第9章维纳滤波课件.ppt

1、 9.1 9.1 概述概述 9.2 9.2 波形线性均方估计的正交原理波形线性均方估计的正交原理 9.3 9.3 维纳维纳-霍夫（霍夫（Wiener-HorfWiener-Horf)积分方程积分方程 9.4 9.4 非因果的维纳滤波问题非因果的维纳滤波问题 9.5 9.5 因果的维纳滤波器因果的维纳滤波器 9.6 9.6 预测问题预测问题 9.7 9.7 后验维纳滤波与互补维纳滤波后验维纳滤波与互补维纳滤波 9.8 9.8 维纳滤波器的应用维纳滤波器的应用 在传输或测量信号在传输或测量信号s(n)时，由于信道噪时，由于信道噪声或者测量噪声声或者测量噪声w(n)，接收或测量到的，接收或测量到的数

2、据数据x(n)将与将与s(n)不同。设噪声是加性不同。设噪声是加性的的:即即:x(n)=s(n)+w(n)如果如果s(n)和和w(n)的频谱是分离的，那么的频谱是分离的，那么设计一个具有恰当频率特性的线性滤波设计一个具有恰当频率特性的线性滤波器即能有效地抑制噪声并提取信号，这器即能有效地抑制噪声并提取信号，这就是前面经典数字信号处理理论中详细就是前面经典数字信号处理理论中详细讨论过的数字滤波器的设计问题讨论过的数字滤波器的设计问题.但是如但是如果果s(n)和和w(n)的频谱互相重叠的频谱互相重叠,或者或者s(n)和和w(n)是随机信号，它们的频谱根本就是随机信号，它们的频谱根本就不存在，问题就

3、要复杂得多，这就是本不存在，问题就要复杂得多，这就是本章要讨论的内容。章要讨论的内容。随机性是生物医学信号的特点之一，随机性是生物医学信号的特点之一，在本章中主要讨论噪声中随机信号的在本章中主要讨论噪声中随机信号的线性估计问题。维纳滤波适用于平稳线性估计问题。维纳滤波适用于平稳随机过程。随机过程。观察观察x(t)中既含有随机信号中既含有随机信号s(t)又含有又含有噪声噪声n(t)。经处理器处理后得一估计值经处理器处理后得一估计值 作为对作为对所希望取得的信息所希望取得的信息d(t)的估计值，的估计值，d(t)可能是可能是s(t)，也可能是预测值，也可能是预测值s(t+a)，导数导数ds(t)/

4、dt等。等。估计的任务就是要求估计的任务就是要求 与与d(t)的差值的差值在一定判据意义下取得极小值。在一定判据意义下取得极小值。()d t()d t处理器处理器判判据据极小极小()d t()d t()()()x ts tn t9-1估计原理方框图估计原理方框图1.1.滤波问题：滤波问题：由由t t00t tf f一段时期内的观察一段时期内的观察x(t),x(t),t t0 0ttttf f，估计，估计t=tt=tf f瞬间信号瞬间信号s(t)s(t)的值的值s(t)s(t)。即：即：d(t)=s(t)d(t)=s(t)。2.2.预测问题：预测问题：由由t t00t tf f一段时期内的观察一

5、段时期内的观察x(t),x(t),估计估计ttttf f的某一时刻待估计信号的可能值。的某一时刻待估计信号的可能值。即：即：d(t)=s(t+a)d(t)=s(t+a)，a0a0。3.3.平滑问题：平滑问题：由由t t00t tf f一段时期内的观察一段时期内的观察x(t),x(t),估计估计t t0 0ttt0a0，设只用设只用t t时刻的观察值时刻的观察值x(t)x(t)对对d(t)d(t)作线性估作线性估计：计：按最小均方误差判据做估计，即求按最小均方误差判据做估计，即求。()()()d tx ts t 应和观察值应和观察值x(t)=s(t)x(t)=s(t)正交，即：正交，即：()()

