2019年高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及线性运算学案（理科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第一节 平面向量的概念及线性运算 考纲传真 (教师用书独具 )1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示 .2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义 .3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义 .4.了解向量线性运算的性质及其几何意义 (对应学生用书第 69 页 ) 基础知识填充 1向量的有关概念 (1)向量：既有 大小 又有 方向 的量叫作向量，向量的大小叫作向量的 长度 (或模 ) (2)零向量： 长度为 0 的向量，其方向是任意的 (3)单位向量：长度等 于 1 个单位 的向量 (4)平行向量

2、：方向 相同或相反 的非零向量平行向量又叫 共线向量 规定： 0 与任一向量 平行 (5)相等向量：长度 相等 且方向 相同 的向量 (6)相反向量：长度 相等 且方向 相反 的向量 2向量的线性运算 向量 运算 定义 法则 (或几何意义 ) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形 法则 平行四边形 法则 (1)交换律： a b b a； (2)结合律： (a b) c a (b c) 减法 求两个向量差的运算 三角形 法则 a b a ( b) 数乘 求实数 与向量 a 的 积的运算 (1)| a| | |a|； (2)当 0 时， a 的方向与 a 的方向相同 ；当 0 时， a 的方向

3、与 a 的方向 相反 ；当 0 时， a 0 ( a) ( ) a； ( )a a a； (a b) a b 3.共线向量定理 =【 ;精品教育资源文库 】 = a 是一个非零向量，若存在一个实数 ，使得 b a，则向量 b 与 a 共线 知识拓展 1若 P 为线段 AB 的中点， O 为平面内任一点，则 OP 12(OA OB ) 2.OA OB OC ( ， 为实数 )，若点 A， B， C 共线，则 1. 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ( ) (2)BA OA OB .( ) (3

4、)向量 AB 与向量 CD 是共线向量，则 A， B， C， D 四点在一条直线上 ( ) (4)已知 a， b 是两个非零向量，当 a， b 共线时，一定有 b a( 为常数 )，反之也成立 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2在四边形 ABCD 中， AB DC ，且 |AB | |BC |，那么四边形 ABCD 为 ( ) A平行四边形 B菱形 C长方形 D正方形 B AB DC ，则四边形 ABCD 为平行四边形又 |AB | |BC |，则四边形 ABCD 为菱形，故选 B 3 D 是 ABC 的边 AB 的中点，则向量 CD 等于 ( ) A BC 12BA B BC

5、12BA C BC 12BA D BC 12BA A 如图， CD CB BD CB 12BA BC 12BA . 4 (教材改编 )已知 ?ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，且 OA a， OB b，则 DC _，=【 ;精品教育资源文库 】 = BC _(用 a， b 表示 ) b a a b 如图， DC AB OB OA b a， BC OC OB OA OB a b. 5已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a b 与 (b 3a)共线，则 _. 13 由已知得 a b k(b 3a)， 所以? k，3k 1， 得 ? 13，k 13. (对应学生用书第 70

6、页 ) 平面向量的概念 给出下列四个命题： 【导学号： 79140145】 若 |a| |b|，则 a b； 若 A， B， C， D 是不共线的四点，则 AB DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件； 若 a b， b c，则 a c； a b 的充要条件是 |a| |b|且 a b. 其中正确命题的序号是 ( ) A B C D A 不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同 正确 AB DC ， | AB | |DC |且 AB DC ， 又 A， B， C， D 是不共线的四点， 四边形 ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形 ABCD 为平行四边形， 则 AB DC

7、 且 |AB | |DC |， AB DC . 正确 =【 ;精品教育资源文库 】 = a b， a， b 的长度相等且方向相同， 又 b c， b， c 的长度相等且方向相同， a， c 的长度相等且方向相同，故 a c. 不正确当 a b 且方向相反时，即使 |a| |b|，也不能得到 a b，故 |a| |b|且 a b不是 a b 的充要条件，而是必要不充分条件 综上所述，正确命题的序号是 . 故选 A 规律方法 相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性 . 共线向量即为平行向量，不要与线段的共线、平行混为一谈 . 向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量 .解题时，不要把它

