苏教版高一数学选择性必修一第2章习题课《与圆有关的最值问题》教案及课件.zip

1、习题课与圆有关的最值问题习题课与圆有关的最值问题学习目标 1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想导语2017 年 7 月我国首座海上风电平台 4G 基站在黄海建成，信号覆盖范围达 60 公里 一艘船由于机械故障在海上遇险，想要求救，却发现手机没有信号已知基站在海面上的信号覆盖范围是以基站为圆心的一个圆及其内部区域，那么船到达信号区域的最短路程是多少呢？一、与距离有关的最值问题知识梳理已知圆心到直线(或圆外一点)的距离为 d，圆的半径为 r.1圆外一点到圆上任意一点距离的最小值dr，最大值dr.2直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值dr，最

2、大值dr.3过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值2r2d2，最大值2r.4直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值d2r2.例 1已知圆 C1：(x2)2(y3)21，圆 C2：(x3)2(y4)29，M，N 分别为圆 C1，圆C2上的点，P 为 x 轴上的动点，则 PMPN 的最小值为()A.17 B.171C622 D524答案D解析如图所示，圆 C1关于 x 轴对称的圆的圆心坐标为 A(2，3)，半径为 1，圆 C2的圆心坐标为(3,4)，半径为 3.设 M为点 M 关于 x 轴对称的点，由图象可知，当 P，M，N 三点共线时，PMPNPMPN 取得最小值，且 PMPN

3、的最小值为圆 A 与圆 C2的连心线的长减去两个圆的半径之和，即 AC2313224324524.反思感悟(1)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题(2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值跟踪训练 1已知圆 C：(x1)2(y2)225，直线 l：(2m1)x(m1)y7m40，则直线 l 被圆 C 截得的弦长的最小值为()A25 B45 C63 D83答案B解析圆 C：(x1)2(y2)225 的圆心坐标为 C(1,2)，半径为 5，由直线 l：(2m1)x(m1)y7m40，得

4、m(2xy7)xy40，联立Error!Error!解得Error!Error!直线 l 过定点 P(3,1)，又点 P(3,1)在圆内部，则当直线 l 与线段 PC 垂直时，直线 l 被圆 C 截得的弦长最小，此时 PC1322125，直线 l 被圆 C 截得的弦长的最小值为 2525245.二、与面积相关的最值问题例 2已知点 O(0,0)，A(0,2)，点 M 是圆(x3)2(y1)24 上的动点，则OAM 面积的最小值为()A1 B2 C3 D4答案A解析根据题意，得圆(x3)2(y1)24 的圆心为(3，1)，半径 r2，O(0,0)，A(0,2)，OA 所在的直线是 y 轴，当 M

5、 到直线 AO 的距离最小时，OAM 的面积最小，则 M 到直线 AO 的距离的最小值 d321，则OAM 的面积最小值 S12OAd1.反思感悟求圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解跟踪训练 2直线 ykx3 与圆 O：x2y21 相交于 A，B 两点，则OAB 面积的最大值为()A1 B.12 C.24 D.34答案B解析设圆心到直线的距离为 d(0d0)若圆 C 上存在点 P，使得APB90，则实数 m 的最大值为()A7 B6 C5 D4答案B解析根据题

6、意，画出示意图，如图所示，圆心 C 的坐标为(3,4)，半径 r1，且 AB2m.连接 OP，因为APB90，所以 OP12ABm.要求实数 m 的最大值，即求圆 C 上的点 P 与原点 O 之间距离的最大值因为 OC32425，所以 OPmaxOCr6，即实数 m 的最大值为 6.7在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线 mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_答案(x1)2y22解析直线 mxy2m10 恒过定点(2，1)，圆心(1,0)到直线 mxy2m10 的最大距离为 d212122，半径最大为2，半径最大的圆的标准方程为(x1)2y22.

