8.6.3 平面与平面垂直的性质2课时（解析版）.docx

1、 8.6.3平面与平面垂直的性质导学案编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波【学习目标】1.记住平面与平面垂直的性质定理，并能应用定理解决有关问题2.能综合运用直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定和性质解决有关问题【自主学习】知识点1 平面与平面垂直的性质定理1文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直2符号语言：a.3图形语言：【合作探究】探究一 面面垂直性质定理的应用【例1】如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是DAB60的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.若G为AD边的中点，

2、求证：BG平面PAD.分析解答本题可先由面面垂直依据面面垂直的性质定理得线面垂直证明连接BD，四边形ABCD是菱形且DAB60，ABD是正三角形G是AD的中点，BGAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BG平面PAD.归纳总结：证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线【练习1】如图，在四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，BC平面PAD

3、，PBC90，PBA90.求证：(1)AD平面PBC；(2)平面PBC平面PAB.证明：(1)因为BC平面PAD，而BC平面ABCD，平面ABCD平面PADAD，所以BCAD.因为AD平面PBC，BC平面PBC，所以AD平面PBC.(2)如图，自P点作PHAB于H，因为平面PAB平面ABCD，且平面PAB平面ABCDAB，所以PH平面ABCD.因为BC平面ABCD，所以BCPH.因为PBC90，所以BCPB，而PBA90，于是点H与B不重合，即PBPHP.因为PB，PH平面PAB，所以BC平面PAB.因为BC平面PBC，故平面PBC平面PAB.探究二 垂直关系的综合应用【例2】如图，在四棱锥P

4、ABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD平面ABCD，PAAD，E和F分别为CD和PC的中点，求证：(1)PA平面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.证明(1)因为平面PAD平面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA平面ABCD.(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以四边形ABED为平行四边形所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，而且四边形ABED为平行四边形所以BECD，ADCD，由(1)知PA平面ABCD.所以PACD.又ADPAA，所以CD平面

5、PAD.所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF.所以CDEF.又EFBEE，所以CD平面BEF.又CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD.归纳总结：掌握线线、线面、面面垂直的性质和判定是三种垂直相互转化的关键.由线面垂直可知线与面内任何一条直线都垂直；由线面垂直亦可得到面面垂直(面面垂直的判定).因此说线面垂直是线线垂直和面面垂直的枢纽【练习2】如图所示，四棱锥PABCD的底面是一个直角梯形，ABCD，BAAD，CD2AB，PA平面ABCD，E是PC的中点，则平面EBD能垂直于平面ABCD吗？请说明理由解：平面EBD不能垂直于平面ABCD.理由如下：假设平面EBD垂直于

6、平面ABCD，过E作EOBD于O，连接AO、CO.EO平面EBD，EOBD，平面EBD平面ABCDBD，EO平面ABCD.又PA平面ABCD，EOPA.A、O、C是PC上三点P、E、C在平面ABCD上的投影，P、E、C三点的投影均在直线AC上，A、O、C三点共线又E是PC的中点，O是AC的中点又ABCD，ABOCDO.又AOOC，ABCD，这与CD2AB矛盾，假设不成立故平面EBD不能垂直于平面ABCD.课后作业A组 基础题一、选择题1已知直线m，n和平面，若，m，n，要使n，则应增加的条件是 ()Amn BnmCn Dn【答案】B解析：由面面垂直的性质定理知，要使n，应有n与交线m垂直，应增

7、加条件nm.2下列命题中错误的是()A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面【答案】D解析：由平面与平面垂直的有关性质可以判断出D项错误3.如图所示，三棱锥PABC中，平面ABC平面PAB，PAPB，ADDB，则()APD平面ABCBPD平面ABCCPD与平面ABC相交但不垂直DPD平面ABC【答案】B解析：PAPB，ADDB，PDAB.又平面ABC平面PAB，平面ABC平面PABAB，PD平面ABC.4如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，B

8、AC90，BC1AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在()A直线AB上B直线BC上C直线AC上DABC内部【答案】A解析：连接AC1，如图所示，BAC90，ABAC.BC1AC，ABBC1B，AC平面ABC1.又AC平面ABC，平面ABC1平面ABC，又平面ABC1平面ABCAB，点C1在底面ABC上的射影点H必在AB上故选A.5如图，平面平面，A，B，AB与两平面、所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A、B，则AB：AB等于()A2：1B3：1 C3：2D4：3【答案】A解析：由已知条件可知BAB，ABA，设AB2a，则BB2asina，AB2acosa，在RtBBA中

9、，得ABa，AB：AB2：1.6.(多选)如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABC90，AD：BC：AB2：3：4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出四个结论，在翻折过程中，可能成立的结论的为()ADFBCBBDFCC平面DBF平面BFCD平面DCF平面BFC【答案】BC解析：如图，因为BCAD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，则A错误；设点D在平面BCF上的射影为点P，当BPCF时，有BDFC，而ADBCAB234，可使条件满足，所以B正确；当点P落在BF上时，DP平面BDF，从而平面BDF平面BFC，所以C正确；因为点D的投影不可能在FC上，

10、所以平面DCF平面BFC不成立，即D错误二、填空题7如图，把RtABC沿斜边上的高CD折起，使平面ADC平面BDC，如图所示，互相垂直的平面有 对，其中1对是 【答案】3 平面ADC与平面BDC(【答案】不唯一)解析：由已知得CDAB，所以平面ADC平面ABD，平面ADB平面BDC，又因为平面ADC平面BDC，综上可知，互相垂直的平面有3对8已知直二面角l，点A，ACl，C为垂足，B，BDl，D为垂足，若AB2，ACBD1，则CD的长为 .【答案】解析：如图，连接BC，二面角l为直二面角，AC，且ACl，AC，又BC，ACBC，BC2AB2AC23，又BDCD，CD.9如图，若边长为4和3与边

