8.6.3 平面与平面垂直的判定1课时（解析版）.docx

1、 8.6.3平面与平面垂直的判定导学案编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波【学习目标】1.理解二面角及其平面角的定义并会求一些简单二面角的大小2.理解两平面垂直的定义3.掌握两个平面垂直的判定定理并能应用判定定理证明面面垂直问题【自主学习】知识点1二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形(2)相关概念：这条直线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面(3)画法：(4)记法：二面角l或AB或PlQ或PABQ.(5)二面角的平面角：若有Ol；OA，OB；OAl，OBl，则二面角l的平面角是AOB.知识点2平面与平面垂直(1)平面与平面垂直定义：一般地，两个平面相交，如果

2、它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直画法：记作：.(2)判定定理文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形语言符号语言l，l【合作探究】探究一 二面角的概念及求法【例1】如图，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，且PAAB.(1)求二面角APDC平面角的度数；(2)求二面角BPAD平面角的度数；(3)求二面角BPAC平面角的度数分析(1)证明平面PAD平面PCD；(2)，(3)先找出二面角的平面角，再证明该角满足平面角的定义，最后在三角形中求角的大小解(1)PA平面ABCD，PACD.又四边形ABCD为正方形，CDAD.PAADA，CD平面PAD.又CD平面P

3、CD，平面PAD平面PCD.二面角APDC平面角的度数为90.(2)PA平面ABCD，ABPA，ADPA.BAD为二面角BPAD的平面角又由题意知BAD90，二面角BPAD平面角的度数为90.(3)PA平面ABCD，ABPA，ACPA.BAC为二面角BPAC的平面角又四边形ABCD为正方形，BAC45，即二面角BPAC平面角的度数为45.归纳总结：清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点.求二面角的大小的方法为：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作

4、”【练习1】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求二面角BA1C1B1的正切值解：如图，取A1C1的中点O，连接B1O、BO.由题意知B1OA1C1，又BA1BC1，O为A1C1的中点，所以BOA1C1，所以BOB1即是二面角BA1C1B1的平面角因为BB1平面A1B1C1D1，OB1平面A1B1C1D1，所以BB1OB1.设正方体的棱长为a，则OB1a.在RtBB1O中，tanBOB1，所以二面角BA1C1B1的正切值为.探究二 平面与平面垂直的判定【例2】如图所示，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ABAD，CDAD.求证：平面PDC平面PAD.证明PA平

5、面ABCD，CD平面ABCD，PACD.又CDAD，PAADA，CD平面PAD.又CD平面PDC，平面PDC平面PAD.归纳总结：判定两平面垂直的常用方法：(1)定义法：即说明两个平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理法：其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面【练习2】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA12，AB4，E为AB的中点求证：平面DD1E平面CD1E.证明：在矩形ABCD中，E为AB的中点，AD2，AB4，所以DECE2，因为CD4，所以CEDE，因

6、为D1D平面ABCD，所以D1DCE，因为D1DDED，所以CE平面D1DE，又CE平面CED1，所以平面DD1E平面CD1E.探究三 线面垂直、面面垂直的综合应用【例3】如图所示，已知三棱锥PABC，ACB90，CB4，AB20，D为AB的中点，且PDB是正三角形，PAPC.(1)求证：平面PAC平面ABC；(2)求二面角DAPC的正弦值；(3)若M为PB的中点，求三棱锥MBCD的体积分析本题的题设条件有三个：ABC是直角三角形，BCAC；PDB是正三角形；D是AB的中点，PDDB10.解答本题(1)，只需证线面垂直，进而由线面垂直证明面面垂直，对于(2)首先应找出二面角的平面角，然后求其正

7、弦值，解答(3)小题的关键是用等体积法求解解(1)证明：D是AB的中点，PDB是正三角形，AB20，PDAB10，PAB为直角三角形且APB90，APPB.又APPC，PBPCP，AP平面PBC.又BC平面PBC，APBC.又ACBC，APACA，BC平面PAC.又BC平面ABC，平面PAC平面ABC.(2)PAPC，且PAPB，BPC是二面角DAPC的平面角由(1)知BC平面PAC，则BCPC，sinBPC.(3)D为AB的中点，M为PB的中点，DMPA，故DM5，由(1)知PA平面PBC，DM平面PBC.SBCMSPBC2，VMBCDVDBCM5210.归纳总结：本题是涉及线面垂直、面面垂

