苏教版高中数学选择性必修一第4章4.4第1课时《数学归纳法》教案.docx

1、4.4 数学归纳法第1课时数学归纳法学习目标1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的命题. 导语同学们，生活中大家是否有过这种经历，比如说，你在家里做错了一点事情，你的父母就会感觉你做什么都是错的；比如说，你知道有一个人欺骗了你，你就会感觉所有的人都在欺骗你；比如说，当你做题时，第一个题不会，你就会认为所有的题目都不会了，其实这些都用了不完全归纳的方法，其结论不一定成立，而这些也往往给予特定的目标一些心理暗示，容易对一些目标造成心理伤害，我们今天就一起解决这些特定目标的心理障碍吧一、数学归纳法的理解问题1如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都

2、是绿色的？提示不能通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法不完全归纳法得到的结论不一定正确例如，在我们数学上有费马猜想、哥德巴赫猜想等，他们所用的就是不完全归纳法，至于最终的结论能否成立，需要验证问题2在多米诺骨牌游戏中，如何保证所有的骨牌全部倒下？提示要保证任意相邻两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块倒下，这样的话，只需要第一块骨牌倒下，就可导致后面所有的骨牌都能倒下像这样以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的推理方法叫作数学归纳法它是一种完全归纳的方法，虽有“归纳”这两个字，但其结论是正确的知识梳理数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的数学命题，可按下

3、列步骤进行：(1)证明当nn0(n0N*)时命题成立；(2)假设“当nk(kn0，kN*)时命题成立”，证明当nk1时命题也成立根据(1)(2)就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，上述证明方法称为数学归纳法注意点：初始值n0选择不一定是1，要结合题意恰当的选择例1(1)用数学归纳法证明不等式2n(n1)2(nN*)时，初始值n0应等于_答案6解析由题意，得当n1时，21(11)2；当n2时，22(21)2；当n3时，23(31)2；当n4时，24(41)2；当n5时，25(61)2，所以用数学归纳法证明不等式2n(n1)2(nN*)时，初始值n0应等于6.(2)用数学归纳法证明12

4、222n12n1(nN*)的过程如下：当n1时，左边1，右边2111，等式成立假设当nk(kN*)时等式成立，即12222k12k1，则当nk1时，12222k12k2k11，所以当nk1时等式也成立由此可知对于任何nN*，等式都成立上述证明，错误是_答案未用归纳假设解析本题在由nk成立证明nk1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符反思感悟数学归纳法的三个关键点(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律(3)利用假设是核心：在第二步

5、证明nk1时，一定要利用归纳假设跟踪训练1对于不等式n1(nN*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(k1且kN*)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，(k1)1，当nk1时，不等式成立，则上述证法()A过程全部正确Bn1验证不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确答案D解析在nk1时，没有应用nk时的归纳假设，不是数学归纳法二、增加的项的个数问题例2用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)”，从“k到k1”左端需增乘的代数式为()A2k1 B2(2k1)C. D.答案B解析当nk时，等式的左边(k1)(k2)(

6、kk)，当nk1时，等式的左边(k11)(k12)(kk)(k1k)(kk2)，所以从“k到k1”左端需增乘的代数式为2(2k1)反思感悟弄清楚等式或不等式两侧的项的变化规律，才能清楚增加了哪些项或增加了多少项以及减少了哪些项跟踪训练2利用数学归纳法证明不等式1n(n2，nN*)的过程中，由nk到nk1时，左边增加了()A1项 Bk项 C2k1项 D2k项答案D解析增加项为，共2k项三、用数学归纳法证明等式例3用数学归纳法证明1(nN*)证明(1)当n1时，左边1，右边，命题成立(2)假设当nk(k1，kN*)时，命题成立，即1，那么当nk1时，左边1.上式表明当nk1时，命题也成立由(1)(

7、2)知，命题对一切正整数均成立反思感悟用数学归纳法证明等式的策略应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：(1)nn0时，等式的结构(2)nk到nk1时，两个式子的结构：nk1时的代数式比nk时的代数式增加(或减少)的项这时一定要弄清三点：代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项代数式相邻两项之间的变化规律代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系跟踪训练3求证：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nN*)证明(1)当n1时，左边12223，右边3，等式成立(2)假设当nk时，等式成立，即12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)当nk1时，12223242(2

8、k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，所以当nk1时，等式也成立综上所述，等式对任何nN*都成立1知识清单：(1)数学归纳法的概念(2)增加或减少项的个数问题(3)用数学归纳法证明等式2方法归纳：数学归纳法3常见误区：一是对n0取值的问题易出错；二是增加或减少的项数易出错1用数学归纳法证明等式123(n3)(nN*)，验证n1时，左边应取的项是()A1 B12C123 D1234答案D解析当n1时，左边1234.2用数学归纳法证明等式123(2n1)(n1)(2n1)时，从nk到nk1，等式左边

9、需增添的项是()A2k2B.C(2k2)(2k3)D.答案C解析当nk时，左边123(2k1)，共2k1个连续自然数相加；当nk1时，左边123(2k1)(2k2)(2k3)，所以从nk到nk1，等式左边需增添的项是(2k2)(2k3)3某个与正整数有关的命题：如果当nk(kN*)时命题成立，则可以推出当nk1时该命题也成立现已知n5时命题不成立，那么可以推得()A当n4时命题不成立B当n6时命题不成立C当n4时命题成立D当n6时命题成立答案A解析因为当nk(kN*)时命题成立，则可以推出当nk1时该命题也成立，所以假设当n4时命题成立，那么n5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n4时命题不成

