苏教版高一数学选择性必修一第2章2.1第3课时《轨迹问题》教案及课件.zip

1、第第 3 课时轨迹问题课时轨迹问题学习目标 1.掌握定义法求圆的方程.2.掌握直接法求圆的方程.3 理解相关的方法(代入法)求轨迹方程一、定义法求轨迹方程例 1已知圆 x2y21，点 A(1,0)，ABC 内接于圆，且BAC60，当 B，C 在圆上运动时，BC 中点 D 的轨迹方程是()Ax2y212Bx2y214Cx2y212(x 12)Dx2y214(x 14)答案D解析如图所示，因为BAC60，又因为圆周角等于圆心角的一半，所以BOC120，又 D 为 BC 的中点，OBOC，所以BOD60，在 RtBOD 中，有 OD12OB12，故中点 D 的轨迹方程是 x2y214，如图，由BAC

2、 的极限位置可得，x0，1)的点 M 的轨迹是圆若两定点 A，B 的距离为3，动点 M 满足 MA2MB，则 M 点的轨迹围成区域的面积为()A B2 C3 D4答案D解析以 A 点为原点，直线 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系，则可取 B(3,0)设 M(x，y)，依题意有，x2y2x32y22，化简整理得，x2y28x120，即(x4)2y24，圆的面积为4.3已知圆 C：(xa)2(yb)21 过点 A(1,0)，则圆 C 的圆心的轨迹是()A点 B直线C线段 D圆答案D解析圆 C：(xa)2(yb)21 过点 A(1,0)，(1a)2(0b)21，(a1)2b21，圆 C 的圆心的轨

3、迹是以(1,0)为圆心，1 为半径的圆4已知 A，B 是圆 O：x2y216 上的两点，且 AB6，若以 AB 为直径的圆 M 恰好经过点C(1，1)，则圆心 M 的轨迹方程是()A(x2)2(y1)29B(x1)2(y1)29C(x1)2(y1)29D(x1)2(y1)29答案B解析设圆心 M 的坐标为(x，y)，则(x1)2(y1)2(AB2)2，即(x1)2(y1)29.5已知两定点 A(2,0)，B(1,0)，若动点 P 满足 PA2PB，则 P 的轨迹为()A直线 B线段C圆 D半圆答案C解析设点 P 的坐标为(x，y)，A(2,0)，B(1,0)，动点 P 满足 PA2PB，x22

4、y22 x12y2，两边平方得(x2)2y24(x1)2y2，即(x2)2y24.P 的轨迹为圆6.如图，已知线段 AB 的中点 C 的坐标是(4,3)，端点 A 在圆(x1)2y24 上运动，则线段 AB的端点 B 的轨迹方程为()A(x9)2(y6)24B(x6)2(y9)24C(x6)2(y9)24D(x9)2(y6)24答案A解析设 B 点坐标是(x，y)，点 A 的坐标是(x0，y0)，由于点 C 的坐标是(4,3)且点 C 是线段 AB的中点，所以 4x0 x2，3y0y2，于是有 x08x，y06y.因为点 A 在圆(x1)2y24 上运动，所以点 A 的坐标满足方程(x1)2y

5、24，即(x01)2y2 04，把代入，得(8x1)2(6y)24，整理，得(x9)2(y6)24.所以点 B 的轨迹方程为(x9)2(y6)24.7.已知圆 O：x2y24 及一点 P(1,0)，Q 在圆 O 上运动一周，PQ 的中点 M 形成轨迹 C，则轨迹 C 的方程为_答案(x12)2y21解析设 M(x，y)，则 Q(2x1,2y)，因为 Q 在圆 x2y24 上，所以(2x1)24y24，即(x12)2y21，所以轨迹 C 的方程是(x12)2y21.8圆 x2y28 内有一点 P(2，1)，AB 为过点 P 的弦，则 AB 的中点 Q 的轨迹方程为_答案x2y2y2x0解析设 A

