苏教版高一数学选择性必修一第2章2.3《圆与圆的位置关系》教案.docx

1、2.3圆与圆的位置关系学习目标1.了解圆与圆的位置关系.2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题导语日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系一、圆与圆的位置关系的判断知识梳理1代数法：设两圆的一般方程为C1：x2y2D1xE1yF10(DE4F10)，C2：x2y2D2xE2yF20

2、(DE4F20)，联立方程得则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含2.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下：位置关系图示d与r1，r2的关系外离dr1r2外切dr1r2相交|r1r2| dr1r2内切d|r1r2|内含d|r1r2|注意点：(1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无解或有一解时，无法判断两圆的位置关系(2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法例1当实数k为何值时，两圆C1：x2y24x6y120，C2：x2y22x14yk0相交、相切、外离？

3、解将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x2)2(y3)21，C2：(x1)2(y7)250k.圆C1的圆心为C1(2,3)，半径长r11；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径长r2(k50)，从而C1C25.当15，即k34时，两圆外切当|1|5，即6，即k14时，两圆内切当|1|51，即14k34时，两圆相交当|1|5，即34k50时，两圆外离反思感悟判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径(2)计算两圆圆心的距离d.(3)通过d，r1r2，|r1r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合跟踪

4、训练1已知圆C1：x2y22mx4ym250，圆C2：x2y22x2mym230.(1)当m为何值时，圆C1与圆C2外切？(2)当圆C1与圆C2内含时，求m的取值范围？解对于圆C1与圆C2的方程，经配方后，有C1：(xm)2(y2)29.C2：(x1)2(ym)24.两圆的圆心C1(m，2)，C2(1，m)，半径r13，r22，且C1C2.(1)若圆C1与圆C2相外切，则C1C2r1r2，即5，解得m5或m2.(2)若圆C1与圆C2内含，则0C1C2|r2r1|1，即1，解得2m1.二、两圆相切问题问题1圆与圆相切包含哪几种情况？提示内切和外切两种情况问题2两圆相切可用什么方法求解？提示(1)

5、几何法利用圆心距d与两半径R，r之间的关系求得，dRr为外切，d|Rr|为内切(2)代数法将两圆联立消去x或y得到关于y或x的一元二次方程，利用0求解知识梳理处理两圆相切问题的两个步骤(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)例2求半径为4，与圆(x2)2(y1)29相切，且和直线y0相切的圆的方程解设所求圆的方程为(xa)2(yb)216，由圆与直线y0相切、半径为4，得圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a，4)已知圆(x2)2(

6、y1)29的圆心A的坐标为(2,1)，半径为3.由两圆相切，得CA437或CA431.当圆心为C1(a,4)时，(a2)2(41)272或(a2)2(41)212(无解)，故可得a22，故所求圆的方程为(x22)2(y4)216或(x22)2(y4)216.当圆心为C2(a，4)时，(a2)2(41)272或(a2)2(41)212(无解)，解得a22.故所求圆的方程为(x22)2(y4)216或(x22)2(y4)216.综上所述，所求圆的方程为(x22)2(y4)216或(x22)2(y4)216或(x22)2(y4)216或(x22)2(y4)216.反思感悟通过直线与圆，圆与圆的位置关

7、系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题跟踪训练2求与圆x2y22x0外切且与直线xy0相切于点M(3，)的圆的方程解已知圆的方程可化为(x1)2y21，则圆心为C(1,0)，半径为1.设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)由题意，可得解得或即所求圆的方程为(x4)2y24或x2(y4)236.三、两圆相交问题问题3两圆相交时，如何求出公共弦所在的直线方程？提示将两个方程化成一般式，然后作差即可求得问题4两圆公共弦长如何求得？提示将公共弦所在直线的方程与其中一个圆方程联立，利用勾股定理AB2求得例3已知圆C1：x2y26x40和圆C2：x2y26y280.(1)求两圆公共弦

8、所在直线的方程及弦长；(2)求经过两圆交点且圆心在直线xy40上的圆的方程解(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组的解，得xy40.A，B两点的坐标都满足此方程，xy40即为两圆公共弦所在直线的方程又圆C1的圆心(3,0)，r，C1到直线AB的距离d，AB225，即两圆的公共弦长为5.(2)方法一解方程组得两圆的交点A(1,3)，B(6，2)设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线xy40上，故ba4.则，解得a，故圆心为，半径为.故圆的方程为22，即x2y2x7y320.方法二设所求圆的方程为x2y26x4(x2y26y28)0(1)，其圆心为，代入

9、xy40，解得7.故所求圆的方程为x2y2x7y320.反思感悟(1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线的方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数(2)求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解(3)已知圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)跟踪训练3圆心在直线xy40上，且经过

