2019届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课堂达标22正弦定理和余弦定理及应用（文科）新人教版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课堂达标 (二十二 ) 正弦定理和余弦定理及应用 A 基础巩固练 1在 ABC 中， A 60 ， B 75 ， a 10，则 c 等于 ( ) A 5 2 B 10 2 C.10 63 D 5 6 解析 由 A B C 180 ，知 C 45 ， 由正弦定理得 asin A csin C，即 1032 c22， c 10 63 . 答案 C 2 (2017 山东 )在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若 ABC 为锐角三角形，且满足 sin B(1 2cos C) 2sin Acos C cos Asin C，则下列等式成立的是

2、 ( ) A a 2b B b 2a C A 2B D B 2A 解析 sin(A C) 2sin Bcos C 2sin Acos C cos Asin C，所以 2sin Bcos Csin Acos C?2sin B sin A?2b a，选 A. 答案 A 3.如图所示，测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与D，测得 BCD 15 ， BDC 30 ， CD 30，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60 ，则塔高AB 等于 ( ) A 5 6 B 15 3 C 5 2 D 15 6 解析 在 BCD 中， CBD 180 15 30 135. 由

3、正弦定理得 BCsin 30 30sin 135 ，所以 BC 15 2. 在 Rt ABC 中， AB BCtan ACB 15 2 3 15 6.故选 D. 答案 D =【 ;精品教育资源文库 】 = 4 (2018 湖南衡阳第二次联考 )已知 ABC 的三边长为三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的 2 倍，则最小内角的余弦值是 ( ) A.23 B.34 C.56 D.710 解析 设三边： x 1， x， x 1，所以： x 1sin A x 1sin 2A x 12sin Acos A， 所以： cos A x 1x x2 x 2 x 22x x ?x 5，三边为： 4,5,6，

4、所以 cos A 34. 答案 B 5 (2018 西安模拟 )设 ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 bcos Cccos B asin A，且 sin2B sin2C，则 ABC 的形状为 ( ) A等腰三角形 B锐角三 角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 解析 由 bcos C ccos B asin A， 得 sin Bcos C sin Ccos B sin2A， sin(B C) sin2A， 即 sin A sin2A，在三角形中 sin A0 ， sin A 1， A 90 ，由 sin2B sin2C，知 b c， 综上可知 ABC 为等腰直

5、角三角形 答案 D 6 (2018 厦门模拟 )在不等边三角形 ABC 中，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a， b， c，其中 a 为最大边，如果 sin2(B C)0. 则 cos A b2 c2 a22bc 0， 0 3. =【 ;精品教育资源文库 】 = 因此角 A 的取值范围是 ? ? 3 ， 2 . 答案 D 7在 ABC 中，已知 sin A sin B 2 1， c2 b2 2bc，则三内角 A、 B、 C 的度数依次是 _ 解析 由题意知 a 2b， a2 b2 c2 2bccos A， 即 2b2 b2 c2 2bccos A，又 c2 b2 2bc， cos A 22

6、 ， A 45 ， sin B 12， B 30 ， C 105. 答案 45 ， 30 ， 105 8 (2018 惠州模拟 )在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若 (a2 c2 b2)tan B 3ac，则角 B 的值为 _ 解析 由余弦定理 ，得 a2 c2 b22ac cos B，结合已知等式得 cos Btan B32 ， sin B 32 ， B 3 或 23 . 答案 3 或 23 9 (2017 浙江 )已知 ABC， AB AC 4， BC 2.点 D 为 AB 延长线上一点， BD 2，连结 CD，则 BDC 的面积是 _， cos BDC

7、_. 解析 取 BC 中点 E， DC 中点 F， 由题意： AE BC， BF CD， ABE 中， cos ABC BEAB 14， cos DBC 14， sin DBC 1 116 154 ， S BCD 12 BD BCsin DBC 152 . 又 cos DBC 1 2sin2 DBF 14， sin DBF 104 ， cos BDC sin DBF104 ，综上可得， BCD 面积为152 ， cos BDC104 . 答案 152 ； 104 10 (2018 哈尔滨模拟 )“ 德是 ” 号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安

8、排了同一条直线上的三个救援中心 (记为 B， C，=【 ;精品教育资源文库 】 = D)当返回舱在距地面 1 万米的 P 点时 (假定以后垂直下落，并在 A 点着陆 )， C 救援中心测得飞船位于其南偏 东 60 方向，仰角为 60 ， B 救援中心测得飞船位于其南偏西 30 方向，仰角为 30 ， D 救援中心测得着陆点 A 位于其正东方向 (1)求 B， C 两救援中心间的距离； (2)求 D 救援中心与着陆点 A 间的距离 解 (1)由题意知 PA AC， PA AB，则 PAC， PAB 均为直角三角形 在 Rt PAC 中， PA 1， PCA 60 ，解得 AC 33 ， 在 Rt

