2019年高考数学一轮总复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入4.3平面向量的数量积与平面向量应用举例课时跟踪检测（理科）.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 4.3 平面向量的数量积与平面向量应用举例 课 时 跟 踪 检 测 基 础 达 标 1已知 |a| 6， |b| 3， a b 12，则向量 a 在向量 b 方向上的投影是 ( ) A 4 B 4 C 2 D 2 解析： a b |a|b|cos a， b 18cos a， b 12， cos a， b 23. a 在 b 方向上的投影是 |a|cos a， b 4. 答案： A 2 (2017 届河南八市重点高中质检 )已知平面向量 a， b 的夹角为 23 ，且 a( a b) 8，|a| 2，则 |b|等于 ( ) A. 3 B 2 3 C 3 D 4

2、解析：因为 a( a b) 8，所以 a a a b 8，即 |a|2 |a|b|cos a， b 8，所以 4 2|b| 12 8，解得 |b| 4. 答案： D 3已知平面向量 a， b， |a| 1， |b| 3，且 |2a b| 7，则向量 a 与向量 a b 的夹角为 ( ) A. 2 B 3 C. 6 D 解析：由题意得 |2a b|2 4 4a b 3 7，所以 a b 0，所以 a( a b) 1，且 |a b| a b 2 2，故 cos a， a b a a b|a| a b| 12，所以 a， a b 3 ，故选 B. 答案： B 4 (2017 届辽宁抚顺一中月考 )在

3、 ABC 中， C 90 ，且 CA CB 3，点 M 满足 BM 2MA ，则 CM CB ( ) A 2 B 3 C 3 D 6 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析： BM 2MA ， BM 23BA 23(CA CB )， CM CB (CB BM ) CB ? ?13CB 23CA CB 13CB 2 23CB CA 3.故选 B. 答案： B 5已知 a， b， c 分别为 ABC 的三个内角 A， B， C 的对边，向量 m (2cosC 1， 2)，n (cosC， cosC 1)，若 m n，且 a b 10，则 ABC 周长的最小值为 ( ) A 10 5 3 B 10

4、5 3 C 10 2 3 D 10 2 3 解析： m n， m n 0，即 2cos2C cosC 2cosC 2 0.整理得 2cos2C 3cosC 2 0，解得 cosC 12或 cosC 2(舍去 ) 又 c2 a2 b2 2abcosC (a b)2 2ab(1 cosC) 102 2ab? ?1 12 100 ? ?a b2 2100 25 75， c5 3，则 ABC 的周长为 a b c10 5 3.故选 B. 答案： B 6已知 |a| 1， |b| 3， a b ( 3， 1)，则 a b 与 a b 的夹角为 ( ) A. 6 B 3 C.23 D 56 解析：由 a

5、b ( 3， 1)得 |a b|2 (a b)2 4，又 |a| 1， |b| 3，所以 |a|2 2a b |b|2 1 2a b 3 4，解得 2a b 0，所以 |a b| |a b|2 |a|2 2a b |b|22，设 a b与 a b的夹角为 ，则由夹角公式可得 cos a b a b|a b|a b| |a|2 |b|222 12，且 0， ，所以 23 ，即 a b 与 a b 的夹角为 23. 答案： C 7 (2017 届山东师大附中模拟 )如图，在圆 O 中，若弦 AB 3，弦 AC 5，则 AO BC 的值等于 ( ) A 8 B 1 =【 ;精品教育资源文库 】 =

6、C 1 D 8 解析：取 BC 的中点 D，连接 OD， AD，则 OD BC 0 且 AO OD AD ，即 AO AD OD .而 AD 12(AB AC )，所以 AO BC AD BC OD BC AD BC 12(AB AC )( AC AB ) 12(AC 2 AB 2) 12(52 32) 8，故选 D. 答案： D 8已知正三角形 OAB 中，点 O 原点，点 B 的坐标是 ( 3， 4)，点 A 在第一象限，向量m ( 1,0)，记向量 m 与向量 OA 的夹角为 ，则 sin 的值为 ( ) A 4 3 310 B 4 3 310 C.3 3 410 D 4 3 310 解

7、析：由题可得 OA ， OB 夹角为 60 ，设 OB 与 m的夹角为 ( 为锐角 )，则 cos OB m|OB |m| 40 2 42 2 02 35， 则 sin 45， sin sin(60 ) sin60cos cos60sin 32 3512454 3 310 . 答案： B 9已知平面上四个互异的点 A、 B、 C、 D 满足 (AB AC )(2 AD BD CD ) 0，则 ABC的形状为 _ 解析：由已知得 CB ( AD DB AD DC ) 0 即 CB ( AB AC ) 0 设 D 为 BC 中点，则 CB 2 AD 0， CB AD， ABC 为等腰三角形 答案：