10、圆x2y24x60与圆x2y24y60的交点的圆的方程为_答案(x3)2(y1)216(或x2y26x2y60)解析方法一由解得所以圆x2y24x60与圆x2y24y60的交点分别为A(1，1)，B(3,3)，连接AB，则线段AB的垂直平分线的方程为y1(x1)由解得所以所求圆的圆心坐标为(3，1)，半径为4，所以所求圆的方程为(x3)2(y1)216.方法二同方法一求得A(1，1)，B(3,3)，设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2，由解得所以所求圆的方程为(x3)2(y1)216.方法三设所求圆的方程为x2y24x6(x2y24y6)0，其中1，化简可得x2y2xy60，圆心坐标为.又

11、圆心在直线xy40上，所以40，解得，所以所求圆的方程为x2y26x2y60.1知识清单：(1)两圆的位置关系(2)两圆的公共弦(3)圆系方程2方法归纳：几何法、代数法3常见误区：将两圆内切和外切相混1圆C1：x2y22x8y80与圆C2：x2y24x4y10的位置关系是()A外离 B外切 C相交 D内含答案C解析将圆的一般方程化为标准方程得C1：(x1)2(y4)225，C2：(x2)2(y2)29，C1(1，4)，C2(2,2)，r15，r23.从而C1C23，r1r2C1C2r1r2.因此两圆的位置关系为相交故选C.2圆x2y24x6y0和圆x2y26x0交于A，B两点，则AB的垂直平分

12、线的方程是()Axy30 B2xy50C3xy90 D4x3y70答案C解析AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，3)代入，即可排除A，B，D.故选C.3已知点P在圆O：x2y21上运动，点Q在圆C：(x3)2y21上运动，则PQ的最小值为_答案1解析O(0,0)，C(3,0)，两圆半径均为1，OC3，PQ的最小值为3111.4已知圆C1：(x1)2(y2)24，圆C2：x2y21，则过圆C1与圆C2的两个交点且过原点O的圆的方程为_答案x2y2x2y0解析设所求圆的方程为x2y22x4y1(x2y21)0(1)，把原点代入可得10，所以1，即可得过圆C1与圆C2的两个交点且过原点O的圆的

13、方程为x2y2x2y0.课时对点练1圆x2y22与圆x2y22x2y0的位置关系是()A相交 B内切C外切 D外离答案A解析由题意得，圆x2y22的圆心O1(0,0)，圆x2y22x2y0的圆心O2(1,1)，圆心距dO1O2，两个圆的半径均为，故|r1r2|d0)相切，则圆M和圆N：(x1)2 (y1)21的位置关系是()A外离 B外切C相交 D内切答案C解析圆M的标准方程为(xa)2y2a2(a0)，则圆心为(a,0)，半径Ra，因为直线3x4y40与圆M：x2y22ax0(a0)相切，所以a，解得a2，则圆M的圆心为(2,0)，半径R2，圆N的圆心为N(1,1)，半径r1，则MN，因为R

14、r3，Rr1，所以RrMN13，所以两圆外离，所以圆C1和圆C2上的两点AB的最大值为dr1r24.5圆C1：(x1)2y24与圆C2：(x1)2(y3)29的相交弦所在的直线为l，则直线l被圆O：x2y24截得的弦长为()A. B4 C. D.答案D解析 由圆C1与圆C2的方程相减得l：2x3y20.圆心O(0,0)到l的距离d，圆O的半径R2，所以截得的弦长为22.6(多选)下列圆中与圆C：x2y22x4y10相切的是()A(x2)2(y2)29 B(x2)2(y2)29C(x2)2(y2)225 D(x2)2(y2)249答案BCD解析由圆C：x2y22x4y10，可知圆心C的坐标为(1

15、,2)，半径r2.A项，圆心C1(2，2)，半径r13.C1C(r1r，r1r)，两圆相交；B项，圆心C2(2，2)，半径r23，C2C5rr2，两圆外切，满足条件；C项，圆心C3(2,2)，半径r35，C3C3r3r，两圆内切；D项，圆心C4(2，2)，半径r47，C4C5r4r，两圆内切7经过直线xy10与圆x2y22的交点，且过点(1,2)的圆的方程为_答案x2y2xy0解析由已知可设所求圆的方程为x2y22(xy1)0，将(1,2)代入，可得，故所求圆的方程为x2y2xy0.8过两圆x2y22y40与x2y24x2y0的交点，且圆心在直线l：2x4y10上的圆的方程是_答案x2y23x

16、y10解析设圆的方程为x2y24x2y(x2y22y4)0(1)，则(1)x24x(1)y2(22)y40，把圆心代入直线l：2x4y10的方程，可得，所以所求圆的方程为x2y23xy10.9已知圆O1：x2y28x8y480，圆O2过点A(0，4)，若圆O2与圆O1相切于点B(2，2)，求圆O2的方程解圆O1的方程变为(x4)2(y4)216，所以圆心O1(4，4)，因为圆O2与圆O1相切于点B(2，2)，所以圆O2的圆心在直线yx上，不妨设为(a，a)，因为圆O2过点A(0，4)，所以圆O2与圆O1外切，因为圆O2过B(2，2)，所以a2(a4)22(a2)2，所以a0，所以圆O2的方程为