6、()()()e td td ts tas t2()()()0()()()()(0)(0)()(0)0(0)ssssssssLMSssssssEs tas t s taREs tas t s tRaRaRRaRR有：得：此时的均方误差为：设观察中没有噪声，即设观察中没有噪声，即x(t)=s(t)，又待估计，又待估计量是信号的预测值量是信号的预测值d(t)=s(t+a)，a0，设估，设估计算子采用：计算子采用：按最小均方误差判据做估计，即求估计系按最小均方误差判据做估计，即求估计系数数a和和b。()()()ds td tas tbdt()()()()0()()()()0()(0)(0)0()(0)

7、(0)0sssssss ssss sds tEs taas tbs tdtds tds tEs taas tbdtdtRaaRbRRaaRbR即：()(0)0()(0)0()(0)()(0)sssss ss ssssss ss sRaaRRabRRaaRRabR故得到：22()()()()(0)()()()()(0)(0)(0)LMSsssss ssss ssssss sds tEs taas tbs tadtRaRabRaRaRaRRR因为因为Rss(0)0,此式最后一项大于零，所以，此式最后一项大于零，所以，它要比例它要比例9.1的的 LMS要小，主要是他利用了更要小，主要是他利用了更多的

8、测量信息，估计效果更好些。多的测量信息，估计效果更好些。观察观察x(t)由信号由信号s(t)和噪声和噪声n(t)相加组成，相加组成，观察时间观察时间t t00t tf f，则：，则：x(t)=s(t)+n(t),x(t)=s(t)+n(t),tt0 0，t tf f 待估计过程是待估计过程是d(t)d(t)，x(t)x(t)经线性处理得经线性处理得到估计为：到估计为：要求估计均方误差最小，试求要求估计均方误差最小，试求h(th(t)0()()()fttd txh td即即t时刻的估计误差要和时刻的估计误差要和t t00t tf f区间所有时刻区间所有时刻 的观察值的观察值x(x()正交，推得：

9、正交，推得：0()()()0fE d td t xtt000()()()()()()()()()()()(),fftttxdxxftE d t xE d t xE d t xExh txdRth tRdtt有：即：0()()()fttd txh td00()()()()(0)()()fftLMSttddxdtEd txh tdd tRh tRtd问题是维纳问题是维纳-霍夫方程是一个积分方程，未必霍夫方程是一个积分方程，未必能求出解析解答。能求出解析解答。对于滤波问题，利用从对于滤波问题，利用从t t0 0=-=-一直到一直到t tf f=t=t时刻为止的全部观察来估计时刻为止的全部观察来估计t

10、 t时刻的信号时刻的信号s(t)s(t)。此时有：。此时有：t t0 0=-,t=-,tf f=t=t d(t)=s(t)d(t)=s(t)于是维纳于是维纳-霍夫方程变为：霍夫方程变为：()()(),txsxxRth tRdt或：或：此时：此时：0()()(),0 xsxxRhRd0()()(),0 xsxxRhRd 0(0)()()LMSssxsRhRd 如果不要求滤波器是因果的，可以把如果不要求滤波器是因果的，可以把观察时间的上限观察时间的上限t tf f扩展到扩展到-,-,也就是也就是利用利用x(t)x(t)在全时间轴上的值来进行估在全时间轴上的值来进行估计。此时维纳计。此时维纳-霍夫方

11、程为：霍夫方程为：()()(),xsxxRhRd 如果如果n(t)n(t)和和s(t)s(t)统计独立，则有：统计独立，则有：()()()()()()xsxxxsxxSHSSHS或者：()()(),()()()()()()xxssnnxsssssssnnSSSSSSHSS有：做反傅里叶变换得到滤波器的冲击响应做反傅里叶变换得到滤波器的冲击响应h(t)h(t)噪声是白色的，其功率谱是常数噪声是白色的，其功率谱是常数而且噪声与信号统计独立，求维纳滤波器而且噪声与信号统计独立，求维纳滤波器的频率特性和冲击响应。的频率特性和冲击响应。21()1ssS()1nnS求付里叶反变换得到：求付里叶反变换得到：

