆柱流层展开成平面直列叶栅时，得到的是以速度是以速度u=r 沿沿列线方向等速移动列线方向等速移动的直列的直列叶栅。叶栅。坐标系取在涡轮上坐标系取在涡轮上，则叶栅特征方程与特征，则叶栅特征方程与特征系数可用在此坐标系内的运动上，即系数可用在此坐标系内的运动上，即xyywiKKww0)1(w为相对速度。为相对速度。绝对速度、相对速度和牵连速度之间的关系绝对速度、相对速度和牵连速度之间的关系为：为：xxyyyyvwuv

38、wuvw xyywiKKww0)1(xyywiKuKKvv0)1()1(ru 乘以乘以2r 202)1()1(rKQiKK （6）式（式（6）即为运动直列叶栅的特征方程，）即为运动直列叶栅的特征方程，K、i0的意义同前。的意义同前。三、转动环列叶栅的特征方程三、转动环列叶栅的特征方程 202)1()1(arKQiKK （7）K、i0的意义同前，的意义同前，ra为有效半径，一般由为有效半径，一般由实验确定。实验确定。第七节第七节 保角变换法保角变换法解平面叶栅流动解平面叶栅流动一、叶栅流动的保角变换法概述一、叶栅流动的保角变换法概述叶栅流动也是势流，且呈现周期性。叶栅流动也是势流，且呈现周期性。

39、z 平面平面上一叶栅，参数为上一叶栅，参数为b、t、，栅前、，栅前、后速度及与栅轴夹角为后速度及与栅轴夹角为 、和和1、2。1w2w在在 处作平行于处作平行于Ox轴的两条轴的两条直线直线MN与与MN，则直线间的流动在叶栅，则直线间的流动在叶栅中重复。中重复。cos)2/(ty 叶栅流动保角变换叶栅流动保角变换MN，MN 内的流动可由解析的变换函数内的流动可由解析的变换函数变换为图示的变换为图示的全平面全平面，再由，再由=f()变换为变换为平面平面的绕圆流动。的绕圆流动。平面平面的复势为的复势为 izetKe 2)ln(2*)ln(2)(1111aiqaiqW )ln(2*)ln(21111ai

40、qaiq 并且并且)()(zWW 二、直列平板叶栅流动的解法二、直列平板叶栅流动的解法（一）平板叶栅流动平面的变换及其无环量（一）平板叶栅流动平面的变换及其无环量平行绕流平行绕流图示平板叶栅，图示平板叶栅，栅距栅距t、弦长、弦长b、安放角安放角/2-，来，来流平行于平板，流平行于平板，且且 w1=1。平板叶栅无环量平行绕流平板叶栅无环量平行绕流将其周期性一条流动区域变成将其周期性一条流动区域变成平面上绕一单位平面上绕一单位圆流动，且圆流动，且00txtqw dycosdytcos00tytw dysindyt sin平板叶栅无环量平行绕流平板叶栅无环量平行绕流z 平面平面复势复势表示速度为表示

41、速度为 1 的均匀流复势。的均匀流复势。变换为变换为平面平面为为=R处相应放置点源、点汇处相应放置点源、点汇和点涡的绕圆流动，其复势为和点涡的绕圆流动，其复势为 izezW )()1ln(2)ln(2)(1111RiqRiqW )ln(2)1ln(21111RiqRiq 代入代入q1和和1的表达式，得到的表达式，得到)/1/1lnln(2)(RReRRetWii 因为因为)()(zWW 得到变换函数得到变换函数)/1/1ln(ln22RReRRtzi 此变换函数中待定实数此变换函数中待定实数R应由平面叶栅的几应由平面叶栅的几何参数来确定。何参数来确定。（二）平板叶栅无环量垂直绕流（二）平板叶栅

42、无环量垂直绕流如图如图，来流，来流垂直于平板，垂直于平板，且且w1=1。此。此时环量仍为时环量仍为零。零。sintq cost sintq cost sintq 平板叶栅无环量垂直绕流平板叶栅无环量垂直绕流流动变换仍然为流动变换仍然为平面平面上绕单位圆的流动。上绕单位圆的流动。区别仅在于区别仅在于栅前、后的栅前、后的流动奇点强流动奇点强度不同，即度不同，即 sintq cost 平板叶栅无环量垂直绕流平板叶栅无环量垂直绕流)1ln(2)ln(2)(1111RiqRiqW )ln(2)1ln(21111RiqRiq 绕流复势为绕流复势为121iiitR/RW()(elneln)R/R 与前面平行

43、绕流一致与前面平行绕流一致。代入强度公式，有。代入强度公式，有（三）平板叶栅纯环量绕流（三）平板叶栅纯环量绕流图示图示，栅前、后，栅前、后的速度的速度w只有列只有列线方向的分量，线方向的分量，且且w1y=-w2y，称，称为为纯环量绕流纯环量绕流。21(-)cyywwt 平板叶栅纯环量绕流平板叶栅纯环量绕流设设1 c 且且yyww21 有有)2/(11twy )2/(12twy 可见，可见，z z 平面上前、后无穷远处有一等强度且平面上前、后无穷远处有一等强度且同方向的点涡，其强度为同方向的点涡，其强度为210121 tydyw 因因w1x=w2x=0，故在栅前、后无穷远处无点源，故在栅前、后无

