数学第四章课件.ppt

1、三三 角角 函函 数数第 四 章角的概念推广和弧度制第一节任意角的三角函数第二节同角三角函数的基本关系第三节三角函数的诱导公式第四节目录CONTENTS已知三角函数值求角第五节三角函数的图像和性质第六节反三角函数第七节目录CONTENTS第一节 角的概念推广和弧度制 角的概念推广 一、我们知道，角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.如图4-1（a）所示，射线的端点是O，它从位置OA旋转到另一位置OB形成的图形叫作角.旋转位置开始的射线OA叫作角的始边，终止位置的射线OB叫作角的 终边，端点O叫作角的顶点.第一节 角的概念推广和弧度制规定：按逆时针方向旋转所形成

2、的角叫作正角，如图4-1（a）所示；按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角，如图4-1（b）所示.当射线没有做任何旋转时，我们称它形成一个零角，零角的始边与终边重合.图 4-1 第一节 角的概念推广和弧度制钟表上时针现在指向8点，问再过27小时，时针指向几点？这段时间中时针走过的角度是多少？想一想第一节 角的概念推广和弧度制在以前所学的知识中，我们只研究了0360范围的角，但在现实生活中我们还会遇到更大范围的角.例如，游乐场的摩天轮，当它一圈又一圈地转动着的时候，其转动的角度不是只限于0360.为了描述这种现实状况，我们把角的概念加以推广，即推广到任意角，包括正角、负角和零角.如图4-2所示，正角

3、=210，负角=150图 4-2第一节 角的概念推广和弧度制坐标平面被直角坐标系分为四个部分，如图4-3所示，分别叫作第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.坐标轴上的点不属于任何象限.此时，角的终边在第几象限，就把这个角叫作第几象限的角，或者说这个角在第几象限.图 4-3第一节 角的概念推广和弧度制【例例1 1】第一节 角的概念推广和弧度制图 4-4第一节 角的概念推广和弧度制 课课堂练习练习 指出下列角分别是第几象限的角：（1）80；（2）210；（3）200；（4）50第一节 角的概念推广和弧度制 锐角是第几象限的角？第一象限的角一定是锐角吗？想一想第一节 角的概念推广和弧度制从图4-4

4、（a）可以看出420、300角都与60角的终边相同，并且都可以表示成60与k个周角的和，其中k为整数，即 420=60+k360(k=1),300=60+k360(k=1)，它们是角的始边绕坐标原点旋转到60角的终边位置后，分别继续按逆时针或顺时针方向再旋转一周所形成的角，其终边都相同，因此将其叫作 终边相同的角.与60角的终边相同的角有无限多个，用集合表示为 =60+k360,k Z .第一节 角的概念推广和弧度制 一般地，与角终边相同的角有无限多个，并且它们（包括角在内）都可以写成=60+k360(k Z )的形式,所以它们所组成的集合为 =+k360,k Z .(4-1)第一节 角的概念

5、推广和弧度制【例例2 2】第一节 角的概念推广和弧度制第一节 角的概念推广和弧度制【例例3 3】第一节 角的概念推广和弧度制终边在x轴上的角的集合如何表示？想一想第一节 角的概念推广和弧度制 课课堂练习练习1.下列说法正确的是（）.A.第二象限的角一定是钝角B.终边在y轴正半轴的角是直角C.第四象限的角一定是负角D.若=+k360（kZ），则与的终边相同2.与120角终边相同的角为（）.A.420 B.-240C.-540 D.6003.钟表的时针每小时转过 度，分针每小时转过 度，秒针每小时转过 度.第一节 角的概念推广和弧度制 弧度制 二、初中我们研究过角的度量，即将圆周的 1 360 所

6、对的圆心角叫作 1度角，记作1，如图4-5（a）所示.这种用“度”做单位来度量角度的单位制叫作角度制 .现在我们来学习另外一种度量角的单位制弧度制.把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角，记作1弧度或1 rad，如图4-5（b）所示.第一节 角的概念推广和弧度制（a)劣弧AB 的弧长为1 360 周长（b）劣弧AB 的弧长为半径长 图 4-5第一节 角的概念推广和弧度制一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.这种以弧度为单位来度量角的单位制叫作 弧度制 .由定义可知，当角用弧度表示时，其绝对值等于圆弧长l与半径r的比，即 (4-2)这里，角的正负由其终边

