1、10.1 10.1 随机事件的概率随机事件的概率10.1.1有限样本空间现随机事件本资料分享自高中数学同步资源大全QQ群483122854 专注收集同步资源期待你的加入与分享联系QQ309000116加入百度网盘群2500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸讲课人：邢启强2概率论的产生和发展 概率论产生于十七世纪，本来是由保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论问题的源泉。传说早在1654年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。赌了半天，A赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，他们都不
2、想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分才理？帕斯卡是17世纪著名的数学家 但这个问题却让他苦苦思索了三年，三年后也就是1657年，荷兰著名的数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了论赌博中的计算一书，这就是概率论最早的一部著作。近几十年来，随着科技的蓬勃发展概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域。许多兴起的应用数学，如信息论、对策论、排队论、控制论等，都是以概率论作为基础的。在初中，我们已经初步了解了随机事件的概念，并学习了在试验结果等可能的情形下求简单随机事件的概率.本节我们将进一步研究随机事件及其概率的计算，探究随机事件概率的性质.新课引入新课引入讲课人：邢启强3我们把对随机现
3、象的实现和对它的观察称为随机试验（random experiment),简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：(1)试验可以在相同条件下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.研究某种随机现象的规律，首先要观察它所有可能的基本结果.例如，将一枚硬币抛掷2次，观察正面、反面出现的情况；从班级随机选择10名学生，观察近视的人数；在一批灯管中任意抽取一只，测试它的寿命；从一批发芽的水稻种子中随机选取一些，观察分囊数；记录某地区7月份的降雨量；等等.学习新知学习新知随机现象普遍
4、存在，有的简单有的复杂，有的只有有限个可能结果，有的有无穷个可能结果；这里的无穷又分为两种，即可列无穷和不可列无穷，例如，对掷硬币试验，等待首次出现正面朝上所需的试验次数，具有可列无穷个可能结果；而预测某地7月份的的降水量，可能结果则充满某个区间，其可能结果不能一一列举，即有不可列无穷个可能结果.所以，常见的概率模型有两类，即离散型概率模型和连续型概率模型.高中阶段主要研究离散型概率模型.讲课人：邢启强4思考思考1：体育彩票摇奖时：体育彩票摇奖时,将将10个质地和大小完全相同、个质地和大小完全相同、分别标号分别标号0,1,2，9的球放入摇奖器中，经过充分搅的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一
5、个球，观察这个球的号码，这个随机试验共拌后摇出一个球，观察这个球的号码，这个随机试验共有多少个可能结果？如何表示这些结果？有多少个可能结果？如何表示这些结果？我们只讨论为有限集的情况.如果一个随机试验有n个可能结果1,2,.,n,则称样本空间=1,2,.,n,为有限样本空间.共有10种可能结果.所有可能结果可用集合表示为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9学习新知学习新知我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间（sample space).一般地，我们用(欧米伽)表示样本空间，用表示样本点.样本点是随机试验的每个可能的基本结果，样本空间是全体样本点
6、的集合.关于什么是基本结果,只能直观描述,无法严格定义.讲课人：邢启强5典型例题典型例题解：因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果，所以试验的样本空间可以表示为=(正面朝上，反面朝上）,如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，则样本空间=h,t.例1抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间。解：用i表示朝上面的“点数为i”，因为落地时朝上面的点数有1,2,3,4,5,6共6个可能的基本结果，所以试验的样本空间可以表示为=1,2,3,4,5,6.例2 抛掷一枚骰子（touzi),观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间.构建样本空间，这是将实际问题数学化的关键步
7、骤，其作用体现在：可以利用集合工具（语言）描述概率问题，能用数学语言严格刻画随机事件的概念，通过与集合关系与运算的类比，可以更好地理解随机事件的关系和运算意义.可以用符号语言准确而简练地表示求解概率问题的过程.讲课人：邢启强6典型例题典型例题.解：掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x表示，第二枚硬币可能的基本结果用y表示，那么试验的样本点可用（x,y)表示.于是，试验的样本空间=(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面，反面)例3抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间如果我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝第一枚第二枚上”，那么样本空间还
8、可以简单表示为=(1,1),(1,0),(0,1),(0,0).如图所示，画树状图可以帮助我们理解例3的解答过程.对于只有两个可能结果的随机试验，一般用1和0表示这两个结果.一方面数学追求最简洁地表示，另一方面，这种表示有其实际意义，在后面的研究中会带来很大的方便.讲课人：邢启强7巩固练习巩固练习讲课人：邢启强8解解:(1)=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)(2)样本点的总数为样本点的总数为16.(3)“xy5”包含以下包含以下4个样本点
9、：个样本点：(1,4),(2,3),(3,2),(1,4)；“x1”包含以下包含以下6个样本点：个样本点：(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)(4)“xy4”包含以下包含以下3个样本点：个样本点：(1,4),(2,2),(4,1)；“xy”包含以下包含以下4个样本点：个样本点：(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)讲课人：邢启强9思考思考2.2.在体育彩票摇号实验中，摇出在体育彩票摇号实验中，摇出“球的号码球的号码是奇数是奇数”是随机事件吗？摇出是随机事件吗？摇出“球的号码为球的号码为3 3的倍的倍数数”是否也是随机事件？如果用集合的形式来表是否也是随
