(优选)经济数学基础微积分课函数课件.ppt

1、1（优选）经济数学基础微积分课函数一、微积分的实际背景一、微积分的实际背景 1.1.瞬时速度瞬时速度 2.2.曲线的切线斜率曲线的切线斜率 3.3.曲边图形的面积曲边图形的面积 二、微积分学的思想方法二、微积分学的思想方法 运动、变化、发展乃至质变运动、变化、发展乃至质变,是微积分的根本思是微积分的根本思想方法，但运动、变化的定量刻画却表现在它的反想方法，但运动、变化的定量刻画却表现在它的反面，即相对静止之中，也就是说，用定量的方法来面，即相对静止之中，也就是说，用定量的方法来刻画变量的变化刻画变量的变化.三、微积分学的基本结构三、微积分学的基本结构 比如做家具：比如做家具：原料：原料：工具：

2、工具：产品一：导数产品一：导数产品二：积分产品二：积分方式一方式一方式二方式二函数函数极限极限第一章第一章 函数函数 由于实践和各门科学自身发展的需要，由于实践和各门科学自身发展的需要，到了到了16世纪，世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个新的时代，即变量数学的时代入了一个新的时代，即变量数学的时代.作为在运动作为在运动中变化的量中变化的量(变量变量)及它们之间的依赖关系的反映，数及它们之间的依赖关系的反映，数学中产生了变量和函数的概念学中产生了变量和

3、函数的概念.例如，伽利略发现自由落体下落的距离例如，伽利略发现自由落体下落的距离 s 与经与经历的时间历的时间 t 的平方成正比，得到著名的公式的平方成正比，得到著名的公式 221gts 确定了变量确定了变量 t 与与 s 之间的依赖关系，即之间的依赖关系，即函数关系函数关系，这就是自由落体运动规律的数学表述这就是自由落体运动规律的数学表述.数学的一项重要任务，就是要找出反映各种实数学的一项重要任务，就是要找出反映各种实际问题中变量的变化规律，即其中所蕴含的变量之际问题中变量的变化规律，即其中所蕴含的变量之间的函数关系间的函数关系.函数是数学中最基本的概念之一，函数是数学中最基本的概念之一，微

4、积分微积分研究研究函数的一些局部的和整体的性态函数的一些局部的和整体的性态.本章介绍函数的一般概念，几种常用的表示方本章介绍函数的一般概念，几种常用的表示方式，最基本的函数类式，最基本的函数类初等函数，函数的性质，初等函数，函数的性质，以及经济学中几种常用的函数以及经济学中几种常用的函数.第一节第一节 实数实数一、实数与实数的绝对值实数与实数的绝对值1 1.实数的组成实数的组成实数实数有理数有理数无理数无理数整数整数分数分数(无限不循环小数无限不循环小数)正整数正整数零零负整数负整数实数与数轴上的点是一一对应的实数与数轴上的点是一一对应的.qp有理数有理数:其中其中p,q为整数为整数,且且.0

5、 q数轴是一条有原点、正方向和数轴是一条有原点、正方向和单位单位长度的直线长度的直线.x121 OP2、实数的性质（1 1）实数集是有序的，即任意两数）实数集是有序的，即任意两数（2）实数集）实数集R对加、减、乘、除（除数不为对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算是封闭）四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为的，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是实数。）仍然是实数。必须满足下述三个关系之一：必须满足下述三个关系之一：。（3 3）实数的大小关系具有传递性，即若）实数的大小关系具有传递性，即若，则有，则有。（4 4）实数具有阿基米德（）实数具有阿基米德（Arch

6、imedesArchimedes）性，即对任何）性，即对任何，若，若，则存在正整数，则存在正整数，使得，使得（5 5）实数集）实数集R R具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数，也有无理数。一个实数，且既有有理数，也有无理数。anbab,ab,a/bR ab,ab,ab 实数的有序性实数的有序性:a,bR实数对四则运算的封闭性实数对四则运算的封闭性:a,bR 实数的稠密性实数的稠密性:a,bR,ab,cR,acb 3 3.实数的绝对值实数的绝对值设设 a 为一实数，则其绝对值定义为为一实数，则其绝对值定义为 0 ,0 ,|