7、的旋转方向决定.第一节 角的概念推广和弧度制半径为r的圆的周长为2r，故周角的弧度为用角度制和弧度制来度量零角，单位虽然不同，但量数相同，都是0；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不用.例如，周角的弧度数是2，而它在角度制下的度数是360第一节 角的概念推广和弧度制第一节 角的概念推广和弧度制【例例4 4】第一节 角的概念推广和弧度制【例例5 5】将下列各角由弧度换算为角度：第一节 角的概念推广和弧度制表4-1中给出了一些特殊角的弧度与角度之间的换算.采用弧度制之后，每一个角都对应唯一的一个实数；反之，每一个实数都对应唯一的一个角.这样，角与实数之间就建立了一一对应的关系.第一节

8、 角的概念推广和弧度制 课课堂练习练习第一节 角的概念推广和弧度制第一节 角的概念推广和弧度制第一节 角的概念推广和弧度制第一节 角的概念推广和弧度制第二节 任意角的三角函数 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数 一、在初中我们已经学过了锐角的正弦、余弦和正切函数，并且在前边的内容中也已经推广了角的概念，现在利用直角坐标系把这三种三角函数推广到任意角的情况.第二节 任意角的三角函数第二节 任意角的三角函数图 4-6 第二节 任意角的三角函数可以看出，当角的终边在y轴上时，即对于每一个确定的值，其正弦、余弦及正切（当x0时）都分别对应一个确定的比值.因此，正弦、余弦及正切都是以为变量的函数，分别

9、叫作正弦函数、余弦函数及正切函数，它们都是三角函数.表4-2所示为正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域.第二节 任意角的三角函数第二节 任意角的三角函数【例例1 1】图 4-7第二节 任意角的三角函数【例例2 2】第二节 任意角的三角函数图 4-8第二节 任意角的三角函数 课课堂练习练习已知角终边上的点P的坐标如下，分别求出它的正弦值、余弦值和正切值：（1）P(1,3 )；（2）P(6,8)；（3）P(1,2).第二节 任意角的三角函数 三角函数的正负号 二、任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数在各象限的正负号任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数在各象限的正负号1.由于r0，所以三角函数值的正

10、负由终边上点P的坐标来确定.因此由三角函数的定义以及各象限内的点的坐标的符号可知：第二节 任意角的三角函数（1）正弦值sin=y r ，对于第一、二象限的角来说是正的（y0）；对于第三、四象限的角来说是负的（y0）；对于第二、三象限的角来说是负的（x0且cos0，则是第几象限的角？第二节 任意角的三角函数界线角的正弦值、余弦值和正切值界线角的正弦值、余弦值和正切值2.由于零角的终边与x轴的正半轴重合，并且r为点P到原点的距离，所以对于角终边上的任意点P(x,y)都有r=x,y=0.因此根据三角函数的定义，有第二节 任意角的三角函数第二节 任意角的三角函数【例例4 4】第二节 任意角的三角函数

11、课课堂练习练习 计算4sin902sin0+6tan180+cos270.第二节 任意角的三角函数 利用计算器求任意角的三角函数值 三、利用科学计算器的sin 、cos 、tan 键，就可以方便地计算任意角的三角函数值.主要步骤是：设置模式（角度制或弧度制）按 sin 键（或 cos 、tan 键）输入角的大小按 =键显示结果.第二节 任意角的三角函数【例例4 4】第二节 任意角的三角函数 课课堂练习练习第三节 同角三角函数的基本关系 单位圆 一、在平面直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆如图4-10所示，设任意角的终边与单位圆相交于点P(x，y)，根据三角函数的定义，可

12、得第三节 同角三角函数的基本关系 由此可见，角口的正弦值和余弦值分别等于其终边与单位圆的交点P的纵坐标y和横坐标x因此，角的终边与单位圆的交点P的坐标可以表示为P(cos，sin)图 4-10第三节 同角三角函数的基本关系【例例1 1】第三节 同角三角函数的基本关系 课课堂练习练习1.已知角=45，求其终边与单位圆交点的坐标.2.已知角=60，求其终边与单位圆交点的坐标.第三节 同角三角函数的基本关系 同角三角函数的基本关系 二、第三节 同角三角函数的基本关系 学习提示学习提示第三节 同角三角函数的基本关系【例例2 2】第三节 同角三角函数的基本关系 课课堂练习练习第四节 三角函数的诱导公式