12、它显然是非因果的，物理不可实现的它显然是非因果的，物理不可实现的22()1()()()2122 2ssssnnSHSS22()4th teth(t)o 在离散情况下，在不要求物理可实现的在离散情况下，在不要求物理可实现的条件下。可以类似推出以下结论：条件下。可以类似推出以下结论：维纳维纳-霍夫原方程为：霍夫原方程为：现在放宽为现在放宽为：0()()()0 xsxxnRmh n Rmnm 9.4.2 9.4.2 离散时间形式的解离散时间形式的解()()()xsxxnRmh n Rmnm 实际中一般采用实际中一般采用Z Z变换的传递函数变换的传递函数()()()()()()jjxsjxxjssjj

13、ssnnSeH eSeSeSeSe()()()()ssssnnSzH zSzSz(0)()()LMSssxsnRh n Rn将将H(z)H(z)做反演做反演Z Z变换变换得到冲击响应得到冲击响应h(n)h(n)可见可见H(ej)决定于信号与噪声的功率谱密度决定于信号与噪声的功率谱密度;当噪声为零时当噪声为零时,即即Snn(ej)=0;H(ej)=1，信，信号全部通过；号全部通过；当信号为零时当信号为零时,即即Sss(ej)=0;H(ej)=0，噪，噪声被全部抑制掉声被全部抑制掉;因此维纳滤波器确有滤除噪声的能力。因此维纳滤波器确有滤除噪声的能力。非因果维纳滤波器的幅频特性如下图所示。非因果维纳

14、滤波器的幅频特性如下图所示。0()0,()0()1()0,()0()()0,()0()()ssnnjssnnssssnnssnnSSH eSSSSSSS0非因果维纳滤波器的幅频特性非因果维纳滤波器的幅频特性Sss(ej)Snn(ej)H(ej)1噪声是白色的噪声是白色的设计非因果的维纳滤波器设计非因果的维纳滤波器()0.80,1,2,mssRmm L()0.4500nnRmmm当为其它值传递函数：传递函数：1()()0.36(10.8)(10.8)()()0.45mssssmnnnnSzRm zzzSzRm z110.36(10.8)(10.8)()0.360.45(10.8)(10.8)zz

15、H zzz 它是非因果的，而且是无限长的，可以它是非因果的，而且是无限长的，可以取短近似，如只取取短近似，如只取4项为：项为：110.4340.434(0.37364)()10.3736410.37364()0.434(0.37364),0,1,2,nzH zzzh nnL44()()()s nx nk h k 非因果维纳滤波器需要用全时间上的观察非因果维纳滤波器需要用全时间上的观察值来估计值来估计s(n),s(n),所以不能实时实现，即使采所以不能实时实现，即使采用把用把h(n)h(n)截短的近似估计，也必须延迟若截短的近似估计，也必须延迟若干拍，待干拍，待x xn+kn+k输入后（输入后（

16、k k是截短范围是截短范围)才能做才能做出本次估计。出本次估计。维纳滤波器的时域解维纳滤波器的时域解（Time domain solution of the Wiener Time domain solution of the Wiener filterfilter）设计维纳滤波器的过程就是寻求在最小均设计维纳滤波器的过程就是寻求在最小均方误差下滤波器的单位脉冲响应方误差下滤波器的单位脉冲响应h(n)h(n)或传或传递函数递函数H(Z)H(Z)的表达式，其实质就是解维纳的表达式，其实质就是解维纳霍夫（霍夫（WienerWienerHorfHorf）方程。）方程。我们从时域入手求最小均方误差下的

17、我们从时域入手求最小均方误差下的h(n)h(n)。这里只讨论因果可实现滤波器的设计，既：这里只讨论因果可实现滤波器的设计，既：()0,0h nn当1.FIR型：限制处理器的形式，只用最近的型：限制处理器的形式，只用最近的p+1个观察值个观察值x(n),x(n-1),x(n-p)来估来估计计s(n),即：即：2.预白化处理，把观察序列值预白化处理，把观察序列值x(n)白化。变白化。变成白噪声成白噪声w(n)，再对，再对w(n)做可实现的最优做可实现的最优滤波，如图：滤波，如图：0()()()pks nh k x nkX(n)d(n)预白化预白化H2w(n)白色白色由正交原理得：由正交原理得：0(