10、机事件？如果用集合的形式来表示它们，那么这些集合与样本空间有什么关系？示它们，那么这些集合与样本空间有什么关系？学习新知学习新知显然，“球的号码为奇数”和“球的号码为3的倍数”都是随机事件.我们用A表示随机事件“球的号码为奇数”，则A发生，当且仅当摇出的号码为1,3,5,7,9之一，即事件A发生等价于摇出的号码属于集合1,3,5,7,9.因此可以用样本空间=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9的子集1,3,5,7,9表示随机事件A.类似地，可以用样本空间的子集0,3,6,9表示随机事件“球的号码为3的倍数”讲课人：邢启强10一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表
11、示.为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件（random event),简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件（elementary event).随机事件一般用大写字母A,B,C,表示，在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.学习新知学习新知作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件.而空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件.必然事件与不可能事件不具有随机性.为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形。这样，每个事件都是样本空间。的一个子集.讲课人：
12、邢启强11随机事件：随机事件：在一定条件下可能发生也可能在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。不发生的事件叫随机事件。必然事件：必然事件：在一定条件下必然要发生在一定条件下必然要发生的事件叫必然事件。的事件叫必然事件。不可能事件：不可能事件：在一定条件下不可能发在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件。生的事件叫不可能事件。讲课人：邢启强12指出下列事件是必然事件指出下列事件是必然事件,不可能事件不可能事件,还是随机事件：还是随机事件：（1 1）某地）某地1 1月月1 1日刮西北风；日刮西北风；（2 2）当）当x x是实数时是实数时,2x0;(3)(3)手电筒的电池没电手电筒的电池
13、没电,灯泡发亮；灯泡发亮；（4 4）一个电影院某天的上座率超过）一个电影院某天的上座率超过50%50%。随机事件随机事件必然事件必然事件不可能事件不可能事件随机事件随机事件巩固练习巩固练习（5）如果）如果ab，那么，那么a一一b0；（6）从分别标有数字）从分别标有数字l，2，3，4，5的的5张标签中任取张标签中任取一张，得到一张，得到4号签号签;（7）某电话机在）某电话机在1分钟内收到分钟内收到2次呼叫；次呼叫；（8）随机选取一个实数）随机选取一个实数x，得，得|x|0.必然事件必然事件随机事件随机事件随机事件随机事件不可能事件不可能事件讲课人：邢启强13典型例题典型例题例4如图,一个电路中有
14、A,B,C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.(1)写出试验的样本空间;(2)用集合表示下列事件：M=“恰好两个元件正常”；N=“电路是通路”；T=“电路是断路”.解：(1)分别用x1,x2和x3表示元件A,B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用(x1,x2,x3)表示.进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，则样本空间=(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1).讲课人：邢启强14典型例题典型例题(2)“恰好
15、两个元件正常”等价于(x1,x2,x3),且x1,x2,x3中恰有两个为1,所以M=(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1).“电路是通路”等价于(x1,x2,x3),x1=1,且x2,x3中至少有一个是1,所以N=(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)。同理，“电路是断路”等价于(x1,x2,x3)，x1=0,或x1=1,x2=x3=0.所以T=(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0).如图,还可以借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果.讲课人：邢启强15巩固练习巩固练习1.写出下列各随机试验的样本空间：(1)采用抽签的方式，随机选择一名
16、同学，并记录其性别；(2)采用抽签的方式，随机选择一名同学，观察其ABO血型；(3)随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别；(4)射击靶3次，观察各次射击中靶或脱靶情况；(5)射击靶3次，观察中靶的次数.讲课人：邢启强16巩固练习巩固练习解:(1)=男，女或令m表示男生，f表示女生，则样本空间为=m,f.(2)=O,A,B,AB.(3)用b表示“男孩”，g表示“女孩”，样本空间为=bb,bg,gb,gg.(4)每次射击，中靶用1表示，脱靶用0表示，则3次射击的样本空间为=(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(
17、1,1,1)(5)=(0,1,2,3)。讲课人：邢启强17巩固练习巩固练习2.如图，由A,B两个元件分别组成串联电路（图(1)和并联电路(图(2),观察两个元件正常或失效的情况.(1)写出试验的样本空间；(2)对串联电路，写出事件M=“电路是通路”包含的样本点；(3)对并联电路，写出事件N=“电路是断路”包含的样本点.解:(1)用1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为=(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).(2)对于串联电路，M=(1,1).(3)对于并联电路，N=(0,0).讲课人：邢启强18巩固练习巩固练习3.袋子中有9个大小和质地相同的球，标号为1,2,3,4,5,6,7,8,9,从中随机模出一个球(1)写出试验的样本空间；(2)用集合表示事件A=“摸到球的号码小于5”，事件B=“摸到球的号码大于4”，事件C=“孩到球的号码是偶数”解:(1)=1,2,3,4,5,6,7,8,9。(2)A=1,2,3,4;B=5,6,7,8,9;C=2,4,6,8.讲课人：邢启强19课堂小结课堂小结1.理解随机试验的概念；理解随机试验的概念；2.能写出随机试验的样本空能写出随机试验的样本空间；间；3.理解随机事件、必然事件、理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；不可能事件的概念；
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