7、8圆过点 A(1，2)，B(1,4)，则周长最小的圆的方程为_答案x2y22y90解析当 AB 为直径时，过 A，B 的圆的半径最小，从而周长最小即 AB 的中点(0,1)为圆心，半径 r12AB10.则圆的方程为 x2(y1)210，即 x2y22y90.9已知 M 为圆 C：x2y24x14y450 上任意一点，且点 Q(2,3)(1)求 MQ 的最大值和最小值；(2)若 M(m，n)，求n3m2的最大值和最小值解(1)由圆 C 的方程 x2y24x14y450 化为标准方程得(x2)2(y7)28，圆心 C 的坐标为(2,7)，半径 r22，又 QC22273242，MQmax42226

8、2，MQmin422222.(2)由题可知n3m2表示直线 MQ 的斜率，设直线 MQ 的方程为 y3k(x2)，即 kxy2k30，则n3m2k.由直线 MQ 与圆 C 有交点，得|2k72k3|1k222，可得 23k23，n3m2的最大值为 23，最小值为 23.10已知直线 l：3x4y10，一个圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴都相切，且圆心 C 到直线l 的距离为 3.(1)求圆的方程；(2)P 是直线 l 上的动点，PE，PF 是圆的两条切线，E，F 分别为切点，求四边形 PECF 的面积的最小值解(1)圆与 x，y 轴正半轴都相切，圆的方程可设为(xa)2(ya)2a2(a0)，

9、圆心 C 到直线的距离为 3，由点到直线的距离公式，得 d|3a4a1|32423，解得 a2，半径为 2.圆的方程为(x2)2(y2)24.(2)PE，PF 是圆的两条切线，E，F 分别为切点，PCEPCF，S四边形 PECF2SPCE，PE 是圆的切线，且 E 为切点，PECE，CE2，PE2PC2CE2PC24，当斜边 PC 取最小值时，PE 也最小，即四边形 PECF 的面积最小PCmin即为 C 到 l 的距离，由(1)知 PCmin3，PE2min3245，即 PEmin5，SPCE12ECPE12255，四边形 PECF 面积的最小值为 25.11已知点 P 是直线 l：3x4y

10、70 上的动点，过点 P 引圆 C：(x1)2y2r2(r0)的两条切线 PM，PN，M，N 为切点，则当 PM 的最小值为3时，r 的值为()A2 B.3 C.2 D1答案D解析如图，由题意得 PM2PC2r2，当 PCl 时，PC 最小时，PM 最小由题意得 PCmind|3 14 07|32422，所以(3)222r2，所以 r1.12已知圆 C：x2y22x4y10 关于直线 l：3ax2by40 对称，则由点 M(a，b)向圆 C 所作的切线中，切线长的最小值是()A2 B.5 C3 D.13答案B解析因为圆 C：x2y22x4y10，即圆 C：(x1)2(y2)24，所以圆心为 C

11、(1，2)，半径 R2.因为圆 C 关于直线 l：3ax2by40 对称，所以 l：3a4b40，所以点 M(a，b)在直线 l1：3x4y40 上，所以 MC 的最小值为 d|384|53，切线长的最小值为d2R2945.13已知圆 C：(xa)2(ya)21(a0)与直线 y3x 相交于 P，Q 两点，则当CPQ 的面积最大时，实数 a 的值为_答案52解析圆 C：(xa)2(ya)21(a0)的圆心为(a，a)，半径为 1，圆心到直线 y3x 的距离 d2a10，PQ21(2a10)22104a210，所以CPQ 的面积 S122a102104a21010a24a45.当 a254时，1

12、0a24a4取得最大值，且最大值为 10544(54)2254，所以CPQ 的面积 S 的最大值为12，此时 a52.14已知实数 x，y 满足方程 yx24x1，则yx的取值范围是_答案0，3解析方程 yx24x1化为(x2)2y23(y0)，表示的图形是一个半圆，令yxk，即 ykx，如图所示，当直线与半圆相切时，k3，所以yx的取值范围是0，315已知点 P(x，y)是直线 kxy40(k0)上一动点，PA，PB 是圆 C：x2y22y0 的两条切线，A，B 是切点，若四边形 PACB 的最小面积是 2，则 k_.答案2解析圆 C：x2y22y0 的圆心为 C(0,1)，半径 r1，由圆