8、等腰三角形 10 (2018 届衡水调研 )若非零向量 a， b 满足 |a| |b|， (2a b) b 0，则 a 与 b 的夹角为 _ 解析： (2a b) b 0， 2|a|b|cos b2 0. =【 ;精品教育资源文库 】 = 由 |a| |b|，可得 cos 12.故 a 与 b 的夹角为 120. 答案： 120 11已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则 DE CB 的值为 _；DE DC 的最大值为 _ 解析：以 D 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示则 D(0,0)， A(1,0)， B(1,1)，C(0,1)设 E(1， a)(0 a1

9、) ，所以 DE CB (1， a)(1,0) 1， DE DC (1， a)(0,1) a1. 故 DE DC 的最大值为 1. 答案： 1 1 12已知 |a| 4， |b| 3， (2a 3b)(2 a b) 61. (1)求 a 与 b 的夹角 ； (2)求 |a b|和 |a b|； (3)若 AB a， AC b，作 ABC，求 ABC 的面积 解： (1)由 (2a 3b)(2 a b) 61， 得 4|a|2 4a b 3|b|2 61. |a| 4， |b| 3，代入上式求得 a b 6. cos a b|a| b| 643 12. 又 0 ， 180 ， 120. (2)

10、|a b|2 (a b)2 |a|2 2a b |b|2 42 2( 6) 32 13， |a b| 13. 同理， |a b| a2 2a b b2 37. (3)由 (1)知 BAC 120 ， |AB | |a| 4， |AC | |b| 3， S ABC 12|AC | AB |sin BAC 1234sin120 3 3. 能 力 提 升 1已知 a， b 均为单位向量，且 a b 0，若 |c 4a| |c 3b| 5，则 |c a|的取值范围是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 3， 10 B 3,5 C 3,4 D 10， 5 解析： a， b 均为单位向量，且 a

11、 b 0， 设 a (1,0)， b (0,1)， c (x， y)， 代入 |c 4a| |c 3b| 5，得 x 2 y2 x2 y 2 5. 即 (x， y)到 A(4,0)和 B(0,3)的距离和为 5， c 的终点轨迹是点 (4,0)和 (0,3)之间的线段， |c a| x 2 y2，表示 M( 1,0)到线段 AB 上点的距离，最小值是点 ( 1,0)到直线 3x 4y 12 0 的距离 |c a|min | 3 12|5 3. 最大值为 |MA| 5. |c a|的取值范围是 3,5 答案： B 2 (2017 年全国卷 )已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面

12、 ABC 内一点，则PA ( PB PC )的最小值是 ( ) A 2 B 32 C 43 D 1 解析：建立如图所示的坐标系， A(0， 3)， B( 1,0)， C(1,0)，设 P(x， y)，则 PA (x， 3 y)， PB ( 1 x， y)， PC (1 x， y)， PA ( PB PC ) 2x2 2y2 2 3y2? ?x 2 ? ?y 32 2 32， 令 x 0， y 32 ， 则 PA ( PB PC )min 32，故选 B. 答案： B 3若平面向量 a， b 满足 |2a b|3 ，则 a b 的最小值是 _ 解析：由 |2a b|3 可知， 4a2 b2 4a

13、 b9 ，所以 4a2 b29 4a b.而 4a2 b2=【 ;精品教育资源文库 】 = |2a|2 |b|22|2 a| b| 4a b，所以 a b 98，当且仅当 2a b 时取等号 答案： 98 4在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且满足 ( 2a c)BA BC cCB CA . (1)求角 B 的大小； (2)若 |BA BC | 6，求 ABC 面积的最大值 解： (1)由题意得 ( 2a c)cosB bcosC. 根据正弦定理得 ( 2sinA sinC)cosB sinBcosC， 所以 2sinAcosB sin(C B)， 即 2sinAcosB sinA， 因为 A (0， ) ，所以 sinA0， 所以 cosB 22 ，又 B (0， ) ，所以 B 4 . (2)因为 |BA BC | 6，所以 |CA | 6， 即 b 6，根据余弦定理及基本不等式得 6 a2 c2 2ac2 ac 2ac (22)ac(当且仅当 a c 时取等号 )， 即 ac3(2 2)，故 ABC 的面积 S 12acsinB 22 ， 即 ABC 的面积的最大值为 3 2 32 .