苏教版高中数学选择性必修一第4章4.3.2第1课时《等比数列的通项公式》教案.docx

1、4.3.2等比数列的通项公式第1课时等比数列的通项公式学习目标1.能根据等比数列的定义推导等比数列的通项公式.2.掌握等比数列的通项公式的结构特征并能进行基本的运算导语同学们，前面我们学习了等比数列的概念，和等差数列一样，我们也希望有一个式子来表示我们昨天提到的折纸每一次，其厚度是多少，或者当其厚度为多少时，我们折了多少次，这就是我们今天要研究的等比数列的通项公式一、等比数列的通项公式问题类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？提示设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知q(nN*且n2)方法一ana1qqqqa1a1qn1，当n1时，上式也成立方法二a2a1q，a3

2、a2q(a1q)qa1q2，a4a3q(a1q2)qa1q3，由此可得ana1qn1，当n1时，上式也成立知识梳理等比数列的通项公式若等比数列an的首项为a1，公比为q，则ana1qn1(nN*)例1写出下列等比数列的一个通项公式：(1)1,1，1,1，1；(2)1，；(3)5,10,20,40.解(1)数列的首项为1，公比为1，所以an(1)(1)n1(1)n；(2)数列的首项为1，公比为，所以ann1；(3)数列的首项为5，公比为2，所以an52n1.反思感悟写一个等比数列的通项公式，关键是找出该等比数列的首项和公比，这也是所有基本运算中的基本方法，需要注意的是，若公比是负数或分数时，需加

3、括号跟踪训练1已知等比数列的通项公式是an721n，试写出它的首项和公比解当n1时，a172117，当n2时，a27212，所以q，所以该等比数列的首项和公比分别是7，.二、等比数列中的基本计算例2在等比数列an中：(1)a11，a48，求an；(2)an625，n4，q5，求a1；(3)a2a518，a3a69，an1，求n.解(1)因为a4a1q3，所以8q3，所以q2，所以ana1qn12n1.(2)a15，故a15.(3) 因为由，得q，从而a132.又an1，所以32n11，即26n20，故n6.反思感悟等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外

4、一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解跟踪训练2在等比数列an中：(1)若它的前三项分别为5，15,45，求a5；(2)若a42，a78，求an.解(1)因为a5a1q4，而a15，q3，所以a5405.(2)因为所以由得q34，从而q，而a1q32，于是a1，所以ana1qn1.三、等比数列通项公式的简单应用例3已知数列为等比数列，若a2a32a1，且a4与2a7的等差中项为，则a1a2a3an的最大值为()A5 B512 C1 024 D2 048答案C解析a2a3a1qa1q22a1，a42.a42a7a42a4q32，q，a116.故an1

5、6n12421n25n，所以a116，a28，a34，a42，a51，a6a3，则公比q的取值范围是()A(1,2) B(0,2)C(，1)(2，) D(2，)答案D解析因为数列是各项为负数的等比数列，则首项a10，2a1a2a3，即2a1a1qa1q2，两边同时除以a1，得q2q20，即0，解得q2或q2.5已知数列满足a11，an12an.若am128，则正整数m的最大值是()A7 B8 C9 D10答案B解析由a11，an12an，可得2，所以数列是以1为首项，公比为2的等比数列，所以ana1qn12n1，若am128，则2m1128，解得m17，所以m8，正整数m的最大值是8.6(多选

6、)已知正项等比数列满足a12，a42a2a3，若设其公比为q，则()Aq2 Ban2nC18是数列中的项 Danan13an，选项D正确7数列中，a1，amnaman，则a6_.答案解析由于m，nN*，有amnaman，且a1，令m1，则an1a1anan，即数列是首项为，公比为的等比数列，所以ana1qn1n1n，故a66.8已知等比数列an的前三项依次为a1，a1，a4，则an_.答案4n1解析由已知可得(a1)2(a1)(a4)，解得a5，所以a14，a26，所以q，所以an4n1.9在等比数列an中(1)已知a34，a716，且q0，求an；(2)已知a12，a38，求公比q和通项公式

7、解(1)q44，q22，又q0，q，ana3qn34()n3(nN*)(2)a3a1q2，即82q2，q24，q2.当q2时，ana1qn122n12n，当q2时， ana1qn12(2)n1(1)n12n，数列an的公比为2或2，对应的通项公式分别为an2n或an(1)n12n.10已知各项都为正数的数列an满足a11，a(2an11)an2an10.(1)求a2，a3；(2)求数列an的通项公式解(1)由题意可得a2，a3.(2)由a(2an11)an2an10，得2an1(an1)an(an1)因为an的各项都为正数，所以.故an是首项为1，公比为的等比数列，因此an，nN*.11设a1

8、2，数列12an是公比为2的等比数列，则a6等于()A31.5 B160 C79.5 D159.5答案C解析12an(12a1)2n152n1，12a6525，a679.5.12已知数列是等比数列，则方程组的解的情况为()A唯一解 B无解C无穷多组解 D不能确定答案C解析由题意，数列是等比数列，可得，所以直线a1xa2ya3与a4xa5ya6重合，所以方程组的解的个数为无数组解13.如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，jN*)，则a53的值为()A. B.C. D.答案C解析第一列构成首项

9、为，公差为的等差数列，所以a51(51).又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a532.14一个各项均为正数的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比q_.答案解析由题意得：anan1an2，所以1qq2，即q2q10，解得q或q(舍去)15已知各项均为正数的等比数列满足a10a96a8，若存在两项am，an使得4a1，则的最小值为()A4 B. C. D9答案C解析因为各项均为正数的等比数列满足a10a96a8，可得a8q2a8q6a8，即q2q60，解得q2或q3(舍去)4a1，2mn216，mn6，(mn).

10、当且仅当，即m2，n4时，等号成立故的最小值等于.16在a35，a2a56b2；b22，a3a43b3；S39，a4a58b2三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答已知等差数列的公差为d，前n项和为Sn，等比数列的公比为q，且a1b1，dq，_；求数列，的通项公式解选条件：因为a35，所以a12d5，因为a2a56b2，a1b1，dq，所以2a15d6a1d，联立解得或(舍去)，则a1b11，dq2，故ana1(n1)d2n1，bnb1qn12n1.选条件：因为b22，a1b1，dq，所以a1d2，因为a3a43b3，所以2a15d3a1d2，联立解得或(舍去)，则a1b11，dq2，故ana1(n1)d2n1，bnb1qn12n1.选条件：因为S39，所以3a13d9，因为a4a58b2，a1b1，dq，所以2a17d8a1d，联立解得或(舍去)，则a1b11，dq2，故ana1(n1)d2n1，bnb1qn12n1.