2019年高考数学一轮复习第8章平面解析几何第3节圆的方程学案（文科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第三节 圆的方程 考纲传真 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程 .2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想 (对应学生用书第 114 页 ) 基础知识填充 1圆的定义及方程 定义 平面内与 定点 的距离等于 定长 的点的集合 (轨迹 ) 标准方程 (x a)2 (y b)2 r2(r 0) 圆心 (a， b)，半径 r 一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0， (D2 E2 4F 0) 圆心 ? ? D2， E2 ， 半径 12 D2 E2 4F 2. 点与圆的位置关系 点 M(x0， y0)与圆 (x a)2 (y b)2 r2的位置关系

2、： (1)若 M(x0， y0)在圆外，则 (x0 a)2 (y0 b)2 r2. (2)若 M(x0， y0)在圆上，则 (x0 a)2 (y0 b)2 r2. (3)若 M(x0， y0)在圆内，则 (x0 a)2 (y0 b)2 r2. 知识拓展 1二元二次方程 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 表示圆的充要条件是? A C0 ，B 0，D2 E2 4AF 0.2以 A(x1， y1)， B(x2， y2)为直径端点的圆的方程为 (x x1)(x x2) (y y1)(y y2) 0. 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (

3、1)确定圆的几何要素是圆心与半径 ( ) (2)方程 (x a)2 (y b)2 t2(t R)表示圆心为 (a， b)，半径为 t 的一个圆 ( ) (3)方程 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 表示圆 的充要条件是 A C0 ， B 0， D2 E24AF0.( ) (4)若点 M(x0， y0)在圆 x2 y2 Dx Ey F 0 外，则 x20 y20 Dx0 Ey0 F0.( ) 解析 由圆的定义及点与圆的位置关系，知 (1)(3)(4)正确 (2)中，当 t0 时，表示圆心为 ( a， b)，半径为 |t|的圆，不正确 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (教材改编

4、 )方程 x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0 表示圆，则 a 的取值范围是 =【 ;精品教育资源文库 】 = ( ) A a 2 或 a 23 B 23 a 0 C 2 a 0 D 2 a 23 D 由题意知 a2 4a2 4(2a2 a 1) 0，解得 2 a 23. 3 (2016 全国卷 )圆 x2 y2 2x 8y 13 0 的圆心到直线 ax y 1 0 的距离为 1，则a ( ) A 43 B 34 C 3 D 2 A 圆 x2 y2 2x 8y 13 0，得圆心坐标为 (1,4)，所以圆心到直线 ax y 1 0 的距离 d |a 4 1|a2 1 1，解得 a 43.

5、 4 (2017 西安质检 )若圆 C 的半径为 1，其圆心与点 (1,0)关于直线 y x 对称，则圆 C 的标准方程为 _ x2 (y 1)2 1 两圆关于直线对称则圆心关于直线对称，半径相等，则圆 C 的圆心为(0,1)，半径为 1，标准方程为 x2 (y 1)2 1. 5圆 C 的圆心在 x 轴上，并且过点 A( 1,1)和 B(1,3)，则圆 C 的方程为 _. 【导学号： 00090274】 (x 2)2 y2 10 设圆心坐标为 C(a,0)， 点 A( 1,1)和 B(1,3)在圆 C 上， |CA| |CB|，即 a 2 1 a 2 9， 解得 a 2，所以圆心为 C(2,0

6、)， 半径 |CA| 2 1 10， 圆 C 的方程为 (x 2)2 y2 10. (对应学生用书第 115 页 ) 求圆的方程 (1)(2015 全国卷 )已知三点 A(1,0)， B(0， 3)， C(2， 3)，则 ABC 外接圆的圆心到原点的距离为 ( ) A 53 B 213 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 2 53 D 43 (2)(2016 天津高考 )已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2x y 0 的距离为 4 55 ，则圆 C 的方程为 _ (1)B (2)(x 2)2 y2 9 (1)法一：在坐标系中画出 ABC(如

7、图 )，利用两点间的距离公式可得 |AB| |AC| |BC| 2(也可以借助图形直接观察得出 )，所以 ABC 为等边三角形设 BC 的中点为 D，点 E 为外心，同时也是重心所以 |AE| 23|AD| 2 33 ，从而 |OE| |OA|2 |AE|2 1 43 213 ，故选 B 法二：设圆的一般方程为 x2 y2 Dx Ey F 0， 则? 1 D F 0，3 3E F 0，7 2D 3E F 0，解得? D 2，E 4 33 ，F 1.所以 ABC 外接圆的圆心为 ? ?1， 2 33 . 因此圆心到原点的距离 d 12 ? ?2 33 2 213 . (2)因为圆 C 的圆心在

8、x 轴的正半轴上，设 C(a,0)，且 a0， 所以圆心到直线 2x y 0 的距离 d 2a5 4 55 ，解得 a 2， 所以圆 C 的半径 r |CM| 4 5 3， 所以圆 C 的方程为 (x 2)2 y2 9. 规律方法 1.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 2待定系数 法求圆的方程： 若已知条件与圆心 (a， b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于 a， b， r 的方程组，从而求出 a， b， r 的值； 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D， E， F 的方程组，进而求出 D