6、B 的中点为 Q(x，y)，则 AB 的斜率为 ky1x2，又 OQAB，所以 kOQk1，即yxy1x21，整理得 x2y2y2x0，所以点 Q 的轨迹方程为 x2y2y2x0.9已知两个定点的距离为 6，点 M 到这两个定点的距离的平方和为 26，求点 M 的轨迹方程解以两定点 A，B 所在直线为 x 轴，线段 AB 的中垂线为 y 轴，建立平面直角坐标系，设 A(3,0)，B(3,0)，M(x，y)，则 MA2MB226.(x3)2y2(x3)2y226.化简得 M 点的轨迹方程为 x2y24.10已知圆(x1)2y22 上动点 A，x 轴上定点 B(2,0)，将 BA 延长到 M，使

7、AMBA，求动点 M 的轨迹方程解设 A(x1，y1)，M(x，y)，AMBA，且 M 在 BA 的延长线上，A 为线段 MB 的中点由中点坐标公式得Error!A 在圆上运动，将点 A 的坐标代入圆的方程，得(x221)2(y2)22，化简得(x4)2y28，点 M 的轨迹方程为(x4)2y28.11等腰三角形 ABC 中，若一腰的两个端点分别是 A(4,2)，B(2,0)，A 为顶点，则另一腰的一个端点 C 的轨迹方程是()Ax2y28x4y0Bx2y28x4y200(x2，x10)Cx2y28x4y200(x2，x10)Dx2y28x4y200(x2，x10)答案B解析设另一腰的一个端点

8、 C 的坐标为(x，y)，由题设条件知(x4)2(y2)240，x10，x2.整理，得 x2y28x4y200(x10，x2)12已知ABC 的顶点 A(0,0)，B(4,0)，且 AC 边上的中线 BD 的长为 3，则顶点 C 的轨迹方程是_答案(x8)2y236(y0)解析设 C(x，y)(y0)，则 D(x2，y2).B(4,0)，且 AC 边上的中线 BD 长为 3，(x24)2(y2)29，即(x8)2y236(y0)13存在如下结论：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆现已知在平面直角坐标系中 A(2,0)，B(2,0)，动点 P 满足 PAPB(0)，若点 P 的

9、轨迹为一条直线，则 _；若 2，则点 P 的轨迹方程为_答案1x2y2203x40解析设 P(x，y)，由 PAPB，可得 x22y2 x22y2，两边平方，整理得点 P的轨迹方程为(12)x2(12)y24(12)x4420.若该方程表示直线，则Error!解得 1 或 1(舍去)若 2，则点 P 的轨迹方程为 3x23y220 x120，即 x2y2203x40.14已知ABC 的边 AB 的长为 4，若 BC 边上的中线为定长 3，则顶点 C 的轨迹方程为_答案(x6)2y236(y0)解析以直线 AB 为 x 轴，AB 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系(如图)，则 A(2,0)，B

10、(2,0)，设 C(x，y)，BC 的中点 D(x0，y0)Error!AD3，(x02)2y2 09.将代入，整理得(x6)2y236.点 C 不能在 x 轴上，y0.综上，点 C 的轨迹是以(6,0)为圆心，6 为半径的圆，去掉(12,0)和(0,0)两点轨迹方程为(x6)2y236(y0)15在 RtABC 中，ABC90，AB2 3，BC4.在ABD 中，ADB120，则 CD 的取值范围是()A2 72,2 72 B(4,2 32C2 72,2 32 D2 32,2 32答案C解析以点 B 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，BC 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 B(0,

11、0)，A(2 3，0)，C(0,4)设 D(x，y)，因为ADB120，所以由题易知点 D 可能在直线 AB 的上方，也可能在直线 AB的下方当点 D 在直线 AB 的上方时，直线 BD 的斜率 k1yx，直线 AD 的斜率 k2yx2 3.由两直线的夹角公式可得 tan 120tan 60k2k11k2k1，即 3yx2 3yx1yx2 3yx，化简整理得(x 3)2(y1)24，可得点 D 的轨迹是以点 M(3，1)为圆心，以 r2 为半径的圆，且点 D 在 AB 的上方，所以是圆在 AB 上方的劣弧部分，此时 CD 的最短距离为 CMr 3241222 72.当点 D 在直线 AB 的下