13、的性质可知，四边形的面积 S2SPBC，又四边形 PACB 的最小面积是 2，则 SPBC的最小值为S112r(PBmin)12PBmin，则 PBmin2，因为 PBPC2r2PC21，所以当 PC 取最小值时，PB 最小又点 P(x，y)是直线 kxy40 上的动点，当 CP 垂直于直线 kxy40 时，PC 最小，即为圆心 C(0,1)到直线的距离，所以|14|k2122125，解得 k2，因为 k0，所以 k2.16在ABO 中，OB3，OA4，AB5，P 是ABO 的内切圆上的一点，求分别以 PA，PB，PO 为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值解建立如图所示的平面直角坐标系，使

14、 A，B，O 三点的坐标分别为 A(4,0)，B(0,3)，O(0,0)设AOB 的内切圆的半径为 r，点 P 的坐标为 P(x，y)，则 2rABOAOB，求得 r1，又可求得内切圆的圆心为(1,1)，所以内切圆的方程为(x1)2(y1)21，即 x2y22x2y10，又 PA2PB2PO2(x4)2y2x2(y3)2x2y23x23y28x6y25.将代入，得 PA2PB2PO22x22.因为 P(x，y)是内切圆上的点，则 0 x2，所以 PA2PB2PO2的最大值为 22，最小值为 18.又三个圆的面积之和为(PA2)2(PB2)2(PO2)24(PA2PB2PO2)，所以分别以 PA

15、，PB，PO 为直径的三个圆的面积之和的最大值为112，最小值为92.苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题2017年7月我国首座海上风电平台4G基站在黄海建成，信号覆盖范围达60公里.一艘船由于机械故障在海上遇险，想要求救，却发现手机没有信号.已知基站在海面上的信号覆盖范围是以基站为圆心的一个圆及其内部区域，那么船到达信号区域的最短路程是多少呢？导导 语语一、与距离有关的最值问题一、与距离有关的最值问题已知圆心到直线(或圆外一点)的距离为d，圆的半径为r.1.圆外一点到圆上任意一点距离的最小值 ，最大值 .知识梳理知识梳理2.直线与圆相离，圆上任意一点到直线

16、距离的最小值 ，最大值 .drdrdrdr3.过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值 ，最大值 .2r4.直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值 .例1已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别为圆C1，圆C2上的点，P为x轴上的动点，则PMPN的最小值为解析如图所示，圆C1关于x轴对称的圆的圆心坐标为A(2，3)，半径为1，圆C2的圆心坐标为(3,4)，半径为3.设M为点M关于x轴对称的点，由图象可知，当P，M，N三点共线时，PMPNPMPN取得最小值，且PMPN的最小值为圆A与圆C2的连心线的长减去两个圆的半径之和，反思感悟(1)形如(x

17、a)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.(2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值.跟踪训练1已知圆C：(x1)2(y2)225，直线l：(2m1)x(m1)y7m40，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为解析圆C：(x1)2(y2)225的圆心坐标为C(1,2)，半径为5，由直线l：(2m1)x(m1)y7m40，得m(2xy7)xy40，直线l过定点P(3,1)，又点P(3,1)在圆内部，则当直线l与线段PC垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小，二、与面积相关的最值问题二、与面积相关的最值问题例

18、2已知点O(0,0)，A(0,2)，点M是圆(x3)2(y1)24上的动点，则OAM面积的最小值为A.1 B.2 C.3 D.4解析根据题意，得圆(x3)2(y1)24的圆心为(3，1)，半径r2，O(0,0)，A(0,2)，OA所在的直线是y轴，当M到直线AO的距离最小时，OAM的面积最小，则M到直线AO的距离的最小值d321，反思感悟求圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解.跟跟踪踪训训练练2直线ykx3与圆O：x2y21相交于A，B两点，则OAB面积的最大值

19、为解析设圆心到直线的距离为d(0d0).若圆C上存在点P，使得APB90，则实数m的最大值为A.7 B.6 C.5 D.412345678910 11 12 13 14 15 16解析根据题意，画出示意图，如图所示，圆心C的坐标为(3,4)，半径r1，且AB2m.连接OP，因为APB90，要求实数m的最大值，即求圆C上的点P与原点O之间距离的最大值.所以OPmaxOCr6，即实数m的最大值为6.12345678910 11 12 13 14 15 167.在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_.解析直线mxy2m1