7、aaaaa几何意义：几何意义：|a|表示数轴上点表示数轴上点 a 到原点的距离到原点的距离.|a-b|表示数轴上两点表示数轴上两点 a 和和 b 之间的距离之间的距离.;|axaax axaxax|或或 0 xa|a绝对值不等式的解绝对值不等式的解:例例1 1 解下列绝对值不等式：解下列绝对值不等式：解解3|1|)1(x2|1|)2(x3|1|)1(x313 x.412 x2|1|)2(x21 21 xx或或3 1 xx或或x1 21 21 x131 31 33绝对值的基本性质：绝对值的基本性质：;0|a;|aa ;|aaa ;|baba ;|baba ;|baab ;|2aa .0,|bba

8、ba证略证略.二、常用数集的记号二、常用数集的记号自然数集自然数集,3,2,1,0 nN 整数集整数集,3,2,1,0nZ 有理数集有理数集,|互互素素且且qpZqNpqpQ 正整数集正整数集,3,2,1 nZ 实数集实数集全体实数全体实数 R数轴数轴0 x1本书中如无特别说明，均限于实数范围内本书中如无特别说明，均限于实数范围内.区间：区间：,|bxax 闭区间闭区间,ba记作记作oxab，|bxax 开区间开区间.),(ba记作记作oxaboxab,|bxax 左开右闭区间左开右闭区间左闭右开区间左闭右开区间,(ba记作记作,|bxax ),ba记作记作oxab|),axxa|),(bxx

9、b oxaoxb无穷区间无穷区间|),(Rxxox邻域：邻域：.0,且且是是两两个个实实数数与与设设a:空空心心邻邻域域的的点点 a,|邻域邻域的的称为点称为点数集数集 aaxx 记作记作xa a a,),(aU),(aU|0|),(axxaU记作记作xa a a,称为这邻域的中心称为这邻域的中心点点a.称称为为这这邻邻域域的的半半径径|),(axaxaU),(aa :邻邻域域的的左左点点 a:邻邻域域的的右右点点 axa a a),(aaxa a a练习：P8 习题习题 一一 1.第二节第二节 函数函数 函数的概念 导入：课本例子 定义1.1 在某变化过程中有两个变量x 和y,如果变量x在数

10、集A内任取一个数值，按照某种对应法则，变量y都有唯一确定的数值与之对应，则称变量y是x的函数，记为 y=f（x）x A，其中x称为自变量，y称为因变量.自变量x的取值范围称为函数的定义域.y的对应值称为函数值，全体函数值的集合称为函数的值域.二.函数的表示方法1.解析法2.列表法：常见三角函数3.图像法：数形结合例题2.5).,0(,1,0,0),0,(,1)(2xxxxxxf第三节第三节 函数的几种常见性态函数的几种常见性态一、函数的奇偶性在对称定义域内，判断二、函数的单调性在给定区间内，判断三、函数的周期性四、函数的有界性偶函数),()(xfxf奇函数),()(xfxf.),()(),()

11、(,212121调递减则函数在给定区间内单若调递增则函数在给定区间内单若有任意xfxfxfxfxx第四节第四节 反函数与复合函数反函数与复合函数一、反函数二、复合函数定义1.7.)().()(,)(,.)(6.11称为直接函数此时的反函数，记为的函数，称为也是则这时使都有唯一确定的中的每一个若对，值域是的定义域是：设函数定义xfyyfxxfyyxyxfAxyBBAxfy第五节第五节 初等函数初等函数 学习要求：熟练掌握五种基本初等函数：常量、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的解析式 五种基本初等函数的简单性质 五种基本初等函数的图形 会求初等函数的定义域第六节第六节 常用的经济函数常用的经