18、)()()pks nh k x nk00()()()()0,1,()()(),1,pkpxxxskEs nh k x nk x mmn nnph k RnkmRnmmn nnpLL也就是：用矩阵表示：用矩阵表示：R RxxxxH H=G=G 0()()()0,1,2.pxxxskh k RmkRmmp，(0)(1)()(1)(0)(1)()(1)(0)xxxxxxxxxxxxxxxxxxRRRpRRRpRpRpRLLMMLML自相关阵：(0),(1)()(0),(1)()xsxsxsHhhh pGRRRp待求系数矢量：互相关矢量：LL H=Rxx-1GR Rxxxx是对称且是对称且Toplit

19、zToplitz型的型的这时的最小均方误差为：这时的最小均方误差为：0(0)()()pLMSssxskRh k Rk信号模型图信号模型图()w n()A z()s n9.5.2 9.5.2 预白化处理预白化处理 预白化方法是基于如下事实：预白化方法是基于如下事实：当当x(n)是方差是方差 x2=1的白噪声时，有：的白噪声时，有：Rxx(m-n)=1 当当m=n =0 其它其它 所以上式直接就可以得出：所以上式直接就可以得出：h(m)=Rxs(m)m=0 0()()()xsxxnRmh n Rmn 离散维纳离散维纳-霍夫方程为霍夫方程为:它的付氏变换写作：它的付氏变换写作：Sxs(ej)+或用或

20、用Z变换表示：变换表示：H(z)=Sxs(z)+符号符号.+表示原函数表示原函数m0部分对应的付部分对应的付氏变换和氏变换和Z变换。变换。X(n)S(n)+n(n)d(n)=s(n)预白化预白化H2(z)w(n)白色白色H1(z)E.2极小极小()d n优化优化-+预白化算法处理框图预白化算法处理框图复习一个复习一个Z变换的性质变换的性质 如果如果h(n)=h(-n),则有则有:H(z)=H(z-1);那么，如果那么，如果z1是是()的极点，的极点，1/Z1一定是一定是H(z)的极点的极点;同样，零点也有这样的性质；同样，零点也有这样的性质；还有如果还有如果h(n)是实函数，则是实函数，则(z

21、)极点一定极点一定是共轭对称的是共轭对称的()()()()()()()xxxxxxxxxxxxxxSzSz SzSzSzSzSz由处于单位圆内的极,零点组成由处于单位圆外的极,零点令：其中：组成且：11()()1()()xxxxxxSzSzH zSz则：1.预白化滤波器预白化滤波器H1(z)的设计的设计 对对x(n)的可实现白化滤波器的可实现白化滤波器H1(z)可如下求得可如下求得:2.2.最优滤波器最优滤波器H H2 2(z)(z)的设计的设计 因为因为W(n)W(n)是白色的，所以：是白色的，所以：2112()()1()()()111()1()()()()()WSWSxsxxxxxsxxH

22、zSzSzHSzzHzSzSzSzHzSz12()1()()()()()xsxxxxSzH zH z HzSzSz最后得总滤波器最后得总滤波器:1111()()()()()()()()+k=k()()1()()()wskxskxskwsxsRnE W m S nmEh k x mk S nmEh k RnkEh kn RkRzHRzz令n则有：证明：证明：例例9.5 9.5 设设x(n)=s(n)+n(n),sx(n)=s(n)+n(n),s、n n统计独立统计独立,且：且：设计可实时实现的维纳滤波器。设计可实时实现的维纳滤波器。解：解：()()0,1,2,()0.80,1,2,nnmssRm

23、mmR mm LL1()()10.36()()(1 0.8)(1 0.8)mnnnnmmssssmSzRm zSzRm zzz因此得：因此得：1110.36()()()1(1 0.8)(1 0.8)(1 0.5)(1 0.5)1.6(1 0.8)(1 0.8)xxssnnSzSzSzzzzzzz 11110.5()1.610.810.5()1.610.80.36()()(10.8)(10.8)xxxxxssszSzzzSzzSzSzzz可见：可见：括弧中的因子可按下式做部分分式分解：括弧中的因子可按下式做部分分式分解：前一项对应与前一项对应与n 0部分，后一项对应与部分，后一项对应与n00部分

