2019年高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第8节函数与方程学案（文科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第八节 函数与方程 考纲传真 结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数 (对应学生用书第 24 页 ) 基础知识填充 1函数的零点 (1)函数零点的定义 函数 y f(x)的图像与横轴的交点的 横坐标 称为这个函数的零点 (2)几个等价关系 方程 f(x) 0 有实数根 ?函数 y f(x)的图像与 x 轴 有交点 ?函数 y f(x)有 零点 (3)函数零点的判定 (零点存在性定理 ) 若函数 y f(x)在闭区间 a， b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函 数值符号相反，即 f(a) f(b) 0，则在区间

2、 (a， b)内，函数 y f(x)至少有一个零点，即相应的方程 f(x) 0 在区间 (a， b)内至少有一个实数解 2二分法 每次取区间的 中点 ，将区间 一分为二 ，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为 二分法 3二次函数 y ax2 bx c(a 0)的图像与零点的关系 b2 4ac 0 0 0 二次函数 y ax2 bx c (a 0)的图像 与 x 轴的交点 (x1,0)， (x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 2 1 0 知识拓展 1函数 f(x)在区间 a， b上的图像是连续不断的曲线，则 “ f(a) f(b) 0” 是函数 f(x)在区间 (a， b)内有零

3、点的充分不必要条件 2若函数 f(x)在区间 a， b上是单调函数，且 f(a) f(b) 0，则函数 f(x)在区间 (a， b)内只有一个零点 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)函数的零点就是函数的图像与 x 轴的交点 ( ) (2)函数 y f(x)， x D 在区间 (a， b)?D 内有零点 (函数图像连续不断 )，则 f(a) f(b) 0.( ) (3)若函数 f(x)在 (a， b)上单调且 f(a) f(b) 0，则函数 f(x)在 a， b上有且只有一个零点 ( ) (4)二次函

4、数 y ax2 bx c 在 b2 4ac 0 时没有零点 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (教材改编 )函数 f(x) ex 3x 的零点个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 B f( 1) 1e 3 0， f(0) 1 0， f(x)在 ( 1,0)内有零点， 又 f(x)为增函数， 函数 f(x)有且只有一个零点 3 (2015 安徽高考 )下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 ( ) A y cos x B y sin x C y ln x D y x2 1 A 由于 y sin x 是奇函数； y ln x 是非奇非偶函数， y x2 1 是偶函数但没有零

5、点，只有 y cos x 是偶函数又有零点 4 (2016 江西赣中南五校联考 )函数 f(x) 3x x2的零点所在区间是 ( ) A (0,1) B (1,2) C ( 2， 1) D ( 1,0) D f( 2) 359 ， f( 1) 23， f(0) 1， f(1) 2， f(2) 5， f(0)f(1) 0， f(1)f(2) 0， f( 2)f( 1) 0， f( 1)f(0) 0，故选 D 5函数 f(x) ax 1 2a 在区间 ( 1,1)上存在一个零点，则实数 a 的取值范围是 _ ? ?13， 1 函数 f(x)的图像为直线， 由题意可得 f( 1)f(1) 0， (

6、3a 1)(1 a) 0，解得 13 a 1， 实数 a 的取值范围是 ? ?13， 1 . =【 ;精品教育资源文库 】 = (对应学生用书第 25 页 ) 函数零点所在区间的判断 (1)若 a b c，则函数 f(x) (x a)(x b) (x b)(x c) (x c)(x a)的两个零点分别位于区间 ( ) A (a， b)和 (b， c)内 B ( ， a)和 (a， b)内 C (b， c)和 (c， ) 内 D ( ， a)和 (c， ) 内 (2)(2018 唐山模拟 )设 x0是方程 ? ?13 x x的解，则 x0所在的范围是 ( ) A ? ?0， 13 B ? ?13

7、， 12 C ? ?12， 23 D ? ?23， 1 (1)A (2)B (1) a b c， f(a) (a b)(a c) 0， f(b) (b c)(b a) 0， f(c) (c a)(c b) 0， 由函数零点存在性定理可知：在区间 (a， b)和 (b， c)内分别存在零点，又函数 f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数 f(x)的两个零点分别位于区间 (a， b)和 (b， c)内，故选 A (2)构造函数 f(x) ? ?13 x x， 因为 f(0) ? ?13 0 0 1 0， f? ?13 ? ?13 13 ? ?13 ? ?13 0， f? ?12 ? ?13