13、角与+2k(k Z )的三角函数间的诱导公式 一、由第一节可知，在直角坐标系中，角与+2k(k Z )的终边相同.根据三角函数的定义，它们的三角函数值相等，即 (4-7)利用上述公式，我们就可以把求任意角的三角函数的值转化为求0360的三角函数的值.第四节 三角函数的诱导公式【例例1 1】第四节 三角函数的诱导公式 课课堂练习练习第四节 三角函数的诱导公式 角与的三角函数间的诱导公式 二、下面我们再研究任意角与的三角函数值之间的关系.如图4-11所示，设单位圆与角和的终边的交点分别为P和P，则点P的坐标是(cos,sin)，点P的坐标是(cos(),sin().容易看出，点P和点P关于x轴对称

14、，则点P的坐标也可以写为(cos,sin)，所以可得 sin()=sin,cos()=cos.图 4-11第四节 三角函数的诱导公式第四节 三角函数的诱导公式 sin+cos=-sin(-)+cos(-)?为什么？想一想第四节 三角函数的诱导公式【例例2 2】第四节 三角函数的诱导公式 课课堂练习练习第四节 三角函数的诱导公式 角与的三角函数间的诱导公式 三、如图4-12所示，已知任意角的终边与单位圆相交于点P，由于角+的终边就是角的终边的反向延长线，所以角+的终边与单位圆的交点P与点P关于原点对称.点P的坐标为(cos,sin)，点P的坐标为(cos(+),sin(+)，又由于点P与点P关于

15、原点对称，则点P的坐标又可以写为(cos,sin)，所以可得 sin(+)=sin,cos(+)=cos.第四节 三角函数的诱导公式图 4-12第四节 三角函数的诱导公式由同角三角函数的关系式可知第四节 三角函数的诱导公式如图4-13所示，设单位圆与角，+，的终边分别相交于点P，P，P.从图4-13中可以看出，点P与点P关于x轴对称，由此可以得到 sin()=sin(+)=sin,cos()=cos(+)=cos.图 4-13第四节 三角函数的诱导公式第四节 三角函数的诱导公式学习提示学习提示第四节 三角函数的诱导公式【例例3 3】第四节 三角函数的诱导公式 课课堂练习练习第四节 三角函数的诱

16、导公式 角与 2 的三角函数间的诱导公式 四、第四节 三角函数的诱导公式第四节 三角函数的诱导公式第四节 三角函数的诱导公式式（4-7）式（4-12）统称为 诱导公式 .利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，用以求三角函数式的值或化简三角函数式.第五节 已知三角函数值求角 已知正弦函数值求指定范围内的角 一、在科学计算器的标准设置中，已知正弦函数值，只能显示9090或 范围内的角.其步骤是：设定角度或弧度计算模式按 SHIFT 键按 sin 键输入正弦函数值按=键显示9090 或 范围的角.第五节 已知三角函数值求角【例例1 1】第五节 已知三角函数值求角已知正弦值，求指定范

17、围内的角的主要步骤是：（1）利用计算器求出9090 或 范围内的角；（2）利用诱导公式sin()=sin求出90270 或 范围内的角；（3）利用诱导公式sin(+2k)=sin求出指定范围内的角.第五节 已知三角函数值求角【例例2 2】第五节 已知三角函数值求角 课课堂练习练习 已知sinx=0.4，利用计算器求区间0,2范围内的角x（精确到0.000 1）.第五节 已知三角函数值求角 已知余弦函数值求指定范围内的角 二、在科学计算器的标准设置中，已知余弦函数值，只能显示0180（或0）范围内的角.其步骤是：设定角度或弧度计算模式按 SHIFT 键 按 cos 键输入余弦函数值按=键显示01

18、80（或0）范围内的角.如果求指定范围内的角，那么还需要使用诱导公式.第五节 已知三角函数值求角已知余弦值，求指定范围内的角的主要步骤是：（1）利用计算器求出0180（或0）范围内的角；（2）利用诱导公式cos()=cos求出1800（或0）范围内的角；（3）利用诱导公式cos(+2k)=cos求出指定范围内的角.第五节 已知三角函数值求角【例例3 3】第五节 已知三角函数值求角 课课堂练习练习已知cosx=0.4，利用计算器求区间02范围内的角x（精确到0.000 1）.第五节 已知三角函数值求角 已知正切函数值求指定范围内的角 三、在科学计算器的标准设置中，已知正切函数值，只能显示9090