12、济函数 学习要求 了解几种常用的经济函数 了解需求函数与供给函数 了解收益函数与成本函数 了解生产函数2.极限的概念与计算主要内容)(重点 极限有关概念：（1）数列极限（2）函数极限（3）左极限、右极限（4）无穷小量 极限计算2.1.1 数列极限:.1极限概念.),(,)(:否则称为发散且极限就是该常数或有极限收敛则称为某个常数无限接近若因变量能趋向说明.)(的变化趋势函数式因变量程中在自变量的某个变化过，.,形成的一列数加以排列一些数字按一定的顺序.3,2,1,)(:nnfa，nn记作为自变量的函数以正的自然数数列实质)(,)(,limnAaAaAannnnn或记作个常数某或无限接近趋向通项

13、无限增大时当:.2数列:.3数列极限例：判别下列极限是否收敛,1,41,31,21,1)1(n,4,3,2,1)3(n,)1(,1,1,1,1)2(1n:解:1nan12131410:n1234nan1:)1(通项公式为01n，n时当01lim:nn即1)1()2(nna通项公式为:n1234:)1(1nna1111?1)1(limnn不存在nan通项公式为)3(:n1234:nan1234nnlim)(不存在:的区别与 都是符号而不是数字与.1.2.:表示正数的无限远处.:表示负数的无限远处0 堂上练习：判断数列 是否收敛，若收敛，求其极限。)(2nnnxn:解nnxn2通项公式为:n:2n

14、nxn123413243546?:事实上nnnnnnnxn212122:2nnxn1212213214211收敛数列时当nnxnn2,12limnnn且2.1.2 函数极限:.1函数极限形式:.2主要区别函数极限与数列极限的)(lim?xfx自变量的变化趋势不同)(,:,3,2,1,)1(nnnnn简记为能只能取一些间断点且只其含义是数列极限的自变量是:,:,)2(趋势有三种的变化所以代表一切实数函数的自变量是xRxxx)(lim)(lim)(lim0 xfxfxfxxxx:即xxxx0)(0为某个常数x 型的函数极限xxx1lim:求极限例)(:如右图示解两种情况讨论分分析xxxx1lim,

15、1lim)1(:,)1(时当x01limxx,)2(时当x01limxx01lim:)2(),1(xx得综合借助图象)2(.xy1yx01x01x注意观察:随着x的增大，y的变化趋势！注意观察:随着x的减小，y的变化趋势！型的函数极限11lim:21xxx求极限例0 xx:分析)1(,111)1(2xxxxy,1,)2(时如下图示x:解.有两个相反的运动方向x112xxyxyx0.90.990.999不存在1.0011.011.1y1.91.991.99922.0012.012.1:,1列表如下的附近在 x:由上表可知2,1,1)1(yxx时且当2,1,1)2(yxx时且当2,1yx时当211

16、lim:21xxx即 xx函数极限中自变量x变化特点小结:x.1x.2:.只能朝一个方向运动x0.3xx.:动朝两个相反方向相向运xx.2x.1x.30 x x x x x两个简单函数极限实例)(lim.10为某个常数求ccxx:解cyxcy的值永远是取何值无论是常函数,xxx0lim.2求cyxx永远有时,0)(如右图示:解,0时xxxy)(yx换为把)(如右图示0 xy ccxx0lim00limxxxxxy0 x):(常数极限是本身含义xy0 xxx堂上练习.,并求其极限势分析下列函数的变化趋);(1)1(2xxy)0(2)2(1xyx).0(cos)3(xxy)(析借助数学软件的图象分

