苏教版高中数学选择性必修一第4章习题课《等差数列的性质》教案.docx

1、习题课等差数列的性质学习目标1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质简化计算导语同学们，前面我们学习了等差数列的概念，明白了等差数列是一种特殊的函数，在学习过程中，我们发现了一个非常有意思的事情，比如说ann，这是一个正整数列，如果我们把其中的偶数拿出来，即2,4,6,8,10容易发现这也是一个等差数列，同样，如果我们把所有的奇数拿出来，也能构成一个新的数列，今天我们就具体研究等差数列中有哪些性质一、由等差数列构造新等差数列问题1若数列是等差数列，首项为a1，公差为d，在中每相邻两项之间都插入4个数，若要使之构成一个新的等差数列，你能求出它的公差吗？提示设新数列

2、为，公差为d，则有b1a1，b6a2，所以b6b1a2a1d，故有5dd，所以dd.知识梳理若an，bn分别是公差为d，d的等差数列，则有数列结论can公差为d的等差数列(c为任一常数)can公差为cd的等差数列(c为任一常数)anank公差为kd的等差数列(k为常数，kN*)panqbn公差为pdqd的等差数列(p，q为常数)例1有两个等差数列2,6,10，190和2,8,14，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为()A15 B16 C17 D18答案B解析易知，第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，故新数列的公差为具有相同首项的两个数列

3、公差的最小公倍数，其公差为12，首项为2，所以通项公式为an12n10，所以12n10190，解得n，而nN*，所以n的最大值为16.反思感悟对于任何形式的构造数列，判断是否为等差数列，一般从两个方面进行判断：(1)定义：anan1是否为常数；(2)其通项公式是否为关于n的一次函数跟踪训练1已知两个等差数列an：5,8,11，与bn：3,7,11，它们的公共项组成数列cn，则数列cn的通项公式cn_；若数列an和bn的项数均为100，则cn的项数是_答案12n125解析由于数列an和bn都是等差数列，所以cn也是等差数列，且公差为3412，又c111，故cn1112(n1)12n1.又a100

4、302，b100399，所以解得1n25.25，故cn的项数为25.二、等差数列中任意两项之间的关系问题2如果是等差数列，a35，d2，如果不求首项，你能求数列的通项公式吗？提示由定义可知a3a12d，ana1(n1)d，两式相减得ana3(n3)d，即ana3(n3)d.知识梳理设等差数列an的首项为a1，公差为d，则(1)andn(a1d)(nN*)；(2)anam(nm)d(m，nN*)；(3)d(m，nN*，且mn)注意点：若anm，amn(nm)，则anm0.(证明：，1，故anm0)例2已知an为等差数列，a158，a6020，求a75.解方法一(利用anam(nm)d)设数列 a

5、n的公差为d，则a60a15(6015)d845d，所以d，所以a75a60(7560)d201524.方法二(利用隔项成等差数列)因为an为等差数列，所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，设其公差为d，a15为首项，则a60为第四项，所以a60a153d，解得d4，所以a75a60d24.反思感悟灵活利用等差数列的性质，可以减少运算令m1，anam(nm)d即变为ana1(n1)d，可以减少记忆负担跟踪训练2已知bn为等差数列，若b32，b1012，则b8_.答案8解析方法一bn为等差数列，可设其公差为d，则d2，bnb3(n3)d2n8.b82888.方法二由d，得b85

6、b325(2)8.三、等差数列中多项之间的关系问题3若数列是等差数列，公差为d，mnpq(m，n，p，qN*)，则am，an，ap，aq这四项之间有什么样的关系？提示由等差数列的定义可知，ama1(m1)d，ana1(n1)d，apa1(p1)d，aqa1(q1)d，容易发现aman2a1(mn2)d，apaq2a1(pq2)d，因为mnpq，故有amanapaq.知识梳理1下标性质：在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.2特别地，若mn2p(m，n，pN*)，则有aman2ap.注意点：(1)推广：若mnpxyz，则amanapaxayaz；(2)该性质要求

7、下标的和相等，且左右两侧项数相同；(3)在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，即a1ana2an1.例3已知数列an是等差数列，若a1a9a177，则a3a15等于()A7 B14 C21 D7(n1)答案B解析因为a1a9a17(a1a17)a92a9a9a97，所以a3a152a92714.延伸探究在等差数列an中，a3a72a1540，求a10.解方法一设数列an的公差为d.则a3a72a15a12da16d2(a114d)4a136d4(a19d)4a1040，a1010.方法二a3a72a15a3a7a15a15a10a10a10a1040，a1010.反思感悟等差数列

8、运算的两种常用思路(1)基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量(2)巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足mnpq2r(m，n，p，q，rN*)，则amanapaq2ar.跟踪训练3数列an满足3anan1且a2a4a69，则log6(a5a7a9)的值是()A2 B C2 D.答案C解析由3anan1，得an1an3.所以an是公差为3的等差数列又a2a4a69，且a2a62a4，所以3a49，则a43，所以a7a43d33312，故log6(a5a7a9)log6(3a7)log6362.1知识清单：(1)由等差数列构造新的等差数列(2)等差数