24、，故部分，故:1()0.36()(1 0.8)(1 0.5)xsxxzSzzSzzz11.2(0.5)0.48(1 0.8)(1 0.5)zzz1()0.48()1 0.8xsxxzSzSzz 因此因此:得得:或用或用IIRIIR方式实现：方式实现：1()10.3()()()1 0.8xsxxxxzSzH zSzSzz()0.3(0.8)0nh nn(1)0.3()0.8()s nx ns n 此时此时:由正交原理：由正交原理：得维纳得维纳-霍夫方程组霍夫方程组:0()(1)()()pkd ns nh k x nk0(1)()()()00pkE s nh k x n k x mmp0(1)()

25、()0pxsxxkRmh k Rm kmp 用矩阵形式表示用矩阵形式表示:这里的自相关阵仍是对称且这里的自相关阵仍是对称且ToeplitzToeplitz型的。型的。(1)(0)(1)()(0)(2)(1)(0)(1)(1)(1)()(1)(0)()xsxxxxxxxsxxxxxxxsxxxxxxRRRRphRRRRphRpRpRpRh p LLgMMMML 例例9.79.7 用用p=2p=2的的FIRFIR结构给例结构给例9.59.5设计维纳一设计维纳一 步预测器。步预测器。20()()(1)m=012()()()(0)1 12(1)0.800.8(2)0.64()()(0.8)xxxskx

26、xssnnxxxxxxmxsssh k RmkRmRmRmRmRRRRmRm ，所时：以：此 故得故得:解得：解得：故故(0)0.306;(1)0.087;(2)0.034hhh 20.80.64(0)0.80.820.8(1)0.640.640.82(2)0.512hhh2(1)()()0.306()0.087(1)0.034(2)k os nh k x n kx nx nx n9.7.1 9.7.1 后验维纳滤波后验维纳滤波维纳滤波是以信号和噪声的相关函数或功维纳滤波是以信号和噪声的相关函数或功率谱已有先验知识为前提的。如果这些统计率谱已有先验知识为前提的。如果这些统计特性未知，就需先作出

27、它们的估计，然后再特性未知，就需先作出它们的估计，然后再据以设计维纳滤波器。但是从严格意义上说据以设计维纳滤波器。但是从严格意义上说，这时所得结果并不是真正的维纳滤波器，这时所得结果并不是真正的维纳滤波器，所以称之为后验所以称之为后验“维纳维纳”滤波。滤波。从频域上应用后验维纳滤波的核心问题是由从频域上应用后验维纳滤波的核心问题是由各次观察各次观察x xi i(n)(n)中分解出信号的谱估计中分解出信号的谱估计 和噪声的谱估计和噪声的谱估计 。通常可采用下述步。通常可采用下述步骤：骤：1.1.先对各次观察求均值，设做先对各次观察求均值，设做N N次观察：次观察：式中，式中，s(n)s(n)是确

28、定性的诱发响应，是确定性的诱发响应，n ni i(n(n)是第是第i i次刺激后记录中的噪声。次刺激后记录中的噪声。1,2,iix ns nn niNjsssei ijn nse 则平均诱发响应：则平均诱发响应：然后求然后求 的功率谱。如果的功率谱。如果s(n)s(n)和和n ni i(n(n)统计独立，各次噪声也互相独立，则统计独立，各次噪声也互相独立，则:111()()1()()NiiNiix nxnNs nnnN()x n1()()()jjjxxssnnSeSeSeN2.2.再分别对每一次观察再分别对每一次观察x xi i(n)(n)求功率谱求功率谱:并求这些功率谱的平均值并求这些功率谱

29、的平均值:()()()i ijjjx xssnnSeSeSe11()()()()i iNjjxxx xijjssnnSeSeNSeSe3.3.联立解联立解 1,21,2中最后两式中最后两式，便可求得，便可求得S Sssss(e(ej j)和和S Snnnn(e(ej j)的估计：的估计：()()()1()()()1()()1jjjnnxxxxjjjssxxnnjjxxxxNSeSeSeNSeSeSeNSeSeN 据此，得后验据此，得后验 维纳维纳 滤波器如下：滤波器如下：（i i）用于对单次观察进行滤波：）用于对单次观察进行滤波：（iiii）用于对平均诱发响应）用于对平均诱发响应x(n)x(n