17、221:xxy分析转入3D数学平台2.1.3 左极限和右极限0 xx无限接近!:00两个过程的两侧无限接近从它包括xxx:0的含义复习xx?,:00运动方向有多少种的相对于这一过程中无限接近在思考xxxxx0 xxx:.1左极限0 xx)(0的左侧在即xx,0时无限接近且xx)(lim:0 xfxx记作:.2右极限0 xx)(0的右侧在即xx,0 xx无限接近且x0 xxx0 xx:小结。xx位置关系的的与是说明右与左左极限与右极限中的0”“”“.函数的变化趋势)(0 xx.函数的变化趋势)(0 xx)(lim:0 xfxx记作左、右极限的实例及用途设函数例:.10,10,)(xxxxf:分析

18、与思考).(lim)(lim00 xfxfxx和求?为什么应取分段函数的哪一支:提示?0?0落在定义域中哪一支谁大与是什么意思xxx00lim)(limxxxf:解xxfxx00lim)(lim1lim)(lim00 xxxf)(lim:0 xfx思考?011.2定理)(lim)(lim)(lim000 xfAxfAxfxxxxxx)!)(lim:1.2(0显然不存在知由定理xfx.):(右极限存在且相等左极限存在的充要条件是含义、)!:.2处的极限讨论分段函数在分界点右极限的主要作用左、堂上练习设函数xxxf)(。xxf，、xxf处是否有极限存在在并讨论右极限处的左在求0)(0)(分析:解)

19、(xf0,10,1xxxxxx)1(lim)(lim00 xxxf11lim)(lim00 xxxf1)(lim)(lim00 xfxfxx又不存在)(lim0 xfx2.1.4 无穷小量:.1无穷小量,0的量极限为:即.,0lim为无穷小量则称若,:记作:例021limnn.21,为无穷小量时当nn:.2无穷小量的重要性质.乘积仍为无穷小量无穷小量与有界函数的:例xxxsinlim0求:解0lim0 xx,0为无穷小量时当xx 为无穷小量又xsin.sin 为无穷小量xx0sinlim0 xxx堂上练习xxxsinlim求极限:分析不存在xxsinlimxxlim0sinlim0 xxxxx

20、xxsin1sin但01limxx为无穷小量时当xx1,为有界函数又xsin为无穷小量时当xxxxxsinsin1,01limxx:解为有界函数又xsin2.2 极限计算:.论极限计算的几个简单结一)(lim.1为某个常数ccc 01.201.3时当1,0.4qq:.极限的计算方法二直接代入法.1恒等变形法.2第一重要极限法.3第二重要极限法.4依据以极限的四则运算作为:)00(:型或nx、分母同除分子有理化法因式分解法去掉根号:)sin(,00:符号特别是且含有三角函数符号型型1:极限的四则运算法则:,lim,lim3.2则都存在若定理vuvuvulimlim)lim(.1)(lim)(li

21、m)lim(.2vuuv)0(lim,limlimlim.3vvuvu)(,lim)lim(.4为某个实数kukkunnuu)(limlim.5nnuulimlim.6!:00代入只须令极限四则运算的实质说明xxxx直接代入法)3(lim:22xxx求例:解:,上式可写为事实上2234lim32)3(limlim22222xxxxxx原式2642322原式恒等变形法:恒等变形).,max(,)(:);(,;:,00,01110111nmx、，xbxbxbxbaxaxaxa、，、。mmmmnnnn分母同除则分子时且均为多项式分母分子对于函数形为有理化法化消去根号则要对根式有理若函数含有根式因式分

22、解法因子约去公分母同时因式分解分子如恒等变换需对函数进行适当的型时或出现直接代入后39lim:23xxx求例:分析.,00需变形型直接代入是),3(3xx零因子是.3）约去因式分解想办法把（x:解)3()3)(3(lim3xxxx原式)3(lim3xx6xxx11lim:0求例.需有理化函数中含有根号:分析.,00需变形型直接代入是bababa2)(:有理化公式为根据平方差公式可推出:解)11()11)(11(lim0 xxxxx原式)11(1)1(lim20 xxxx11lim0 xxxx21111lim0 xx堂上练习:求下列极限6586lim)1(222xxxxx:分析xxx11lim)