8、直、二面角的求法等诸多知识点的一道综合题，解决这类问题的关键是转化：线线垂直线面垂直面面垂直【练习3】如图，在三棱锥PABC中，PC平面ABC，ABBC，D，E分别是AB，PB的中点(1)求证：DE平面PAC；(2)求证：ABPB；(3)若PCBC，求二面角PABC的大小解：(1)证明：因为D，E分别是AB，PB的中点，所以DEPA.又因为PA平面PAC，DE平面PAC，所以DE平面PAC.(2)证明：因为PC平面ABC，AB平面ABC，所以PCAB.又因为ABBC，PCBCC，所以AB平面PBC，又因为PB平面PBC，所以ABPB.(3)由(2)知，ABPB，ABBC，所以PBC即为二面角P

9、ABC的平面角，因为PCBC，PCB90，所以PBC45，所以二面角PABC的大小为45.课后作业A组 基础题一、选择题1下列不能确定两个平面垂直的是()A两个平面相交，所成二面角是直二面角B一个平面垂直于另一个平面内的一条直线C一个平面经过另一个平面的一条垂线D平面内的直线a垂直于平面内的直线b【答案】D解析如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直2关于直线a，b以及平面M，N，下列命题中正确的是()A若aM，bM，则abB若bM，ab，则aMC若bM，ab，则aMD若aM，a

10、N，则MN【答案】D解析A中，当直线a，b都在一个平面上相交，且这个平面与M平行，可推断出A不一定成立；B中，可能存在aM的情况，故B的结论不一定成立；C中，可能存在aM的情况，故C项错误；D中，若aM，aN，由面面垂直的判定定理可知MN，故D项中说法正确3如图所示，在四面体DABC中，若ABBC，ADCD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BDCC平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE【答案】C解析因为ABBC，且E是AC的中点，所以BEAC.同理，DEAC.又BEDEE，所以AC平面BDE.因为

11、AC平面ABC，所以平面ABC平面BDE.因为AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE.4如图所示，在ABC中，ADBC，ABD的面积是ACD的面积的2倍沿AD将ABC翻折，使翻折后BC平面ACD，此时二面角BADC的大小为()A30 B45C60 D90【答案】C解析由已知得BD2CD.翻折后，在RtBCD中，BDC60，而ADBD，CDAD，故BDC是二面角BADC的平面角，其大小为60.5如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面ABC，点 C是圆上的任意一点，图中互相垂直平面的对数为()A4 B3 C2 D1【答案】B解析PA圆O所在平面ABC，平面PAB平面ABC，同理可得：平面

12、PAC平面ABC，AB是圆O的直径，BCAC，又PA圆O所在平面ABC，BC平面ABC，PABC.又PAACA，PA，AC平面PAC.BC平面PAC.又BC平面PBC，平面PBC平面PAC.综上相互垂直的平面共有3对6过两点与一个已知平面垂直的平面()A有且只有一个 B有无数个C有且只有一个或无数个 D可能不存在【答案】C解析设两点为A，B，平面为，若直线AB，则过A、B与垂直的平面有无数个；若直线AB与不垂直，即直线AB与平行、相交或在平面内，均存在唯一平面垂直于已知平面7在正四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是()ABC平面PDF BDF平面P

13、AEC平面PDF平面ABC D平面PAE平面ABC【答案】C解析如图所示，BCDF，BC平面PDF，A正确由BCPE，BCAE，得BC平面PAE，DF平面PAE，B正确平面ABC平面PAE(BC平面PAE)，D正确8如图所示，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论正确的是()APBADB平面PAB平面PBCC直线BC平面PAED直线PD与平面ABC所成的角为45【答案】D解析PA平面ABC，ADP是直线PD与平面ABC所成的角六边形ABCDEF是正六边形，AD2AB，即tanADP1，直线PD与平面ABC所成的角为45.故选D.二、填空题9已知，是两个

14、不同的平面，l是平面与之外的直线，给出下列三个论断：l，l，.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_.(用序号表示)【答案】解析由l可在平面内作ll，又l，l，l，故.10下列结论中，所有正确结论的序号是_两个相交平面形成的图形叫做二面角；异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系【答案】解析由二面角及二面角的平面角的定义知不正确，正确；中所成的角虽不是二面角的平面角，但由平面几何的知识易

15、知正确11如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，BC2，AA11，E，F分别在AD和BC上，且EFAB，若二面角C1EFC等于45，则BF_.【答案】1解析由题意知EFBC.CC1平面ABCD，CC1EF，又BCCC1C，EF平面CC1F，EFC1F.故C1FC为二面角C1EFC的平面角，即C1FC45，AA11，CF1，又BC2，BF1.12如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)【答案】DMPC(或BMPC等)解析由定理可知，BDPC.当DMPC(或BMPC)