30、)进行滤波：进行滤波：1()()()()jjssjjssnnSeH eSeSe2()()1()()jjssjjssnnSeHeSeSeN许多研究者用这种滤波方法对各种平均诱发许多研究者用这种滤波方法对各种平均诱发响应进行了滤波，但效果报道不一。有的效响应进行了滤波，但效果报道不一。有的效果较好，有的却不甚见效。其原因除了谱估果较好，有的却不甚见效。其原因除了谱估计不是真实值，因此所得得计不是真实值，因此所得得H()只能是近似只能是近似的估计外，还由于的估计外，还由于“维纳维纳”滤波的其它假设滤波的其它假设也未必能满足。其中：也未必能满足。其中：1.过程不是平稳的过程不是平稳的;2.“信号和噪声

31、是相加的信号和噪声是相加的”这一假设是一个有这一假设是一个有用模型，但刺激愈接近阈值不正确；用模型，但刺激愈接近阈值不正确；3.信号与噪声未必统计独立。实际上刺激对作信号与噪声未必统计独立。实际上刺激对作为噪声的自发活动往往也有一些作用。为噪声的自发活动往往也有一些作用。为了改进后验为了改进后验“维纳维纳”滤波的效果。又做滤波的效果。又做出了许多改进方案，介绍如下：出了许多改进方案，介绍如下：1.1.交替集均法交替集均法 此法除按前式求外此法除按前式求外,又按下又按下式计算另一种平均值：式计算另一种平均值：即：即：每当序号每当序号i i 为偶数时，就将观察值取为偶数时，就将观察值取负号，通过这

32、样的负号，通过这样的“相加相加”，S(n)S(n)将被平将被平均掉，因此均掉，因此 的功率谱将只反映噪声：的功率谱将只反映噪声：111()(1)()()Niiix ns nn nN%()x n%便可得便可得 维纳维纳 滤波器。滤波器。这个方法的优点式计算量大为下降：只需要这个方法的优点式计算量大为下降：只需要求两次功率谱求两次功率谱 一次对一次对 ，一次对，一次对 ，而采用前法却需要求而采用前法却需要求N+1N+1次功率谱次功率谱 对每个对每个x xi i(n)(n)求求 ，还要对，还要对 求求 。但理论分。但理论分析可以证明，所得谱估计方差较大是这种方析可以证明，所得谱估计方差较大是这种方法

33、的缺点。法的缺点。1()()()()()jjxxnnjjjssxxxxSeSeNSeSeSe%()x n()x n%()i ijx xSe()x n()jxxS e 2.2.谱平滑：谱平滑：把前面得到的功率谱把前面得到的功率谱 和和 加以平加以平滑，然后再代维纳滤波公式，可以改善滤波滑，然后再代维纳滤波公式，可以改善滤波效果。设施加在效果。设施加在 和和 上的谱窗上的谱窗口分别是口分别是1 1(e(ej j)和和2 2(e(ej j)，则平滑后的谱，则平滑后的谱分别是分别是:()jxxSe()jxxSe12()()()()()()SMjjjxxxxSMjjjxxxxSeW eSeSeW eSe

34、()jxxSe()jxxSe 然后把它们代入维纳滤波公式，得：然后把它们代入维纳滤波公式，得：窗口长度要比较数据长度短，其具体值要窗口长度要比较数据长度短，其具体值要在方差和偏差之间取折中。时窗宽则谱窗在方差和偏差之间取折中。时窗宽则谱窗窄，因此平滑作用小，偏差小，方差大。窄，因此平滑作用小，偏差小，方差大。反之，时窗窄则谱窗宽，平滑作用显著，反之，时窗窄则谱窗宽，平滑作用显著，因此偏差大，方差小。因此偏差大，方差小。()1()11()SMjjxxSMjxxSeNH eNN Se 维纳滤波器得基本假设是信号为随机的，但维纳滤波器得基本假设是信号为随机的，但是实际工作中信号常有些确定性结构，并非

