1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 热点探究训练 (五 ) 平面解析几何中的高考热点问题 1 (2018 长春模拟 )设 F1， F2分别是椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的左、右焦点， M 是 C 上一点且 MF2与 x 轴垂直，直线 MF1与 C 的另一个交点为 N. (1)若直线 MN 的斜率为 34，求 C 的离心率； (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且 |MN| 5|F1N|，求 a， B 【导学号： 00090313】 解 (1)根据 c a2 b2及题设知 M? ?c， b2a ，b2a2c34， 2b2 3aC 2 分 将 b2 a2 c2代入 2b2 3
2、ac， 解得 ca 12， ca 2(舍去 ) 故 C 的离心率为 12. 5 分 (2)由题意，原点 O 为 F1F2的中点， MF2 y 轴， 所以直线 MF1与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1的中点， 故 b2a 4，即 b2 4A 8 分 由 |MN| 5|F1N|得 |DF1| 2|F1N|. 设 N(x1， y1)，由题意知 y1b0)的离心率为22 ，点 P(0,1)和点 A(m，n)(m0) 都在椭圆 C 上，直线 PA 交 x 轴于点 M. (1)求椭圆 C 的方程，并求点 M 的坐标 (用 m， n 表示 )； (2)设 O 为原点，点 B 与点 A 关于 x 轴
3、对称，直线 PB 交 x 轴于点 N.问： y 轴上是否存在点 Q，使得 OQM ONQ？若存在，求点 Q 的坐标；若不存在，说明理由 解 b 1， e 22 ， ? ca22 ，a2 1 c2，解得 a2 2. 3 分 故椭圆 C 的方程为 x22 y2 1. 设 M(xM,0)， 由于点 A(m， n)在椭圆 C 上， 1b0)的右焦点为 F(1,0)，右顶点为 A，且 |AF| 1. 图 5 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若动直线 l： y kx m 与椭圆 C 有且只有一个交点 P，且与直线 x 4 交于点 Q，问：是否存在一个定点 M(t,0)，使得 MP MQ 0.若存在，
4、求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由 解 (1)由 c 1， a c 1，得 a 2， b 3， 3 分 故椭圆 C 的标准方程为 x24y23 1. 5 分 (2)由? y kx m，3x2 4y2 12， 消去 y 得 (3 4k2)x2 8kmx 4m2 12 0， =【 ;精品教育资源文库 】 = 64k2m2 4(3 4k2)(4m2 12) 0， 即 m2 3 4k2. 8 分 设 P(xP， yP)，则 xP 4km3 4k2 4km ， yP kxP m 4k2m m3m，即 P? 4km ，3m . M(t,0)， Q(4,4k m)， MP ? ? 4km t， 3m ，
5、 MQ (4 t,4k m)， 10 分 MP MQ ? ? 4km t (4 t) 3m(4 k m) t2 4t 3 4km (t 1) 0 恒成立，故? t 1 0，t2 4t 3 0， 即 t 1. 存在点 M(1,0)符 合题意 . 12 分 6 (2016 全国卷 )已知抛物线 C： y2 2x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1， l2分别交 C 于 A， B 两点，交 C 的准线于 P， Q 两点 (1)若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明 AR FQ； (2)若 PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程 . 【导学号： 00
6、090314】 解 由题意知 F? ?12， 0 ， 设直线 l1的方程为 y a，直线 l2的方程为 y b， 则 ab0 ，且 A? ?a22， a ， B?b22， b ， P? 12， a ， Q? 12， b ， R? 12，a b2 . 记过 A， B 两点的直线为 l，则 l 的方程为 2x (a b)y ab 0. 2 分 (1)证明：由于 F 在线段 AB 上，故 1 ab 0. 记 AR 的斜率为 k1， FQ 的斜率为 k2，则 k1 a b1 a2 a ba2 ab 1a aba b b 0 12 12 k2. 所以 AR FQ. 5 分 (2)设 l 与 x 轴的交点
7、为 D(x1,0)， 则 S ABF 12|b a|FD| 12|b a|? ?x112 ， S PQF|a b|2 . 8 分 =【 ;精品教育资源文库 】 = 由题意可得 |b a|? ?x112 |a b|2 ， 所以 x1 0(舍去 )或 x1 1. 设满足条件的 AB 的中点为 E(x， y) 当 AB 与 x 轴不垂直时， 由 kAB kDE可得 2a b yx 1(x1). 10 分 而 a b2 y，所以 y2 x 1(x1) 当 AB 与 x 轴垂直时， E 与 D 重合，此时 E 点坐标为 (1,0)，满足方程 y2 x 1. 所以，所求的轨迹方程为 y2 x 1. 12 分
