6.2.1 平面向量的加法运算（解析版）.docx

1、 6.2.1平面向量的加法运算导学案编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波【学习目标】1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性【自主学习】知识点1 向量的加法法则(1)三角形法则如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作a，b，则向量叫做a与b的和(或和向量)，记作ab，即ab.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的三角形法则21世纪*对于零向量与任一向量a的和有a00aa.(2

2、)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a，b，作a，b，则O、A、B三点不共线，以OA，OB为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线上的向量ab，这个法则叫做两个向量加法的平行四边形法则www-2-1-cnjy-com知识点2 向量加法的运算律(1)交换律：abba.(2)结合律：(ab)ca(bc)【合作探究】探究一 向量的加法法则【例1】如图，已知向量a、b，求作向量ab.解在平面内任取一点O(如下图)，作a，b，以OA、OB为邻边做OACB，连接OC，则ab.2归纳总结：已知向量a与向量b，要作出和向量ab，关键是准确规范地依据平行四边形法则作图【练习1】(1)如图所示，求作向量和

3、ab.(2)如图所示，求作向量和abc.解(1)首先作向量a，然后作向量b，则向量ab.如图所示 (2)方法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量a，再作向量b，则得向量ab，然后作向量c，则向量(ab)cabc即为所求方法二(平行四边形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量a，b，c，以OA，OB为邻边作OADB，连接OD，则ab，再以OD，OC为邻边作ODEC，连接OE，则abc即为所求探究二 向量的加法运算【例2-1】如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点(1)_；(2)_；(3)_；(4)_.答案(1)(2)(3)(4)0【例2-2】化简：(1

4、)； (2)； (3).解(1).(2)()0.(3)0.归纳总结：在向量的加法运算中，通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过加法的结合律调整向量相加的顺序，可以省去画图步骤，加快解题速度.【练习2-1】(1)化简：；.(2)如图，已知O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：； ； .分析根据加法的交换律使各向量首尾相接，再运用向量的结合律，调整向量顺序相加解(1)；0.(2)由题图知，OAFE为平行四边形，；由题图知，OABC为平行四边形，；由题图知，AEDB为平行四边形，.【练习2-1】化简：(1). (2)()() (3)().解(1).(2)()()()().(3)()0

5、.探究三 向量加法的应用【例3】用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形证明如图，根据向量加法的三角形法则有，.又，.ABDC且ABDC，即AB与DC平行且相等四边形ABCD是平行四边形归纳总结：要证四边形是平行四边形，只需证一组对边平行且相等.根据向量相等的意义，只需证其一组对边对应的向量相等即可.此问题是纯文字叙述的问题，首先应转化为符号语言描述.【练习3】在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上，分别取点F，E，使BEDF(如图)，用向量的方法证明四边形AECF也是平行四边形证明：，又，即AE，FC平行且相等故四边形AECF是平行四边形探究四 向量加法的实际应用【例

6、4】长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5 km/h.(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度方向间的夹角表示)解 (1)如图所示，表示船速，表示江水速度易知ADAB，以AD，AB为邻边作矩形ABCD，则表示船实际航行速度(2)在RtABC中，|5，|5，所以|10.因为tanCAB，所以CAB60.因此，船实际航行的速度大小为10 km/h，方向与江水速度方向间的夹角为60.归纳总结：向量应用题要首先画出图形.解决的步

7、骤是：(1)将应用问题中的量抽象成向量；(2)化归为向量问题，进行向量运算；(3)将向量问题还原为实际问题.【练习4】某人在静水中游泳，速度为4千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？解：如图，设此人的实际速度为，水流速度为，游速为，则，在RtAOD中，|4，|4，则|4，cosDAO.故此人沿向量的方向游(即逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为)，实际前进的速度大小为4千米/小时课后作业A组 基础题一、选择题1在四边形ABCD中，则( )AABCD一定是矩形 BABCD一定是菱形CABCD一定是正方形 DABCD