35、是实际工作中信号常有些确定性结构，并非纯粹随机，因此应用效果未必好。因此对它纯粹随机，因此应用效果未必好。因此对它简单应用维纳滤波效果未必好，因为这样处简单应用维纳滤波效果未必好，因为这样处理所得的理所得的 充其量也只是真实充其量也只是真实 S(t)在最在最小均方误差意义下的逼近，不是真实小均方误差意义下的逼近，不是真实S(t)。对这类对这类S(t)是确定性信号的情况，采用互补是确定性信号的情况，采用互补维纳滤波可能是更合理的方案维纳滤波可能是更合理的方案。()s t 以做两次观察为例。如果设计滤波器时，以做两次观察为例。如果设计滤波器时，H H1 1(z)(z)和和H H2 2(z)(z)是

36、分别独立设计的是分别独立设计的,如图如图(a)(a)然然后再把处理结果相加，效果就未必好后再把处理结果相加，效果就未必好.H2(z)H1(z)s(n)+n2(n)s(n)+n1(n)+x(n)()()()a x ns n只是在最小均方误差意义下的逼近图如果设计时多引入一个限制条件，如果设计时多引入一个限制条件，如：如：效果就会好些，效果就会好些，如图如图(b)(b)。()()x ns n（b）中成分不变1-H1(z)H1(z)s(n)+n2(n)s(n)+n1(n)+x(n)x2(n)x1(n)1221()()1()1()H zH zH zH z 因为此时因为此时:111212()()()()

37、()1()()()XzHz S zNzXzHzS zNzH1(z)s(n)+n2(n)s(n)+n1(n)+x(n)+n1(n)-n2(n)可见处理结果中信号可见处理结果中信号s(n)s(n)成分不变。成分不变。H H1 1(z)(z)的任务是把的任务是把n n1 1-n-n2 2变成对变成对n n2 2的最优抵的最优抵消。由于消。由于n n2 2和和n n1 1-n-n2 2都是随机信号都是随机信号,所以应所以应用维纳滤波的效果就比较好。用维纳滤波的效果就比较好。1212121212()()()()()()()()()()()()()()X zX zX zS zN zN z H zN zx

38、ns nn nn nh nn n也就是：9.89.8维纳滤波器的应用维纳滤波器的应用（Application Application of Wiener filterof Wiener filter）要设计维纳滤波器必须知道观测信号和估要设计维纳滤波器必须知道观测信号和估计信号之间的相关函数，即先验知识。如计信号之间的相关函数，即先验知识。如果我们不知道它们之间的相关函数，就必果我们不知道它们之间的相关函数，就必须先对它们的统计特性做估计，然后才能须先对它们的统计特性做估计，然后才能设计出维纳滤波器，这样设计出的滤波器设计出维纳滤波器，这样设计出的滤波器被称为被称为“后验维纳滤波器后验维纳滤波

39、器”。9.8.1.9.8.1.在生物医学信号处理中比较典型的在生物医学信号处理中比较典型的应用就是关于诱发脑电信号的提取。应用就是关于诱发脑电信号的提取。大脑诱发电位（大脑诱发电位（Evoked PotentialEvoked Potential，EPEP）指在外界刺激下，从头皮上记录到的特异指在外界刺激下，从头皮上记录到的特异电位，它反映了外周感觉神经、感觉通路电位，它反映了外周感觉神经、感觉通路及中枢神经系统中相关结构在特定刺激情及中枢神经系统中相关结构在特定刺激情况下的状态反应。在神经学研究以及临床况下的状态反应。在神经学研究以及临床诊断、手术监护中有重要意义。诊断、手术监护中有重要意义

40、。EPEP信号十分微弱，一般都淹没在自发脑电信号十分微弱，一般都淹没在自发脑电（EEGEEG）之中，从）之中，从EEGEEG背景中提取诱发电位一背景中提取诱发电位一直是个难题：直是个难题：EPEP的幅度比自发脑电低一个数的幅度比自发脑电低一个数量级，无法从一次观察中直接得到；量级，无法从一次观察中直接得到；EPEP的频的频谱与自发脑电频谱完全重迭，使得频率滤波谱与自发脑电频谱完全重迭，使得频率滤波失效；在统计上失效；在统计上EPEP是非平稳的、时变的脑诱是非平稳的、时变的脑诱发电位。发电位。通过多次刺激得到的脑电信号进行叠加来提通过多次刺激得到的脑电信号进行叠加来提取取EPEP，这是现今最为广

