1、3.3 幂函数【学习目标】课程标准学科素养1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.2.结合幂函数yx，yx2，yx3，y，yx的图象，掌握它们的性质(重点).3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小(重点).1、数学模型2、数学运算3、直观想象【自主学习】一幂函数的概念一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，是常数.二幂函数的图象幂函数在第一象限内指数变化规律：在第一象限内直线x1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小.三幂函数的性质幂函数yxyx2yx3yxyx1定义域值域奇偶性单调性x0，)， x(，0， x(0，)， x(，0)，
2、 公共点都经过点 性质：(1)所有幂函数在(0，)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)1.(2)如果0，则幂函数在0，)上有意义，且是增函数.(3)如果0，则幂函数在x0处无意义，在(0，)上是减函数.【小试牛刀】思辨解析 (正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yx0(x0)是幂函数()(2)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1)()(3)幂函数的图象都不过第二、四象限()(4)当0时，yx是增函数()【经典例题】题型一幂函数的概念点拨：判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为yx(为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为
3、自变量；(3)系数为1.例1 (1)在函数y，yx2，y2x，y1，y2x2，yx中，是幂函数的是()A B C D(2)若f(x)(m24m4)xm是幂函数，则m_.【跟踪训练】1 若幂函数f(x)满足f(9)3，则f(100)_.题型二幂函数的图象及性质点拨：解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在x(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在x(1，)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于yx1或y或yx3)来判断.例2 已知幂
4、函数f(x)x的图象过点P，（1） 画出f(x)的图象。（2） 指出该函数的定义域与单调区间（3） 判断奇偶性。【跟踪训练】2 如图所示，图中的曲线是幂函数yxn在第一象限的图象，已知n取2，四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为()A.2，2 B.2，2C.，2，2， D.2，2，题型三利用幂函数的性质比较大小比较幂值大小的方法：(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数(2)若指数不同，底数相同，则考虑借助图象求解(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小例3 比较下列
5、各组数的大小.(1)1.5，1.7，1；(2)3.8，3.9；(3)31.4 51.5.【跟踪训练】3 设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a、b、c的大小关系是 ()AabcBacbCbacDbca例4 若，求实数m的范围.注意：构造幂函数，利用幂函数的单调性比较大小【跟踪训练】4 已知幂函数f(x)x，若f(a1)f(102a)，则a的取值范围是_【当堂达标】1.(多选)下列函数是幂函数的是()Ay5x Byx5 CyDy(x1)32.设a20.3，b30.2，c70.1，则a，b，c的大小关系为()Acab Bacb Cabc Dcba3.如图是幂函数yxm与yxn在第一
6、象限内的图象，则()A1n0m1 Bn1,0m1C1n1 Dn14.已知幂函数yf(x)的图象经过点，则f(2) 。5.比较下列各组数的大小：(1)3和3.1；(2)8和()；(3)()和()；6.已知幂函数yx3m9(mN*)的图象关于y轴对称，且在区间(0，)上是减函数，求f(x)的解析式【课堂小结】1.幂函数yx的底数是自变量，指数是常数2.幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小3.简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)1.(2
7、)如果0，幂函数在0，)上有意义，且是增函数(3)如果0时，n越大，yxn递增速度越快，故C1的n2，C2的n；当n1，(1.8)0，所以3.9 3.8(1.8).(3)根据幂函数和指数函数的单调性，得31.431.551.5，所以31.451.5.【跟踪训练】3 C0.6(0,1)，y0.6x是减函数，0.60.60.61.5，又yx0.6在(0，)是增函数，1.50.60.60.6，cab，故选C.例4 解因为yx在定义域0，)上是增函数，所以解得1m0)，易知f(x)在(0，)上为减函数，又f(a1)f(102a)，解得3a5.【当堂达标】1. B C解析：函数y5x是指数函数，不是幂函
8、数；函数y(x1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数yx5是幂函数2.A 解析：a20.380.1，b30.290.1，c70.1，由幂函数yx0.1在(0，)上单调递增，可知cab.B 4. 解析显然函数定义域为R，且满足“f(x)f(x)”，说明函数是奇函数.又由当0xx，当x1时，xx.故选B.3.B 解析：在(0,1)内取x0，作直线xx0，与各图象有交点，则“点低指数大”所以0m1，n1.4. 解析：设幂函数为yx，幂函数的图象经过点，4，yx，f(2)2。5. 解： (1)函数yx在(0，)上为减函数，又33.1.(2)8()，函数yx在(0，)上为增函数，又，则()()，从而8，所以()()，即.6.解 幂函数yx3m9在(0，)上是减函数，3m90，即m3.又mN*，m1,2.又y33m9的图象关于y轴对称，即该函数是偶函数，3m9是偶数m1.f(x)x6.
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