8、一定是平行四边形答案D解析：由知，由A，B，C，D构成的四边形一定是平行四边形2下列等式不成立的是( )A0aaBabbaC.2 D.答案C解析：对于C，与方向相反，0.3已知向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向南航行1 km”，则ab表示()A向东南航行 km B向东南航行2 kmC向东北航行 km D向东北航行2 km答案A4如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是()A.，B.C.D.答案C5a，b为非零向量，且|ab|a|b|，则()Aab，且a与b方向相同Ba，b是共线向量且方向相反CabDa，b无论什么关系均可答案A6.如图所示，在平行四边形ABC

9、D中，等于()A. B.C. D.答案C解析()0.7已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且20，那么()A. B.2C.3 D2答案A解析2，220.8如图，D、E、F分别是ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是()A.0B.0C.D.答案D解析0，0，0.故选D.9设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于()21A. B2 C3 D4答案D解析因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以点M是AC和BD的中点，由平行四边形法则知2，2，故4.二、填空题10在平行四边形ABCD中，_.答案0解析注意0，0.11设E是

10、平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式：(1)_；(2)_；(3)_；(4)_.答案(1)(2)0(3)(4)12设|a|8，|b|12，则|ab|的最大值与最小值分别为_答案20,4解析当a与b共线同向时，|ab|max20；当a与b共线反向时，|ab|min4.三、解答题13.如图所示，P，Q是ABC的边BC上两点，且BPQC.求证：.证明，.又BPQC且与方向相反，0，即.14一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30角，求水流速度和船实际速度解如图所示，表示水流速度，表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，表示船实际航行的速度，AOC30，|5

11、.21-cn-四边形OACB为矩形，|5，|10，水流速度大小为5 km/h，船实际速度为10 km/h.B组 能力提升一、选择题1.如图所示,在正六边形ABCDEF中,若AB=1,则|AB+FE+CD|=()A.1B.2C.3D.23解析由题,可知FE=BC,所以|AB+FE+CD|=|AB+BC+CD|=|AD|=2.故选B.答案B2.如图所示,点O是正六边形的中心,则( )A.B.0C.D.答案：A解析：,故选A.3.若在中,且,则的形状是( )A.等边三角形B.锐角三角形C.斜三角形D.等腰直角三角形答案：D解析：如图,为等腰直角三角形.二、填空题4.化简:(AB+MB)+(BO+BC

12、)+OM=.答案AC解析：(AB+MB)+(BO+BC)+OM=(AB+BC)+MB+(BO+OM)=AC+MB+BM=AC+(MB+BM)=AC+0=AC.5.如图,在ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE延长线上一点,DEBC,ABCF,连接CD,那么(在横线上只填一个向量):(1)AB+DF=;(2)AD+FC=;(3)AD+BC+FC=.答案ACABAC解析：如图,因为四边形DFCB为平行四边形,由向量加法的运算法则得:(1)AB+DF=AB+BC=AC.(2)AD+FC=AD+DB=AB.(3)AD+BC+FC=AD+DF+FC=AC.6已知点G是ABC的重心，则_.答

13、案0解析如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到D点，使GEED，则，0，0.7.已知向量的夹角为,则_.答案：解析：,所以.三、解答题8.已知|OA|=|a|=3,|OB|=|b|=3,AOB=60,求|a+b|.解如图所示,因为|OA|=|OB|=3,AOB=60,所以四边形OACB为菱形,连接OC,AB,则OCAB,设垂足为D.因为AOB=60,所以AB=|OA|=3.所以在RtAOD中,OD=332.所以|a+b|=|OC|=3322=33.9.设O是ABC内任一点，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点证明：.证明如图所示，因为，所以.因为D，E，F分别为各边的中点，所以()0.所以.10.在四川512大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60方向飞行了40 km到B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置解如图所示，设、分别是直升飞机两次位移，则表示两次位移的合位移，即，在RtABD中，|20 km，|20 km，在RtACD中，| 40 km，CAD60，即此时直升飞机位于A地北偏东30，且距离A地40 km处