19、 或 范围内的角.其步骤是：设定角度或弧度计算模式按SHIFT键 按 tan键输入正切函数值按=键显示9090或 范围内的角.如果求指定范围内的角，那么还需要使用诱导公式.第五节 已知三角函数值求角已知正切值，求指定范围内的角的主要步骤是：（1）利用计算器求出9090或 范围内的角；（2）利用诱导公式tan(+)=tan求出90270 或 范围内的角；（3）利用诱导公式tan(+2k)=tan求出指定范围内的角.第五节 已知三角函数值求角【例例4 4】第五节 已知三角函数值求角 课课堂练习练习已知tanx=0.4，利用计算器求02范围内的角x（精确到0.000 1）.第六节 三角函数的图像和性

20、质 正弦函数的图像和性质 一、下面研究三角函数的时候，按照惯例采用字母x来表示角（自变量）.在平面直角坐标系中，可以利用描点法得到正弦函数的图像.一般地，作图时自变量x应采用弧度制.第六节 三角函数的图像和性质 现在利用描点法画出正弦函数的图像.把区间0,2分为8等份，分别求得函数y=sinx在各分点及区间端点的函数值，列表如表4-4所示.第六节 三角函数的图像和性质 以表中每组(x,y)的值作为点的坐标，在直角坐标系内做出对应的点，把它们依次连结成光滑的曲线，就得到了正弦函数y=sinx在区间0,2上的图像，如图4-14 所示.图 4-14 第六节 三角函数的图像和性质 因为终边相同的角有相

21、同的三角函数值，所以将函数y=sinx在0,2上的图像向左或向右平移（每次移动2个单位长度），这样就得到正弦函数y=sinx在R 上的图像，如图4-15所示.正弦函数的图像叫作正弦曲线.图 4-15第六节 三角函数的图像和性质 观察发现，正弦函数y=sinx在0,2上的图像有五个关键点：在直角坐标系中，描出这五个点后，正弦函数y=sinx在0,2上的图像的形状就基本上确定了.因此在精确度要求不高时，经常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线把它们连结起来，就得到了正弦函数在0,2上的简图.这种作图的方法叫作“五点法”.第六节 三角函数的图像和性质 用五点法作正弦函数y=sinx在-，上的图像时，

22、关键点是哪五个？思考与讨论思考与讨论第六节 三角函数的图像和性质 第六节 三角函数的图像和性质（3）周期性.对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，当x取定义域D内的每一个值时，都有x+TD，并且等式f(x+T)=f(x)成立，那么函数f(x)叫作 周期函数 ，常数T叫作这个函数的一个周期 .正弦函数的定义域是 R，对x R 都有x+2k R (k Z ),并且由诱导公式sin(x+2k)=sinx可知，正弦函数是周期函数.周期函数的周期不止一个，如2,4,6,，2,4,6,都是正弦函数的周期.事实上，任何一个常数2k(k Z,k0)都是正弦函数的周期.第六节 三角函数的图像和性质 如果

23、周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么就把它叫作 最小正周期 .一般在不引起混淆的情况下，我们所说的函数的周期都是指它的最小正周期.例如，正弦函数的周期是2.第六节 三角函数的图像和性质 第六节 三角函数的图像和性质 y=sinx在定义域内具有单调性吗？为什么？想一想第六节 三角函数的图像和性质 第六节 三角函数的图像和性质【例例1 1】利用“五点法”作函数y=1+sinx在区间0,2上的图像.解 按五个关键点列表，如表4-5所示.第六节 三角函数的图像和性质 以表中每组(x,y)的值作为点的坐标，描点并将它们用光滑的曲线连结起来，就得到函数y=1+sinx在区间0,2上的图像，如图4-

24、16所示.图 4-16第六节 三角函数的图像和性质【例例2 2】第六节 三角函数的图像和性质 课课堂练习练习第六节 三角函数的图像和性质 余弦函数的图像和性质 二、现在利用描点法画出余弦函数的图像.把区间0,2分为8等份，分别求得函数y=cosx在各分点及区间端点的函数值，列表如表4-6所示.第六节 三角函数的图像和性质 以表中每组(x,y)的值作为点的坐标，在直角坐标系内做出对应的点，把它们依次连结成光滑的曲线，就得到了余弦函数y=cosx在区间0,2上的图像，如图4-17 所示.图 4-17 第六节 三角函数的图像和性质 因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以将函数y=cosx在0,2上