20、0恒过定点(2，1)，(x1)2y22半径最大的圆的标准方程为(x1)2y22.12345678910 11 12 13 14 15 168.圆过点A(1，2)，B(1,4)，则周长最小的圆的方程为_.解析当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小.即AB的中点(0,1)为圆心，x2y22y90则圆的方程为x2(y1)210，即x2y22y90.9.已知M为圆C：x2y24x14y450上任意一点，且点Q(2,3).(1)求MQ的最大值和最小值；解由圆C的方程x2y24x14y450化为标准方程得(x2)2(y7)28，12345678910 11 12 13 14 15 16123

21、45678910 11 12 13 14 15 16设直线MQ的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1610.已知直线l：3x4y10，一个圆与x轴正半轴、y轴正半轴都相切，且圆心C到直线l的距离为3.(1)求圆的方程；解圆与x，y轴正半轴都相切，圆的方程可设为(xa)2(ya)2a2(a0)，圆心C到直线的距离为3，解得a2，半径为2.圆的方程为(x2)2(y2)24.12345678910 11 12 13 14 15 16(2)P是直线l上的动点，PE，PF是圆的两条切线，

22、E，F分别为切点，求四边形PECF的面积的最小值.解PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点，PCEPCF，S四边形PECF2SPCE，PE是圆的切线，且E为切点，PECE，CE2，PE2PC2CE2PC24，当斜边PC取最小值时，PE也最小，即四边形PECF的面积最小.PCmin即为C到l的距离，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16综合运用11.已知点P是直线l：3x4y70上的动点，过点P引圆C：(x1)2y2r2(r0)的两条切线PM，PN，M，N为切点，则当PM的最小值为 时，r的值为1234567891

23、0 11 12 13 14 15 16解析如图，由题意得PM2PC2r2，当PCl时，PC最小时，PM最小.12.已知圆C：x2y22x4y10关于直线l：3ax2by40对称，则由点M(a，b)向圆C所作的切线中，切线长的最小值是解析因为圆C：x2y22x4y10，即圆C：(x1)2(y2)24，所以圆心为C(1，2)，半径R2.因为圆C关于直线l：3ax2by40对称，所以l：3a4b40，所以点M(a，b)在直线l1：3x4y40上，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1613.已知圆C：(xa)2(ya)21(

24、a0)与直线y3x相交于P，Q两点，则当CPQ的面积最大时，实数a的值为_.解析圆C：(xa)2(ya)21(a0)的圆心为(a，a)，半径为1，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.已知点P(x，y)是直线kxy40(k0)上一动点，PA，PB是圆C：x2y22y0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k_.212345678910 11 12 13 14 15 16解析圆C：x2y22y0的圆心为C(0,1)，半径r1，

25、由圆的性质可知，四边形的面积S2SPBC，又四边形PACB的最小面积是2，则PBmin2，所以当PC取最小值时，PB最小.12345678910 11 12 13 14 15 16又点P(x，y)是直线kxy40上的动点，当CP垂直于直线kxy40时，PC最小，即为圆心C(0,1)到直线的距离，解得k2，因为k0，所以k2.12345678910 11 12 13 14 15 1616.在ABO中，OB3，OA4，AB5，P是ABO的内切圆上的一点，求分别以PA，PB，PO为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值.12345678910 11 12 13 14 15 16解建立如图所示的平面直角坐标系，使A，B，O三点的坐标分别为A(4,0)，B(0,3)，O(0,0).设AOB的内切圆的半径为r，点P的坐标为P(x，y)，则2rABOAOB，求得r1，又可求得内切圆的圆心为(1,1)，所以内切圆的方程为(x1)2(y1)21，即x2y22x2y10，又PA2PB2PO2(x4)2y2x2(y3)2x2y23x23y28x6y25.12345678910 11 12 13 14 15 16将代入，得PA2PB2PO22x22.因为P(x，y)是内切圆上的点，则0 x2，所以PA2PB2PO2的最大值为22，最小值为18.