17、x2y216.10已知两圆C1：x2y24，C2：(x1)2(y2)2r2(r0)，直线l：x2y0.(1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值；(2)当r1时，求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程解(1)由圆C1：x2y24，知圆心C1(0,0)，半径r12，又由圆C2：(x1)2(y2)2r2(r0)，可得x2y22x4y5r20，两式相减可得公共弦所在的直线方程为2x4y9r20.因为圆C1与圆C2相交且公共弦长为4，所以此时相交弦过圆心C1(0,0)，即r29(r0)，解得r3.(2)设过圆C1与圆C2的圆系方程为(x1)2(y2)21(x2y24)0(1)，即

18、(1)x2(1)y22x4y4(1)0，所以22，由圆心到直线x2y0的距离等于圆的半径，可得，解得1，故所求圆的方程为x2y2x2y0.11过点P(2,3)向圆C：x2y21上作两条切线PA，PB，则弦AB所在的直线方程为()A2x3y10 B2x3y10C3x2y10 D3x2y10答案B解析因为PC垂直平分AB，故弦AB可以看作是以PC为直径的圆与圆x2y21的公共弦，而以PC为直径的圆的方程为(x1)22.根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB所在的直线方程为(x1)22(x2y21)0，整理可得2x3y10.12(多选)圆O1：x2y22x0和圆O2：x2y22x4y0的交点为A，B，则

19、有()A公共弦AB所在直线的方程为xy0B线段AB中垂线的方程为xy10C公共弦AB的长为DP为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为1答案ABD解析对于A，由圆O1：x2y22x0与圆O2：x2y22x4y0的交点为A，B，两式作差可得4x4y0，即公共弦AB所在直线的方程为xy0，故A正确；对于B，圆O1：x2y22x0的圆心为(1,0)，又kAB1，则线段AB中垂线的斜率为1，即线段AB中垂线的方程为y01(x1)，整理可得xy10，故B正确；对于C，圆O1：x2y22x0，圆心O1(1,0)到直线xy0的距离d，半径r1，所以AB2，故C不正确；对于D，P为圆O1上一动点，圆心O

20、1(1,0)到直线xy0的距离为d，半径r1，即P到直线AB距离的最大值为1，故D正确13已知两圆C1、C2和x轴正半轴、y轴正半轴及直线xy2都相切，则两圆圆心的距离C1C2_. 答案4解析因为两圆C1，C2和x轴正半轴、y轴正半轴及直线xy2都相切，所以两圆圆心都在直线yx上，设C1(a，a)，则圆C1的方程为(xa)2(ya)2a2，设C2(b，b)，则圆C2的方程为(xb)2(yb)2b2，因为两圆均与直线xy20相切，所以a(a2)22a2，令a2，则b2，所以两圆圆心的距离C1C24.14在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1 : x2 y28与圆C2 : x2y22xya0相交于A

21、，B两点若圆C1上存在点P，使得ABP为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为_答案解析由题意知，直线AB为2xy8a0，当PAB90或PBA90时，设C1到AB的距离为d，因为ABP为等腰直角三角形，所以dAB，即d，所以d2，所以d2，解得a82；当APB90时，AB经过圆心C1，则8a0，即a8.15若点M，N在圆C1：x2y21上运动，且MN，点P(x0，y0)是圆C2：x2y26x8y240上一点，则|的取值范围为_. 答案7,13解析设圆C1的半径为r1，因为点M，N在圆C1：x2y21上运动，且MN，所以圆心C1到线段MN中点的距离为，故线段MN的中点H在圆C3：x2y2上，而

22、|2|，圆C2：(x3)2(y4)21.故C2C31PHC2C31，即PH，故|2|7,1316已知圆C：x2y26x8y210.(1)若直线l1过定点A(1,1)，且与圆C相切，求l1的方程；(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：xy20上，且与圆C外切，求圆D的方程解(1)圆C：x2y26x8y210化为标准方程为(x3)2(y4)24，所以圆C的圆心为(3,4)，半径为2.若直线l1的斜率不存在，即直线为x1，符合题意若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y1k(x1)即kxyk10.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2，所以2，即2，解得k，所以直线方程为5x12y70.综上，所求l1的方程为x1或5x12y70.(2)依题意，设D(a，a2)又已知圆C的圆心为(3,4)，半径为2，由两圆外切，可知CD5，5，解得a1或a6.D(1,1)或D(6,8)，所求圆D的方程为(x1)2(y1)29或(x6)2(y8)29.