41、泛使用的，这是现今最为广泛使用的EPEP提取方法。提取方法。为了解决诱发电位提取问题，研究者利用为了解决诱发电位提取问题，研究者利用维纳滤波来提高信噪比，先后有维纳滤波来提高信噪比，先后有WalterWalter、DoyleDoyle、WeerdWeerd等对维纳滤波方法进行了改等对维纳滤波方法进行了改进。在频域应用后验维纳滤波的核心就是进。在频域应用后验维纳滤波的核心就是由各次观察信号中分解出信号的谱估计和由各次观察信号中分解出信号的谱估计和噪声的谱估计，通过设计出的滤波器来提噪声的谱估计，通过设计出的滤波器来提高信噪比。高信噪比。9.8.2.9.8.2.介绍时频平面的维纳滤波介绍时频平面的

42、维纳滤波（timetimefrequency plane wiener frequency plane wiener filteringfiltering，简称，简称TFPWTFPW）在高分辨心）在高分辨心电图（电图（HRECGHRECG）中的应用。）中的应用。1.1.设一共有设一共有N N次观测样本：次观测样本：其中其中S(t)S(t)是周期确定的心电信号；是周期确定的心电信号；W Wi i(t(t)是第是第i i次记录时的噪声，包括肌电、测次记录时的噪声，包括肌电、测量仪器噪声等，假设每次记录的噪声之量仪器噪声等，假设每次记录的噪声之间互不相关；间互不相关；x xi i(t)(t)是观测信

43、号；信号和是观测信号；信号和噪声相互独立。噪声相互独立。对每次观测用短时傅立叶变换求时频表对每次观测用短时傅立叶变换求时频表示（示（TFRTFR）：）：()()(),1,2,iix ts tw t iNL(,)(,)(,)iiX tS tW t 对对N N次观测的时频表示（次观测的时频表示（TFRTFR）求平均：）求平均：样本平均为：样本平均为：样本平均的时频表示（样本平均的时频表示（TFRTFR）为：）为：11(,)(,)(,)(,)NiiiX tX tS tW tN11()()(),1,2,Niix ts tW t iNNL1(,)(,)(,)X tS tW tN 可以得到一个基于样本平均

44、的简单时可以得到一个基于样本平均的简单时-频频平面后验维纳滤波器：平面后验维纳滤波器：(,)(,)1(,)(,)S th tS tW tN.在时频域上对式进行修正，给出更实在时频域上对式进行修正，给出更实际的表示：际的表示：11(,)(,)(,)1(,),(,)1(,)iiNiiNiiX tS tW tCOV S tW tNIFX tN(,)(,)(,)(,),(,)(,)X tS tW tCOV S tW tIF X tIFIF是干扰项；是干扰项；式中式中COVCOV表示信号和噪声之间的互协方表示信号和噪声之间的互协方差，也就是考虑了信号和噪声并非相互差，也就是考虑了信号和噪声并非相互独立；

45、独立；IFIF是干扰项；表示样本平均是干扰项；表示样本平均的噪声功率；表示样本噪声功率的的噪声功率；表示样本噪声功率的平均。平均。(,)W t(,)iW tTFPWTFPW的模拟实验结果的模拟实验结果原信号是线性调频信号，观测信号混有白噪声原信号是线性调频信号，观测信号混有白噪声TFPWTFPW的模拟实验结果的模拟实验结果原信号是正弦波，观测信号混有白噪声原信号是正弦波，观测信号混有白噪声 TFPWTFPW滤波中由于有二次滤波中由于有二次TFRTFR中的相关噪声中的相关噪声以及以及IFIF项，滤波器可能包含虚部，也就是项，滤波器可能包含虚部，也就是包含信号的相位信息，直接在时频平面包含信号的相位信息，直接在时频平面上考虑相位问题还需要进一步研究。上考虑相位问题还需要进一步研究。