44、穷远处无点源和点汇。和点汇。)1ln(2)ln(2)(RiRiW )ln(2)1ln(211RiRi 代入代入21 得到得到)/1)(/1()(ln4)(RRRRiW （四）平板叶栅的一般绕流（四）平板叶栅的一般绕流其复势可以用前述三种叶栅流动相加得到：其复势可以用前述三种叶栅流动相加得到：)/1)(/1()/1)(/1(ln2/1/1lnln2)(RRRRtwiRReeRReetwWmciiiim 式中，式中，为叶栅无穷远平均为叶栅无穷远平均速度。速度。221wwwm （五）平板叶栅一般流动中环量的确定（五）平板叶栅一般流动中环量的确定环量的确定依据是弧立翼型绕流中的环量的确定依据是弧立翼型

45、绕流中的库塔库塔-恰布雷金假设恰布雷金假设。叶栅中翼型尾缘点叶栅中翼型尾缘点B B必然是必然是后驻点。后驻点。经换算得经换算得 cos)1(cossin420 RtRwmc可见，平板的环量可见，平板的环量c取决于平均来流速取决于平均来流速度度wm、栅距、栅距t、攻角、攻角、弦长、弦长b及平板的及平板的安放角安放角。经计算得到环量比经计算得到环量比L的表达式为的表达式为 cos)1(cos420 RbtRLic平板叶栅环量修正曲线平板叶栅环量修正曲线设设图示图示环列叶栅由环列叶栅由 n 个翼型组成，流动自中心向外。个翼型组成，流动自中心向外。可见，只要确定一个扇形区域内的流动即可。可见，只要确定

46、一个扇形区域内的流动即可。a)b)平面环列叶栅流动的保角变换平面环列叶栅流动的保角变换三、平面环列叶栅流动的解法三、平面环列叶栅流动的解法将将z1平面平面上中心角为上中心角为2/n的扇形区域的流动变换成的扇形区域的流动变换成平面平面上的全平面流动上的全平面流动nz1 再将再将 平面平面上的流动变换成上的流动变换成z平面平面上的一直列叶栅流上的一直列叶栅流动。动。izetKe 2平面平面 z 和和 z1 之间有换算关系之间有换算关系Knzentzi1ln2 第八节第八节 平面直列叶栅绕流的奇点分布解法平面直列叶栅绕流的奇点分布解法奇点法在水轮机、水泵产品设计中均有所奇点法在水轮机、水泵产品设计中

47、均有所应用。这一节应用。这一节将将介绍由介绍由无限薄翼型无限薄翼型组成的组成的叶栅绕流叶栅绕流正、正、反问题解法反问题解法，以此以此说明奇点说明奇点分布法的解题路线及其特点。分布法的解题路线及其特点。把叶栅从流场里抽去，而用连续分布于栅把叶栅从流场里抽去，而用连续分布于栅中叶型上的奇点中叶型上的奇点点涡点涡代替叶栅。代替叶栅。代替代替后的奇点诱导流场与无穷远来流合成的流后的奇点诱导流场与无穷远来流合成的流场应与原真实流场全同。场应与原真实流场全同。根据原流场根据原流场叶叶栅栅中中翼翼型应为一条流线的条件，则可作出以型应为一条流线的条件，则可作出以奇点分布规律为核的积分方程式来。奇点分布规律为核

48、的积分方程式来。在解在解正问题正问题时，根据边界条件来解积分方时，根据边界条件来解积分方程。求出奇点分布规律，从而获得绕流流程。求出奇点分布规律，从而获得绕流流场的解。场的解。反问题反问题则是根据对叶栅的要求和则是根据对叶栅的要求和经验统计资料，预先给定奇点分布规律，经验统计资料，预先给定奇点分布规律，运用逐次逼近法以求符合要求绕流条件的运用逐次逼近法以求符合要求绕流条件的叶栅。叶栅。解正、反问题均以奇点诱导流场的计算为基础。一、奇点所诱导出的流场一、奇点所诱导出的流场涡层分布图涡层分布图平面直列叶栅中无限薄翼型均可以按某一定规律平面直列叶栅中无限薄翼型均可以按某一定规律(s)沿叶型弧长沿叶型

49、弧长s连续分布的旋涡层来代替连续分布的旋涡层来代替。翼翼型以型以-1，-2和和1，2予以标示予以标示。1.诱导流场的复势诱导流场的复势在标号为在标号为0的翼型上取一点的翼型上取一点S0，它的复坐标为，它的复坐标为0，包含包含S0的微弧段的微弧段ds0，其旋涡密度为，其旋涡密度为(s)，微弧段微弧段ds0在复平面上点在复平面上点产生的复势为产生的复势为 0002 lnidss其他翼型上与其他翼型上与0相应的点为相应的点为.),j(jt,jtjj2100 这些微弧旋涡形成一个平行于这些微弧旋涡形成一个平行于u轴的无穷涡列，轴的无穷涡列，在点在点形成的复势为：形成的复势为：000sinln2 tid

50、ssdW积分得到积分得到沿沿翼翼型所有涡在型所有涡在点点的复势：的复势：022002dstisWll /sinln上式中上式中积分沿基本积分沿基本翼翼型型0进行，进行，S0为叶型为叶型0上动点上动点，(S0)为为S0处的旋涡密度，处的旋涡密度，0为点为点S0的复坐标。的复坐标。把把W()实部与虚部分开可得势函数与流函数实部与虚部分开可得势函数与流函数。0 tiba令令 00zztbuuta ,ashbiachbibaibaibatcossinsincoscossinsinsin 0 220ashbachbtcossinsin （接上）122 bshbch 210202220/sin sinsi