9、 PAB 中， PA 1， PBA 30 ，解得 AB 3， 又 CAB 90 ， BC AC2 BC2 303 万米 (2)sin ACD sin ACB 310， cos ACD 110， 又 CAD 30 ，所以 sin ADC sin(30 ACD) 3 3 12 10 ，在 ADC 中，由正弦定理， ACsin ADC ADsin ACD，得 AD ACsin ACDsin ADC 9 313 万米 B 能力提升练 1 (2018 贵州模拟考试 )已知 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， b 2，B 45 ，若三角形有两解，则 a 的取值范围是 ( )

10、A a 2 B 0 a 2 C 2 a 2 2 D 2 a 2 3 解析 由 AC b 2，要使三角形有两解，就是要使以 C 为圆心，半径为 2 的圆与 BA有两个交点，当 A 90 时，圆与 AB 相切； 当 A 45 时交于 B 点，也就是只有一解， 45 A 135 ，且 A90 ，即 22 sin A 1， 由正弦定理以及 asin B bsin A可得： a bsin Asin B 2 2sin A， 2 2sin A (2,2 2) a 的取值范围是 (2,2 2)故选： C. 答案 C =【 ;精品教育资源文库 】 = 2 (2018 宁波模拟 )某大学的大门蔚为壮观，有个学生想

11、搞清楚 门洞拱顶 D 到其正上方 A 点的距离，他站在地面 C 处，利用皮尺是得 BC 9 米，利用测角仪器得仰角 ACB 45 ，测得仰角 BCD 后通过计算得到 sin ACD 2626 ，则 AD 的距离为 ( ) A 2 米 B 2.5 米 C 3 米 D 4 米 解析 设 AD x，则 BD 9 x， CD 92 x 2，在 ACD 中，应用正弦定理得CDsin DACADsin ACD， 即 92 x 222 x2626，所以 292 (9 x)2 26x2， 即 81 81 18x x2 13x2，所 以 2x2 3x 27 0， 即 (2x 9)(x 3) 0，所以 x 3(米

12、 ) 答案 C 3 (2018 潍坊模拟 )校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为 15 的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60 和30 ，第一排和最后一排的距离为 10 6 m(如图所示 )，旗杆底部与第一排在一个水平面上若国歌时长为 50 s，升旗手应以 _m/s 的速度匀速升旗 解析 依题意可知 AEC 45 ， ACE 180 60 15 105 ， EAC180 45 105 30. 由正弦定理可知 CEsin EAC ACsin CEA， AC CEsin EACsin CEA 20 3 m. 在 Rt ABC 中， AB ACs

13、in ACB 20 3 32 30 m， 国歌时长为 50 s， 升旗=【 ;精品教育资源文库 】 = 速度为 3050 0.6 m/s. 答案 0.6 4在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且满足 asin B 3bcos A若a 4，则 ABC 周长的最大值为 _ 解析 由正弦定理 asin A bsin B， 可将 asin B 3bcos A 转化为 sin Asin B 3sin Bcos A. 又在 ABC 中， sin B0， sin A 3cos A， 即 tan A 3. 0A ， A 3. 由余弦定理得 a2 16 b2 c2 2bccos

14、A (b c)2 3bc( b c)2 3? ?b c2 2， 则 (b c)264 ，即 b c8( 当且仅当 b c 4 时等号成立 ) ABC 周长 a b c 4 b c12 ，即最在值为 12. 答案 12 5 (2018 深圳市二模试卷 )已知 a， b， c 分别为 ABC 三个内角 A， B， C 的对边， 2b 3asin B bcos A， c 4. (1)求 A； (2)若 D 是 BC 的中点， AD 7，求 ABC 的面积 解 (1) 2b 3asin B bcos A， 可得： 2sin B 3sin Asin B sin Bcos A， 由于 sin B0 ，可得

15、： 2 3sin A cos A， sin? ?A 6 1， A (0， ) ，可得： A 6 ? ? 6 ， 76 ， A 6 2 ，解得： A 3 (2)设 BD CD x，则 BC 2x， 由于 cos A b2 16 x 28b 12， =【 ;精品教育资源文库 】 = 可得： 4x2 b2 4b 16， ADB 180 ADC， cos ADB cos ADC 0， 7 x2 162 7x 7 x2 b22 7x 0，可得： 2x2 b2 2， 联立 可得： b2 4b 12 0，解得： b 2 S ABC 12bcsin A 1224 32 2 3. C 尖子生专练 (2018 广东深圳 4 月调研 )在 ABC 中，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，且 3acos A bsin B. (1)求角 A 的值； (2)若 B 6 ，且 ABC 的面积为 4 3，求 BC 边上的中线 AM 的