25、的图像向左或向右平移（每次移动2个单位长度），这样就得到余弦函数y=cosx在 R 上的图像，如图4-18所示.余弦函数的图像叫作 余弦曲线 .图 4-18第六节 三角函数的图像和性质 下面我们研究余弦函数的主要性质.（1）定义域.余弦函数y=cosx的定义域是 R .（2）值域.余弦函数y=cosx的值域为1,1.当x=2k,kZ 时，函数取得最大值1；当x=(2k+1),kZ 时，函数取得最小值-1.（3）周期性.余弦函数的定义域是 R，对xR 都有x+2k R (k Z )；并且由诱导公式cos(x+2k)=cosx可知，与正弦函数相同，余弦函数也是周期函数，它的周期是2k(k Z ,k

26、0)，并且最小正周期是2.第六节 三角函数的图像和性质（4）奇偶性.观察余弦曲线，可以看到余弦曲线关于y轴对称，即余弦函数是偶函数.（5）单调性.由余弦曲线可以看出，当x由0增大到时，曲线逐渐下降，cosx的值由1减小到1；当x由增大到2时，曲线逐渐上升，cosx的值由1增大到1.第六节 三角函数的图像和性质(1)y=cosx在定义域内具有单调性吗？为什么？(2)观察正弦曲线和余弦曲线，它们之间有什么联系？想一想第六节 三角函数的图像和性质 根据余弦函数的周期性可知：余弦函数在每一个区间(2k1),2k(k Z )上都是增函数，其值从1增大到1；在每一个区间2k,(2k+1)(k Z )上都是

27、减函数，其值从1减小到1.第六节 三角函数的图像和性质【例例4 4】第六节 三角函数的图像和性质 以表中每组(x,y)的值作为点的坐标，描点并将它们用光滑的曲线连结起来，就得到函数y=cosx在区间0,2上的图像，如图4-19所示.图 4-19第六节 三角函数的图像和性质【例例5 5】第六节 三角函数的图像和性质 课课堂练习练习1.利用“五点法”作函数y=2cosx在区间0,2上的图像.2.求下列函数的周期：（1）y=3cosx+1,x R；（2）y=cos2x,x R .3.求使函数y=cosx+6 取得最大值的x的集合，并指出最大值.第六节 三角函数的图像和性质 正切函数的图像和性质 三、

28、第六节 三角函数的图像和性质 以表中的x值为横坐标，以对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点(x，y)，然后用光滑的曲线依次连结这些点，即可得到函数y=tanx在区间(-，)上的图像，如图4-20所示图 4-20第六节 三角函数的图像和性质 第六节 三角函数的图像和性质 从图4-21中可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线x=+k(k Z)所隔开的无穷多支曲线组成的图 4-21第六节 三角函数的图像和性质 第六节 三角函数的图像和性质(3)周期性.正切函数是周期为的周期函数(4)奇偶性.正切曲线关于原点O中心对称，因此正切函数y=tanx是奇函数(5)单调性.当x由-增大到 时，正

29、切曲线逐渐上升，y=tanx的值由-增大到+第六节 三角函数的图像和性质【例例6 6】利用“五点法”作函数y=-tanx在区间(-，)上的图像.解 按五个关键点列表，如表4-9所示第六节 三角函数的图像和性质 以表中的x值为横坐标，以对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点(x，y)，然后用光滑的曲线依次连结这些点，即可得到函数y=tanx在区间(-，)上的图像，如图4-22所示.图 4-22第六节 三角函数的图像和性质 结合例6，y=tanx和y=-tanx的图像有什么区别？思考与讨论思考与讨论第七节 反三角函数反三角函数一般用“arc+函数名”的形式表示，如反正弦函数表示为y=a

30、rcsin x，反余弦函数表示为y=arccos x等.第七节 反三角函数 反正弦函数 一、如图4-23所示为正弦函数y=sinx在 R 上的图象.图 4-23第七节 反三角函数由图4-23可知：（1）正弦函数y=sinx在 R 上无反函数.（2）在区间-,上，正弦函数y=sinx的自变量x与函数值y是一一对应的，故正弦函数y=sinx在区间-,上有反函数.综上所述，正弦函数y=sinx在区间-,上有反函数，称为 反正弦函数 ，记作y=arcsinx.反正弦函数的定义域为-1，1，值域为-,.第七节 反三角函数下面，我们来研究反正弦函数的图像和性质.如图4-24所示为反正弦函数y=arcsin