8、与函数图像的移动混为一谈 . 非零向量 a 与 a|a|的关系： a|a|是 a 方向上的单位向量 . 跟踪训练 设 a0为单位向量，下述命题中： 若 a 为平面内的某个向量，则 a |a|a0； 若 a 与 a0平行，则 a |a|a0； 若 a 与 a0平行且 |a| 1，则 a a0. 假命题的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 D 向量是既有大小又有方向的量， a 与 |a|a0的模相同， 但方向不一定相同，故 是假命题；若 a 与 a0平行，则 a 与 a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a |a|a0，故 也是假命题综上所述，假命题的个数是 3. 平面向量

9、的线性运算 (1)(2015 全国卷 ) 设 D 为 ABC 所在平面内一点， BC 3CD ，则 ( ) A AD 13AB 43AC B AD 13AB 43AC C AD 43AB 13AC D AD 43AB 13AC (2)已知 D 为三角形 ABC 的边 BC 的中点，点 P 满足 PA BP CP 0， AP PD ，则实数 的值为 _ (1)A (2) 2 (1)AD AC CD AC 13BC AC 13(AC AB ) 43AC 13AB 13AB 43AC .故选 A =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)因为 D 为边 BC 的中点，所以 PB PC 2PD ， 又

10、PA BP CP 0， 所以 PA PB PC 2PD ， 所以 AP 2PD ， 与 AP PD 比较，得 2. 规律方法 平面向量的线性运算方法 不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解 . 含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解 . 利 用平面向量的线性运算求参数的一般思路 没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置 . 利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式 . 比较、观察可知所求 . 选取基向量，向量之间的相互表示，重视平行四边形法则 . a b|与 |a b|的几何意

11、义：以向量 |a|， |b|为边作为平行四边形两条对角线的长度 . 跟踪训练 (1)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点， O 为平行四边形 ABCD 所在平面内的任意一点，则 OA OB OC OD 等于 ( ) A OM B 2OM C 3OM D 4OM (2)(2017 河南三市联考 )在锐角 ABC中， CM 3MB ， AM xAB yAC ，则 xy _. 【导学号： 79140146】 (1)D (2)3 因为 M 是平行四边形 ABCD 对角线 AC， BD 的交点，所以 OA OC 2OM ， OB OD 2OM ，所以 OA OB OC OD 4OM . (2)由

12、题设可得 CA AM 3(AB AM )， 即 4AM 3AB AC ，亦即 AM 34AB 14AC ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 x 34， y 14.故 xy 3. 共线向量定理的应用 设两个非零向量 a 与 b 不共线， (1)若 AB a b， BC 2a 8b， CD 3(a b)，求证： A， B， D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka b 和 a kb 共线 解 (1)证明： AB a b， BC 2a 8b， CD 3(a b)， BD BC CD 2a 8b 3(a b) 2a 8b 3a 3b 5(a b) 5AB . AB ， BD 共线，又 它们

13、有公共点 B， A， B， D 三点共线 (2) ka b 和 a kb 共线， 存在实数 ，使 ka b (a kb)， 即 ka b a k b， ( k )a (k 1)b. a， b 是两个不共线的非零向量， k k 1 0， k2 1 0， k 1. 规律方法 共线向量定理的三个应用 证明向量共线：对于向量 a， b，若存在实数 ，使 a b，则 a 与 b 共线 . 证明三点共线：若存在实数 ，使 AB AC ，则 A， B， C 三点共线 . 求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程 组 求参数的值 . 易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点 . 跟踪训练 (1)已知向量 AB a 3b， BC 5a 3b， CD 3a 3b，则 ( ) A A， B， C 三点共线 B A， B， D 三点共线 C A， C， D 三点共线 D B， C， D 三点共线 (2)(2017 广东七校联考 )已知向量 i， j 不共线，且 AB i mj， AD ni j， m1 ，若 A， B， D 三点共线，则实数 m， n 应满足的条件是 ( ) A m n 1 B m n 1 C mn 1 D mn 1 (1)B (2)C (1) BD BC CD 2a 6b 2(a 3b) 2AB ， =【 ;精品教育资源文库 】 = BD ，