9、列中任意两项之间的关系(3)等差数列中多项之间的关系2方法归纳：公式法、构造法、解方程组法3常见误区：不注意运用性质而出错或解法烦琐1在等差数列an中，已知a310，a820，则公差d等于()A3 B6 C4 D3答案B解析由等差数列的性质得a8a3(83)d5d，所以d6.2在等差数列an中，a4a515，a712，则a2等于()A3 B3 C. D答案A解析由数列的性质，得a4a5a2a7，所以a215123.3在等差数列an中，a3a74，则必有()Aa54 Ba64Ca52 Da62答案C解析因为a3a72a54，所以a52.4在等差数列(nN*)中，若a1a2a4，a83，则a20的

10、值是_答案15解析数列是等差数列，a1a5a2a4，又a1a2a4，a50，d1，故a20a515d15.课时对点练1已知数列an，bn为等差数列，且公差分别为d12，d21，则数列2an3bn的公差为()A7 B5C3 D1答案D解析由于an，bn为等差数列，故数列2an3bn的公差d(2an13bn1)(2an3bn)2(an1an)3(bn1bn)2d13d21.2在等差数列an中，a12，a3a510，则a7等于()A5 B8C10 D14答案B解析方法一设等差数列的公差为d，则a3a52a16d46d10，所以d1，a7a16d268.方法二由等差数列的性质可得a1a7a3a510，

11、又a12，所以a78.3已知等差数列an的公差为d(d0)，且a3a6a10a1332，若am8，则m的值为()A12 B8C6 D4答案B解析由等差数列的性质，得a3a6a10a13(a3a13)(a6a10)2a82a84a832，a88，又d0，m8.4在等差数列中，a1a5a7a9a13100，a6a212，则a1等于()A1 B2 C3 D4答案B解析a1a5a7a9a13100，5a7100，a720，a6a212，4d12，d3，a7a16d20，a12.5若等差数列an的首项a15，am3，则am2等于()A13 B3C3 D5答案B解析设等差数列an的公差为d，因为a15，a

12、m3，所以d.所以am2am2d33.6(多选)若an是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是()A|an| Ban1anCpanq(p，q为常数) D2ann答案BCD解析数列1,1,3是等差数列，取绝对值后：1,1,3不是等差数列，A不成立若an是等差数列，利用等差数列的定义知，an1an为常数列，故是等差数列，B成立若an的公差为d，则(pan1q)(panq)p(an1an)pd为常数，故panq是等差数列，C成立(2an1n1)(2ann)2(an1an)12d1为常数，故2ann是等差数列，D成立7在等差数列an中，若a2a2a8a6a1016，则a4a6_.答案4解析在等差数列a

13、n中，a2a2a8a6a1016，aa2(a6a10)a6a1016，(a2a6)(a2a10)16，2a42a616，a4a64.8设数列an，bn都是等差数列，若a1b17，a3b321，则a5b5_.答案35解析因为数列an，bn都是等差数列，所以数列anbn也构成等差数列，所以2(a3b3)(a1b1)(a5b5)，所以2217a5b5，所以a5b535.9在等差数列an中(1)已知a2a3a23a2448，求a13；(2)已知a2a3a4a534，a2a552，求公差d.解(1)根据已知条件a2a3a23a2448，得4a1348，a1312.(2)由a2a3a4a534，得2(a2

14、a5)34，即a2a517，由解得或d3或d3.10在等差数列中，若a3a8a1312，a3a8a1328.(1)求数列的通项公式；(2)求a23的值解(1)根据题意，设等差数列的公差为d，若a3a8a1312，则3a812，则a84，又由a3a8a1328，得a3a13(45d)(45d)7，解得d，当d时，ana8(n8)d；当d时，ana8(n8)d.(2)由(1)的结论，当d时，an，此时a2313，当d时，an，则a235，则a2313或5.11在等差数列an中，若a4a6a8a10a12120，则a9a11的值为()A14 B15 C16 D17答案C解析设公差为d，a4a6a8a

15、10a12120，5a8120，a824，a9a11(a8d)(a83d)a816.12等差数列an中，若a2，a2 020为方程x210x160的两根，则a1a1 011a2 021等于()A10 B15 C20 D40答案B解析a2，a2 020为方程x210x160的两根，a2a2 02010，由等差数列的性质得2a1 01110，即a1 0115，a1a1 011a2 0213a1 01115.13已知等差数列an满足a1a2a3a1010，则有()Aa1a1010 Ba2a1010Ca3a990 Da5151答案C解析由等差数列的性质得，a1a101a2a100a50a522a51，

16、由于a1a2a3a1010，所以a510，故a3a992a510.14已知等差数列an，若a1a2a3a1221，则a2a5a8a11_.答案7解析a1a2a3a1221，a1a12a2a11a3a10a4a9a5a8a6a7，a2a5a8a117.15等差数列，满足对任意nN*都有，则_.答案1解析由等差数列的性质可得b3b9b4b82b6，a7a52a6，所以1.16已知等差数列an中，a54，公差d4.若在每相邻两项中各插入两个数，使之成等差数列bn，求新数列的第50项，a50是新数列的第几项？解ana5(n5)d4n16.在新数列bn中，b1a112，公差dd，bn12(n1)n.b50.由a50184n，得n148.a50是新数列的第148项