10、立4用数学归纳法证明关于n的恒等式，当nk时，表达式为1427k(3k1)k(k1)2，则当nk1时，表达式为_答案1427k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)2解析当nk1时，表达式左侧为1427k(3k1)(k1)(3k4)，表达式右侧为(k1)(k2)2，则当nk1时，表达式为1427k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)2.课时对点练1在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步应验证n等于()A1 B2 C3 D4答案C解析边数最少的凸n边形是三角形，故选C.2已知n为正偶数，用数学归纳法证明12时，若已假设nk(k2)为偶数时命题为真，则还需要用归

11、纳假设再证()Ank1时等式成立Bnk2时等式成立Cn2k2时等式成立Dn2(k2)时等式成立答案B解析因为n为正偶数，所以当nk时，下一个偶数为k2.3用数学归纳法证明“1aa2a2n1(a1)”在验证n1时，左端计算所得项为()A1a B1aa2C1aa2a3 D1aa2a3a4答案C解析将n1代入a2n1得a3，故选C.4若命题A(n)(nN*)在nk(kN*)时成立，则有nk1时命题也成立现知命题对nn0(n0N*)成立，则有()A命题对所有正整数都成立B命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立

12、D以上说法都不正确答案C解析由已知得nn0(n0N*)时命题成立，则有nn01时命题成立在nn01时命题成立的前提下，又可推得n(n01)1时命题也成立，依此类推，可知选C.5已知f(n)122232(2n)2，则f(k1)与f(k)的关系是()Af(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2Bf(k1)f(k)(k1)2Cf(k1)f(k)(2k2)2Df(k1)f(k)(2k1)2答案A解析f(k1)122232(2k)2(2k1)22(k1)2f(k)(2k1)2(2k2)2.6用数学归纳法证明等式135(2n1)n2(nN*)的过程中，第二步假设nk时等式成立，则当nk1时应得到()A13

13、5(2k1)k2B135(2k1)(k1)2C135(2k1)(k2)2D135(2k1)(k3)2答案B解析由数学归纳法知第二步假设nk时等式成立，则当nk1时应得到135(2k1)(k1)2.7设f(n)1(nN*)，那么f(n1)f(n)_.答案解析注意末项与首项，所以f(n1)f(n).8用数学归纳法证明1232n2n122n1(nN*)时，假设当nk时命题成立，则当nk1时，左端增加的项数是_答案2k解析运用数学归纳法证明1232n2n122n1(nN*)当nk时，则有1232k2k122k1(kN*)，左边表示的为2k项的和当nk1时，则左边1232k(2k1)2k1，表示的为2k

14、1项的和，增加了2k12k2k项9证明：1(nN*)证明(1)当n1时，左边，右边1，等式成立(2)假设当nk(k1，kN*)时，等式成立，即1，那么当nk1时，左边111.所以当nk1时，等式也成立根据(1)和(2)，可知等式对任意nN*都成立10用数学归纳法证明：132522(2n1)2n12n(2n3)3(nN*)证明(1)当n1时，左边1，右边2(23)31，左边右边，所以等式成立(2)假设当nk(kN*)时，等式成立，即132522(2k1)2k12k(2k3)3.则当nk1时，132522(2k1)2k1(2k1)2k2k(2k3)3(2k1)2k2k(4k2)32k12(k1)3

15、3，即当nk1时，等式也成立由(1)(2)知，等式对任何nN*都成立11用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上()A(k1)2Bk21C.D(k21)(k22)(k23)(k1)2答案D解析因为当nk时，等号的左端为123k2，当nk1时，等号的左端为1232，所以增加了(k21)(k22)(k23)(k1)2，故选D.12(多选)已知一个命题p(k)，k2n(nN*)，若当n1,2，1 000时，p(k)成立，且当n1 001时也成立，则下列判断中正确的是()Ap(k)对k528成立Bp(k)对每一个自然数k都成立Cp(k)对每一个正偶数k都成立Dp(k)对某些偶数

16、可能不成立答案AD解析由题意知p(k)对k2,4,6，2 002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立，故选AD.13已知f，则()Af中共有n项，当n2时，fBf中共有项，当n2时，f1Cf中共有项，当n2时，f1Df中共有项，当n2时，f1答案C解析f中共有n21n2n2项，当n2时，f1.14记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)_.答案解析由凸k边形变为凸k1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k1)f(k).15用数学归纳法证明“已知n为正奇数，求证：xnyn能被xy整除”时，第二步假设nk(kN*)时命题为真后，需证n_时命题也为真答案k2解析因为n为正奇数，所以nk2时命题也为真16用数学归纳法证明：122232342n(n1)2(3n211n10)，其中nN*.证明当n1时，左边1224，右边(31211110)4，所以左边右边，等式成立假设当nk(k1，kN*)时，等式成立，即122232342k(k1)2(3k211k10)，那么当nk1时，122232342k(k1)2(k1)(k2)2(3k211k10)(k1)(k2)2(3k5)(k2)(k1)(k2)2(3k25k12k24)3(k1)211(k1)10即当nk1时，等式也成立，综上，对任何nN*，等式都成立