8、12 ? ?13 ? ?12 0.所以由零点存在性定理可得函数 f(x) ? ?13 x x在 ? ?13， 12 上存在零点，即 x0 ? ?13， 12 ，故选 B 规律方法 判断函数零点所在区间的方法： 判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断 ；当用零点存在性定理也无法判断时，可画出图像判断 变式训练 1 (1)已知函数 f(x) ln x ? ?12 x 2的零点为 x0，则 x0所在的区间是 ( ) A (0,1) B (1,2) C (2,3) D (3,4) =【 ;精品教育资源

9、文库 】 = (2)(2018 衡阳模拟 )已知 x表示不超过实数 x 的最大整数， g(x) x为取整函数， x0是函数 f(x) ln x 2x的零点，则 g(x0)等于 ( ) 【导学号： 00090044】 A 1 B 2 C 3 D 4 (1)C (2)B (1) f(x) ln x ? ?12 x 2在 (0， ) 上是增函数， 又 f(1) ln 1 ? ?12 1 ln 1 2 0， f(2) ln 2 ? ?12 0 0， f(3) ln 3 ? ?12 1 0， x0 (2,3)，故选 C (2)f(2) ln 2 1 0， f(3) ln 3 23 0，则 x0 (2,3

10、)，故 g(x0) 2. 判断函数零点的个数 (1)函数 f(x) 2x|log0.5x| 1 的零点个数为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 (2)(2017 秦皇岛模拟 )函数 f(x)? ln x x2 2x， x 0，4x 1， x0 的零点个数是 _ (1)B (2)3 (1)令 f(x) 2x|log0.5x| 1 0， 可得 |log0.5x| ? ?12 x. 设 g(x) |log0.5x|， h(x) ? ?12 x，在同一坐标系下分别画出函数 g(x)， h(x)的图像，可以发现两个函数图像一定有 2 个交点，因此函数 f(x)有 2 个零点 (2)当 x 0 时，

11、作函数 y ln x 和 y x2 2x 的图像， 由图知，当 x 0 时， f(x)有 2 个零点； =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 x0 时，由 f(x) 0 得 x 14， 综上， f(x)有 3 个零点 规律方法 判断函数零点个数的方法： (1)解方程法：所对应方程 f(x) 0 有几个不同的实数解就有几个零点 (2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断 (3)数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数 变式训练 2 (1)(2015 湖北高考 )函数 f(x) 2sin xsin

12、x 2 x2 的零点个数为_ (2)若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x 2) f(x)，且当 x 0,1时， f(x) x，则方程 f(x) log3|x|的解的个数是 ( ) A 0 B 2 C 4 D 6 (1)2 (2)C (1)f(x) 2sin xsin? ?x 2 x2 2sin xcos x x2 sin 2x x2，由 f(x) 0，得 sin 2x x2. 设 y1 sin 2x， y2 x2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图像，如图所示 由图像知，两个函数图像有 2 个交点，故函数 f(x)有两个零点 (2)画出周期函数 f(x)和 y log3|x|的图像，

13、如图所示，则方程 f(x) log3|x|的解的个数是 4. 函数零点的应用 (2017 昆明模拟 )已知定义在 R上的偶函数 f(x)满足 f(x 4) f(x)，且在区间 0,2上 f(x) x，若关于 x 的方程 f(x) logax 有三个 不同的实根，求 a 的取值范围 思路点拨 先作出函数 f(x)的图像，根据方程有三个不同的根，确定应满足的条件 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 由 f(x 4) f(x)知，函数的周期为 4，又函数为偶函数，所以 f(x 4) f(x)f(4 x)， 所以函数图像关于 x 2 对称，且 f(2) f(6) f(10) 2，要使方程 f(x)

14、logax 有三个不同的根， 则满足? a 1，f 2，f 2，如图，即? a 1，loga6 2，loga10 2，解得 6 a 10. 故 a 的取值范围是 ( 6， 10) 规律方法 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解 变式训 练 3 (1)函数 f(x) 2x 2x a 的一个零点在区间 (1,2)内，则实数 a 的取值范围是( ) 【导学号： 0

15、0090045】 A (1,3) B (1,2) C (0,3) D (0,2) (2)(2016 山东高考 )已知函数 f(x)? |x|， x m，x2 2mx 4m， xm， 其中 m0.若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x) b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是 _ (1)C (2)(3， ) (1) 函数 f(x) 2x 2x a 在区间 (1,2)上单调递增，又函数 f(x) 2x 2x a 的一个零点在区间 (1,2)内，则有 f(1) f(2) 0， ( a)(4 1 a) 0，即a(a 3) 0， 0 a 3. (2)作出 f(x)的图像如图所示当 xm 时， x2 2mx 4m (x m)2 4m m2， 要使方程f(x) b 有三个不同的根，则有 4m m20.又 m0，解得 m3.