31、x在区间-1，1上的图像.图 4-24第七节 反三角函数第七节 反三角函数 反余弦函数 二、如图4-25所示为余弦函数y=cosx在 R 上的图像.图 4-25第七节 反三角函数由图4-25可知：（1）余弦函数y=cosx在 R 上无反函数.（2）在区间0，上，余弦函数y=cosx的自变量x与函数值y是一一对应的，故余弦函数y=cosx在区间0,上有反函数.综上所述，余弦函数y=cosx在区间0,上有反函数，称为 反余弦函数，记作y=arccosx.反余弦函数的定义域为-1,1，值域为0,.第七节 反三角函数下面，我们来研究反余弦函数的图像和性质.如图4-26所示为反余弦函数y=arccosx

32、在区间-1，1上的图像.图 4-26第七节 反三角函数第七节 反三角函数 反正切函数 三、如图4-27所示为正切函数y=tanx在x|x R,x +k,k Z 上的图像.图 4-27第七节 反三角函数图4-27可知：（1）正切函数y=tanx在 R 上无反函数.(2)在区间（-,）上，正切函数y=tanx的自变量x与函数值y是一一对应的，故正切函数y=tanx在区间-,上有反函数.综上所述，正切函数y=tanx在区间-,上有反函数，称为 反正切函数 ，记作y=arctanx.反正切函数的定义域为 R，值域为-,.第七节 反三角函数下面，我们来研究反正切函数的图像和性质.如图4-28所示为反正切

33、函数y=arctanx在区间 R 上的图像.图 4-28第七节 反三角函数由图4-28可知，反正切函数y=arctanx主要具有如下性质：（1）定义域.反正切函数y=arctanx的定义域为 R，即（-,+）.（2）值域.反正切函数y=arctanx的值域为(-,).(3)tana=b,a(-,)arctanb=a,b R .第七节 反三角函数 反余切函数 四、如图4-29所示为余切函数y=cotx在 R 上的图像.图 4-29第七节 反三角函数由图4-29可知:（1）余切函数y=cotx在 R 上无反函数.(2)在区间（0,）上，余切函数y=cotx的自变量x与函数值y是一一对应的，故余切函

34、数y=cotx在区间（0，）上有反函数.综上所述，余切函数y=cotx在区间（0,）上有反函数，称为 反余切函数 ，记作y=arccotx.反余切函数的定义域为 R，值域为（0,）.下面，我们来研究反余切函数的图像和性质.第七节 反三角函数如图4-30所示为反余切函数y=arccotx在区间 R 上的图像.图 4-30第七节 反三角函数由图4-30可知，反余切函数y=arccotx主要具有如下性质：（1）定义域.反余切函数y=arccotx的定义域为 R ，即（-,+）.(2)值域.反余切函数y=arccotx的值域为（0,）.(3)cota=b,a(0,)arccotb=a,b R .第七节

35、 反三角函数【例例1 1】第七节 反三角函数第七节 反三角函数【例例2 2】用反正弦函数表示下列各角：阅读材料 波 浪 曲 线 有一个故事：从前有座山，山上有座庙，庙里有一个老和尚和一个小和尚.有一天，老和尚对小和尚说：“从前有座山，山上有座庙，庙里有一个老和尚和一个小和尚，有一天”无须再写下去，我想读者都知道如何继续这个故事.阅读材料在文学家的笔下，对于循环模式的描述，往往是很精彩的.但在数学家的眼中，所有出现的事件y都是时间x的函数 y=f(x).而循环模式则表示对于变量x的任何值，存在一个常量T，使得 f(x+T)=f(x)，这里的T称为周期.上式表明，同样的事件，在经历了一个周期之后又回到了原先的状态，周而复始，如此而已！阅读材料拿一张纸，把它卷到一根蜡烛上，然后用刀斜着把它切断，再把卷起的纸展开，那么你将会看到一个波浪型曲线的截口.让我们看一看这是怎样的一条曲线？阅读材料这就可得到一条正弦曲线，同学们可自己试试看.自然界中正弦曲线有很多.往水池里扔一块石头，便会看到圆形的水波逐渐向四周扩展；拿一根长绳，抓住其中一头上下振动，你会看到一个个波浪传向前方，即使振动的那一头已经停止动作，已经形成的波形仍会继续传向远处！在数学家眼里，上面的一系列现象称为波的传送.数学家们运用自己的智慧，巧妙地把这种运动用函数表示了出来.