11、长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cos：cos .【答案】：2解析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5,2，所以cos，cos，所以cos：cos：2.三、解答题10.把一副三角板如图拼接，设BC6，BAC90，ABAC，BCD90，D60，使两块三角板所在的平面互相垂直求证：平面ABD平面ACD.证明：平面ABC平面BCD，CDBC，CD平面ABC.又AB平面ABC，CDAB，又ABAC，CDACC，AB平面ACD.又AB平面ABD，平面ABD平面ACD.11.如图，在三棱锥PABC中，E，F分别为AC，BC的中点(1)求证：EF平面PAB；(2)若平面PAC平面ABC，且PAPC

12、，ABC90.求证：平面PEF平面PBC.证明：(1)E，F分别为AC，BC的中点，EFAB.又EF平面PAB，AB平面PAB，EF平面PAB.(2)PAPC，E为AC的中点，PEAC.又平面PAC平面ABC，PE平面ABC，PEBC.又F为BC的中点，EFAB.ABC90，BCEF.EFPEE，BC平面PEF.又BC平面PBC，平面PBC平面PEF.B组 能力提升一、选择题1如图，在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDC

13、C平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC【答案】D解析如图，在平面图形中CDBD，折起后仍然满足CDBD.由于平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，故CD平面ABD，CDAB.又ABAD，故AB平面ADC，所以平面ADC平面ABC.2如图所示，三棱锥PABC的底面在平面内，PB平面，且ACPC，平面PAC平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是()A一条线段B一条直线C一个圆D一个圆，但要去掉两个点【答案】D解析：平面PAC平面PBC，ACPC，平面PAC平面PBCPC，AC平面PAC，AC平面PBC.又BC平面PBC，ACBC.ACB90.动点C的轨迹是以AB为直径的圆

14、，除去A和B两点3如图，在四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，则下列结论正确的是()AACBDBBAC90CCA与平面ABD所成的角为30D四面体ABCD的体积为【答案】B解析：取BD的中点O，连接AO，OC，ABAD，AOBD，又平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AO平面BCD，CDBD，OC不垂直于BD.假设ACBD，又ACAOA，BD平面AOC，BDOC与OC不垂直于BD矛盾，AC不垂直于BD，A错误CDBD，平面ABD平面BCD，CD平面ABD，CDAD，AC，AB1，BC，AB2AC2

15、BC2，ABAC，B正确CAD为直线CA与平面ABD所成的角，CAD45，C错误VABCDSABDCD，D错误，故选B.二、填空题4如图所示，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点有以下四个命题：PA平面MOB；MO平面PAC；OC平面PAC；平面PAC平面PBC.其中正确的命题是_(填上所有正确命题的序号)【答案】解析因为PA平面MOB，所以不正确；因为MOPA，而且MO平面PAC，所以正确；OC不垂直于AC，所以不正确；因为BCAC，BCPA，ACPAA，所以BC平面PAC，所以平面PAC平面PBC，所以正确5m、n是两条不同的直

16、线，、是三个不同的平面，给出如下命题：若，m，n，nm，则n；若，则；若，且n，nm，则m；，m，m，则m；若，m，则m.其中正确命题的序号为 .【答案】解析：根据平面与平面垂直的性质定理知正确；中，、可能平行，也可能相交，不正确；中，m还可能在内或m，或m与斜交，不正确；中，m，m时，有m，正确；中，m与的位置关系可能是m或m或m与相交，不正确三、解答题6如图，已知PA平面ABC，ADPB，垂足为D，AEPC，垂足为E，ABC90.(1)证明：平面ADE平面PAC.(2)作出平面ADE与平面ABC的交线l，并证明EAC是二面角ElC的平面角(在图中体现作图过程不必写出画法)解：(1)证明：在

17、三棱锥PABC中，BCAB，BCPA，ABPAA，所以BC平面PAB，又AD平面PAB，所以BCAD，又ADPB，PBBCB，所以AD平面PBC，又PC平面PBC，所以PCAD，因为AEPC且AEADA，所以PC平面ADE，因为PC平面PAC，所以平面ADE平面PAC.(2)作图(如图)在平面PBC中，记DEBCF，连接AF，则AF为所求的l，证明如下：因为PC平面AED，l平面ADE，所以PCl，因为PA平面ABC，l平面ABC，所以PAl，又PAPCP，所以l平面PAC，又AE平面PAC且AC平面PAC，所以AEl，ACl，所以EAC就是二面角ElC的一个平面角7如图所示，在四棱锥PABC

18、D中，底面ABCD是DAB60且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：ADPB；(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD？并证明你的结论(1)证明如图，设G为AD的中点，连接BG，PG，因为PAD为正三角形，所以PGAD.在菱形ABCD中，DAB60，G为AD的中点，所以BGAD.又BGPGG，所以AD平面PGB.因为PB平面PGB，所以ADPB.(2)解当F为PC的中点时，平面DEF平面ABCD.证明如下：在PBC中，因为F是PC的中点，E是BC的中点，所以EFPB.在菱形ABCD中，GBDE，而FE平面DEF，DE平面DEF，EFDEE，所以平面DEF平面PGB，由(1)得PG平面ABCD，而PG平面PGB，所以平面PGB平面ABCD，所以平面DEF平面ABCD.