16、时，即有PC平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.三、解答题13如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，E为BB1的中点，求证：截面A1CE侧面ACC1A1.证明如图所示，取A1C的中点F，AC的中点G，连接FG，EF，BG，则FGAA1，且GFAA1.因为BEEB1，A1B1CB，A1B1ECBE90，所以A1B1ECBE，所以A1ECE.因为F为A1C的中点，所以EFA1C.又FGAA1BE，GFAA1BE，且BEBG，所以四边形BEFG是矩形，所以EFFG.因为A1CFGF，所以EF侧面ACC1A1.又因为EF平面A1CE，所以截面A1CE侧面ACC1A1.14如图，四棱

17、锥PABCD的底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，AC，BD交于点E，F是PB的中点求证：(1)EF平面PCD；(2)平面PBD平面PAC.证明(1)四边形ABCD是正方形，E是BD的中点又F是PB的中点，EFPD.又EF平面PCD，PD平面PCD，EF平面PCD.(2)四边形ABCD是正方形，BDAC.PA平面ABC，PABD.又PAACA，BD平面PAC.又BD平面PBD，平面PBD平面PAC.15如图，在四面体ABCD中，BDa，ABADCBCDACa，求证：平面ABD平面BCD.证明：如图，取BD的中点E，连接AE，CE.由ABADCBCD，知AEBD，CEBD，所以AEC为二面角

18、ABDC的平面角在ABE中，ABa，BEBDa，所以AE2AB2BE2a2，同理CE2a2，所以AE2CE2a2AC2，所以AEC90.所以平面ABD平面BCD.B组 能力提升一、选择题1若P是等边三角形ABC所在平面外一点，且PAPBPC，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下列结论中不正确的是()ABC平面PDF BDF平面PAEC平面PAE平面ABC D平面PDF平面ABC【答案】D解析：P是等边三角形ABC所在平面外一点，且PAPBPC，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，DFBC，又DF平面PDF，BC平面PDF，BC平面PDF，故A正确PAPBPC，ABC为等边三角形，E

19、是BC中点，PEBC，AEBC.PEAEE，BC平面PAE.DFBC，DF平面PAE，故B正确BC平面PAE，BC平面ABC，平面PAE平面ABC，故C正确设AEDFO，连接PO.O不是等边三角形ABC的重心，PO与平面ABC不垂直，平面PDF与平面ABC不垂直，故D错误2在二面角l中，A，AB平面于B，BC平面于C，若AB6，BC3，则二面角l的平面角的大小为()A30 B60C30或150 D60或120【答案】D解析：如图，AB，ABl，BC，BCl，l平面ABC.设平面ABClD，则ADB为二面角l的平面角(或其补角)，AB6，BC3，BAC30，ADB60，二面角大小为60或120.

20、二、填空题3.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上一动点当点M满足 时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)【答案】DMPC(或BMPC等)解析：如图，连接AC，则BDAC.由PA平面ABCD，可知BDPA，所以BD平面PAC，所以BDPC，所以当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD.而PC平面PCD，所以平面MBD平面PCD.三、解答题4.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PDa，PAPCa，(1)求证：PD平面ABCD；(2)求证：平面PAC平面PBD；(3)求二面角PACD的正切值解：(1)

21、证明：PDa，DCa，PCa，PC2PD2DC2，PDDC.同理可证PDAD，又ADDCD，PD平面ABCD.(2)证明：由(1)知PD平面ABCD，PDAC，而四边形ABCD是正方形，ACBD，又BDPDD，AC平面PDB.又AC平面PAC，平面PAC平面PBD.(3)设ACBDO，如图，连接PO.由PAPC，知POAC.又由DOAC，故POD为二面角PACD的平面角易知ODa.在RtPDO中，tanPOD.5如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E在棱AB上移动(1)证明：D1EA1D；(2)求AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为45？(1)证明连接D1A，D1B.在长方形A1ADD1中，ADAA11，四边形A1ADD1为正方形，A1DAD1.又由题意知ABA1D，且ABAD1A，A1D平面ABD1.D1E平面ABD1，A1DD1E.(2)解过D作DFEC于点F，连接D1F.D1D平面DB，EC平面DB，D1DEC.又DFD1DD，EC平面D1DF.D1F平面D1DF，ECD1F，DFD1为二面角D1ECD的平面角，DFD145，又D1DF90，D1D1，DF1.在RtDFC中，DC2，DCF30，ECB60.在RtEBC中，BC1，EB，AE2.