9、， E， F 的值 =【 ;精品教育资源文库 】 = 温馨提醒： 解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质 变式训练 1 (1)(2018 郑州模拟 )经过点 A(5,2)， B(3， 2)，且圆心在直线 2x y 3 0 上的圆的方程为 _. 【导学号： 00090275】 (2)(2018 青岛模拟 )圆心在直线 x 2y 0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 3，则圆 C 的标准方程为 _ (1)x2 y2 4x 2y 5 0(或 (x 2)2 (y 1)2 10) (2)(x 2)2 (y 1)2 4 (1)法一： 圆过 A(5,2)

10、， B(3， 2)两点， 圆心一定在线段 AB 的垂直平分线上 易知线段 AB 的垂直平分线方程为 y 12(x 4) 设所求圆的圆心为 C(a， b)，则有? 2a b 3 0，b 12 a ， 解得 a 2，且 b 1. 因此圆心坐标 C(2,1)，半径 r |AC| 10. 故所求圆的方程为 (x 2)2 (y 1)2 10. 法二：设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F 0)， 则? 25 4 5D 2E F 0，9 4 3D 2E F 0，2 ? ? D2 E2 3 0，解得 D 4， E 2， F 5， 所求圆的方程为 x2 y2 4x 2y 5 0. (2

11、)设圆 C 的圆心为 (a， b)(b 0)，由题意得 a 2b 0，且 a2 ( 3)2 b2，解得 a 2， b 1，故所求圆的标准方程为 (x 2)2 (y 1)2 4. 与圆有关的最值问题 已知 M(x， y)为圆 C： x2 y2 4x 14y 45 0 上任意一点，且点 Q( 2,3) (1)求 |MQ|的最大值和最小值； (2)求 y 3x 2的最大值和最小值 解 (1)由圆 C： x2 y2 4x 14y 45 0， 可得 (x 2)2 (y 7)2 8， 圆心 C 的坐标为 (2,7)，半径 r 2 2. 又 |QC| 2 2 4 2， |MQ|max 4 2 2 2 6 2

12、， =【 ;精品教育资源文库 】 = |MQ|min 4 2 2 2 2 2. (2)可知 y 3x 2表 示直线 MQ 的斜率 k. 设直线 MQ 的方程为 y 3 k(x 2)，即 kx y 2k 3 0. 由直线 MQ 与圆 C 有交点，所以 |2k 7 2k 3|1 k2 2 2， 可得 2 3 k2 3， y 3x 2的最大值为 2 3，最小值为 2 3. 母题探究 1 (变化结论 )在本例的条件下，求 y x 的最大值和最小值 解 设 y x b，则 x y b 0. 当直线 y x b 与圆 C 相切时，截距 b 取到最值， |2 7 b|12 2 2 2， b 9 或 b 1.

13、 因此 y x 的最大值为 9，最小值为 1. 母题探究 2 (变换条件 )若本例中条件 “ 点 Q( 2,3)” 改为 “ 点 Q 是直线 3x 4y 1 0上的动点 ” ，其它条件不变，试求 |MQ|的最小值 解 圆心 C(2,7)到直线 3x 4y 1 0上动点 Q的最小值为点 C到直线 3x 4y 1 0的距离， |QC|min d |23 74 1|32 42 7. 又圆 C 的半径 r 2 2， |MQ|的最小值为 7 2 2. 规律方法 1.处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，数形结合求解 2某些与圆相关的最值可利用函数关系求解 根据题目条件列

14、出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、函数的性质、基本不等式求最值是比较常用的 变式训练 2 已知实数 x， y 满足方程 x2 y2 4x 1 0. (1)求 yx的最大值和最小值； (2)求 y x 的最大值和最小值； (3)求 x2 y2的最大值和最小值 解 原方程可化为 (x 2)2 y2 3，表示以 (2,0)为圆心， 3为半径的圆 (1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以设 yx k，即 y kx. 当直线 y kx 与圆相切时，斜率 k 取最大值或最小值，此时 |2k 0|k2 1 3，解得 k 3

15、(如图 1) 所以 yx的最大 值为 3，最小值为 3. 图 1 图 2 图 3 (2)y x 可看作是直线 y x b 在 y 轴上的截距，当直线 y x b 与圆相切时，纵截距 b取得最大值或最小值，此时 |2 0 b|2 3，解得 b 2 6(如图 2) 所以 y x 的最大值为 2 6，最小值为 2 6. (3)x2 y2 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取 得最大值和最小值 (如图 3) 又圆心到原点的距离为 2 2 2， 所以 x2 y2的最大值是 (2 3)2 7 4 3， x2 y2的最小值是 (2 3)2 7 4 3. 与圆有关的轨迹问题 (2018 烟台模拟 )已知圆 x2 y2 4 上一定点 A(2,0)， B(1,1)为圆内一点， P， Q 为圆上的动点 (1)求线段 AP 中点的轨迹方程； (2)若 PBQ 90 ，求线段 PQ 中点的轨迹方程 解