23、2(0:分析.,00因式分解型.,00有理化型:解:解)3)(2()4)(2(lim2xxxxx原式34lim2xxx2123242)11()11)(11(lim0 xxxxx原式)11(1)1(lim0 xxxx)11(lim0 xxxx111lim0 xx213512lim23xxx求极限例:分析x，、且分母都是多项式分子:解3333233332333512lim3512lim3512limxxxxxxxxxxxxxxxx原式020002 不能写出该过程堂上练习423532lim)1(22xxxxx1082)15()31()12(lim)2(xxxx:解:求下列极限32423532lim4

24、23532lim)1(222222xxxxxxxxxxxx原式x，、且分母都是多项式分子分析:1082)15()31()12(lim)2(xxxx10,:分母的最高次数分子且分母都是多项式分子分析、x，、:解xxxxxxxlim)15()31()12(lim10101082原式?10108822)15()31()12(xxxxxx1082153112limxxxxxxx1082153112limxxxx1082532 第一重要极限:第一重要极限形式1sinlim0 xxx:第一重要极限特点0.2.1分母角度分母:式第一重要极限的推广形1)()(sinlim0)(xxxxxxsinlim:思考?

25、!:变化趋势注意的提示xxxxsinlimx1xsinxlim0)sin,00(符号含型第一重要极限的例题:下列极限求例)0(,sinlim10kxkx、xxx、x3sin2sinlim20 xx、xtanlim30：、分析1:,得对比第一重要极限特征角度分母kxxsinlim:0原式解kxk?kxkxkxsinlim0kk1)!0,0:(kxx时说明:2分析、!3sin2sin各需一个分母与xxxxx3sin2sinlim0原式:解x2x3x2x3?xxxxxx33sinlim22sinlim3200321132：、分析3!sintan,tan,sin来变出由但有分子没有xxxxxxxcos

26、sintan:解xxxxcossinlim0原式xxxxcossinlim0 xxxxcos1sinlim00cos11111堂上练习:求下例极限6)3sin(lim.123xxxx244sinlim.20 xxx:.1分析,00型)!3(x把分母变出3)3sin(lim:3xxx原式解63lim23xxxx632xxx)2)(3(3lim3xxxx21lim3xx21原式另解:)2)(3()3sin(lim3xxxx21)3()3sin(lim3xxxx51511:.2分析,00型!,4或考虑分母有理化把分母变出 xxxx44sinlim:0原式解244xx244lim0 xxx)!,00(

27、考虑有理化型)24)(24()24(4lim0 xxxxx44)24(4lim0 xxxx1644)24(lim40 xxxxxxxxxxx)24)(4(sinlim)24)(24()24)(4(sinlim:00原式另解xxxx4)24)(4(sinlim40)24(4)4(sinlim40 xxxx16414)(凑第一重要极限第二重要极限:第二重要极限形式:第二重要极限特点:式第二重要极限的推广形exxx10)1(limexxx)11(lim或型11)1(有有倒数关系)2(指数)3(exxx)(10)()(1(lim第二重要极限例题:下列极限求例xxx2)11(lim)1(xxx)31(l

28、im)2()0(,)1(lim)3(10kkxxx!,1:应考虑用第二重要极限型都是分析?,有哪些特点不满足个特点对比第二重要极限的三:解)11(lim)1(xx原式?x22e)31(lim)2(xx原式3?3x3e1 lim:0 x原式解)0(,)1(lim)3(10kkxxx?kx1)(kx?kke堂上练习:求下列极限xxx211lim)1(xxxx3lim)2(111021lim)3(xxx:)1(分析!,1凑第二重要极限型eexxx212120211lim:原式解:)2(分析131lim3lim3limxxxxxxxxx!,1还是凑第二重要极限型原式还是33331lim31lim3lim:exxxxxxxxxxx原式解111021lim)3(xxx:分析!,1凑第二重要极限型:错误解法)2(01110)2(1lim21limxxxxxx原式?)!,:(有变量指数应是常数而不能含应用第二重要极限时说明