1、第2课时含参数的函数单调性问题学习目标1.熟练掌握函数的单调性与导数的关系.2.会利用分类讨论的思想解决含参的函数的单调性问题一、导函数是含参数的二次函数例1求f(x)a2x3ax2x1的单调区间解f(x)a2x3ax2x1的定义域为R，f(x)3a2x22ax1(3ax1)(ax1)(1)当a0时，f(x)10时，f(x)是开口向上的二次函数，令f(x)0得x1，x2(a0)，因此可知(结合f(x)的图象)，当a0时，x1x2，f(x)0x；f(x)0x.此时，f(x)的增区间为和；f(x)的减区间为.当a0时，x10x；f(x)0x.此时，f(x)的增区间为和；f(x)的减区间为.反思感悟
2、(1)若导函数的二次项系数含参：优先讨论是否为0，达到降次的目的，当不为0时，再从符号上入手，确定二次函数的开口方向，由判别式确定其根的情况，若有根，然后通过因式分解或求根公式求导函数大于0或小于0的解，若无根，则导函数大于0或小于0恒成立，从而确定原函数的单调性(2)若导函数的一次项系数含参或常数项含参，按上述第步求解跟踪训练1求f(x)2x3mx2m1的单调区间解f(x)2x3mx2m1的定义域为R，f(x)6x22mx.(1)当m0时，f(x)6x20，f(x)在R上是增函数，f(x)的增区间为R，无减区间(2)当m0时，f(x)是开口向上的二次函数，令f(x)0，得x1，x20，因此可
3、知(结合f(x)的图象)，当mx2，当x时，f(x)0，当x时，f(x)0时，x10，当x时，f(x)2，令f(x)0得，x或x.当x时，f(x)0.所以f(x)在，上是减函数，在上是增函数反思感悟确定函数的定义域、求导、通分，一般情况下，其分子转化成二次函数型的函数，或利用指数函数、对数函数、三角函数的单调性求解，对参数的讨论一定要做到不重不漏跟踪训练2设函数f(x)exax2，求f(x)的单调区间解f(x)的定义域为R，f(x)exa.若a0，则f(x)0，所以f(x)在R上是增函数若a0，则当x(，ln a)时，f(x)0.所以f(x)在(，ln a)上是减函数，在(ln a，)上是增函
4、数综上所述，当a0时，函数f(x)的增区间为R，无减区间；当a0时，f(x)的增区间为(ln a，)，减区间为(，ln a)三、导函数是非基本初等函数例3设函数f(x)emxx2mx.证明：f(x)在(，0)上是减函数；在(0，)上是增函数证明方法一f(x)m(emx1)2x.若m0，则当x(，0)时，emx10，f(x)0.若m0，f(x)0；当x(0，)时，emx10.所以f(x)在(，0)上是减函数，在(0，)上是增函数方法二f(x)m(emx1)2x，令g(x)f(x)，则g(x)m2emx20恒成立，所以yf(x)在R上是增函数，又f(0)0，所以当x(，0)时，f(x)0，所以f(
5、x)在(，0)上是减函数，在(0，)上是增函数反思感悟在分类讨论此类问题时，其目的是讨论不确定的因式的符号，在讨论参数的取值范围时，也要注意函数的定义域跟踪训练3已知函数f(x)ae2xexx，讨论f(x)的单调性解f(x)的定义域为R，f(x)2ae2xex1(2ex1)若a0，则f(x)0，则当xln a时，f(x)ln a时，f(x)0，故f(x)在上为增函数，在上为减函数， 综上，当a0时，f(x)在R上为减函数；当a0时，f(x)在上为增函数，在上为减函数1知识清单：(1)导函数是二次型函数的单调性问题(2)导函数是基本初等型函数的单调性问题(3)导函数是复合型函数的单调性问题2方法
6、归纳：分类讨论3常见误区：分类讨论时是否做到“不重不漏”课时对点练1已知函数f(x)x3ax.讨论f(x)的单调性解因为f(x)x3ax，所以f(x)3x2a.当a0时，因为f(x)3x2a0，所以f(x)在R上是增函数；当a0，解得x.令f(x)0，解得x，则f(x)在，上是增函数；在上是减函数综上，当a0时，f(x)在R上是增函数；当a0时，f(x)在，上是增函数，在上是减函数2设函数f(x)ax1ln x，讨论函数f(x)的单调性解f(x).当a0时，f(x)0时，令f(x)0，则x，当0x时，f(x)时，f(x)0，f(x)在上是减函数，在上是增函数综上，当a0时，f(x)在上是减函数
7、；当a0时，f(x)在上是减函数，在上是增函数3已知函数f(x)(x22xa)ex.讨论函数f(x)的单调性解因为f(x)ex，所以f(x)的定义域为R，f(x)exexex.当a2时，f(x)0，则f(x)在R上是增函数；当a0x；f(x)0x，所以f(x)在上是减函数，在和上是增函数综上，当a2时，f(x)在R上是增函数；当a1时，讨论f(x)的单调性解函数f(x)的定义域为(0，)f(x)11，因为m1，所以m10.当0m11，即1m0得x1或0xm1，由f(x)0得m1x1，即m2时，由f(x)0，得xm1或0x1，由f(x)0得1xm1，所以f(x)在，上是增函数，在上是减函数综上可知，当1m2时，f(x)在，上是增函数，在上是减函数