12、方时，同理可得点 D 的轨迹方程为(x 3)2(y1)24，此时点 D 的轨迹是以点 N(3，1)为圆心，以 r2 为半径的圆，且点 D 在 AB 的下方，所以是圆在 AB 下方的劣弧部分，此时 CD 的最大距离为 CNr 3241222 32.所以 CD 的取值范围为2 72,2 3216已知圆 O：x2y24，直线 l1的方程为(12m)x(m1)y3m0.若直线 l1过定点 P，点 M，N 在圆 O 上，且 PMPN，Q 为线段 MN 的中点，求点 Q 的轨迹方程解直线 l1的方程为(12m)x(m1)y3m0，即(xy)m(2xy3)0，则有Error!解得Error!即点 P 的坐标

13、为(1,1)因为点 M，N 在圆 O 上，且 PMPN，Q 为线段 MN 的中点，则 MN2PQ，设 MN 的中点 Q(x，y)，则 OM2OQ2MQ2OQ2PQ2，即 4x2y2(x1)2(y1)2，化简可得(x12)2(y12)232，即为点 Q 的轨迹方程苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件轨迹问题轨迹问题一、定义法求轨迹方程一、定义法求轨迹方程例1已知圆x2y21，点A(1,0)，ABC内接于圆，且BAC60，当B，C在圆上运动时，BC中点D的轨迹方程是解析如图所示，因为BAC60，又因为圆周角等于圆心角的一半，所以BOC120，又D为BC的中点，OBOC，所以BOD60，在RtBOD

14、中，反思感悟(1)当动点满足到定点距离等于定长时，直接求圆心、半径得圆的方程.(2)注意轨迹与轨迹方程不同.跟踪训练1长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为_.解析设M(x，y)，因为AOB是直角三角形，x2y29故M的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆，故x2y29即为所求.二、直接法求轨迹方程二、直接法求轨迹方程例2点A(2,0)是圆x2y24上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点.若PBQ90，求线段PQ的中点N的轨迹方程.解设线段PQ的中点为N(x，y)，在RtPBQ中，PNBN.设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ONPQ

15、，OP2ON2PN2ON2BN2，x2y2(x1)2(y1)24，故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2y2xy10.反思感悟直接法求轨迹方程的两种常见类型及解题策略直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标(x，y)，然后根据题目中的等量关系列出x，y之间的关系并化简.主要有以下两类常见题型.(1)题目给出等量关系，求轨迹方程.可直接代入即可得出方程.(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程.可利用已知条件寻找等量关系，得出方程.提醒：求出曲线的方程后要注意验证方程的纯粹性和完备性.跟跟踪踪训训练练2点A(2,0)是圆x2y24上的定点，点B(1,1)是圆内一点.求过点B的弦的中点T的轨迹方程.解设T

16、(x，y).因为点T是弦的中点，所以OTBT.当斜率存在且不为0时，有kOTkBT1.整理得x2y2xy0.当x0或1时，点(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)也都在圆上.故所求轨迹方程为x2y2xy0.三、代入法求轨迹方程三、代入法求轨迹方程例3已知动点M在曲线x2y21上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程.解设P(x，y)，M(x0，y0)，P为MB的中点，又M在曲线x2y21上，(2x3)24y21，P点的轨迹方程为(2x3)24y21.反思感悟代入法求解曲线方程的步骤(1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0).(3)代入相关动点的轨迹方程.(4

17、)化简、整理，得所求轨迹方程.其步骤可总结为“一设、二找、三代、四整理”.跟跟踪踪训训练练3设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM，ON(O为坐标原点)为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程.解如图所示，连接OP，MN.因为平行四边形的对角线互相平分，又点N(x0，y0)在圆x2y24上，所以(x3)2(y4)24，即所求点P的轨迹方程为(x3)2(y4)24，1.知识清单：(1)定义法求轨迹方程.(2)直接法求轨迹方程.(3)代入法求轨迹方程.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：将求轨迹方程与求轨迹弄混.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.若RtABC的斜边的两端点A

18、，B的坐标分别为(3,0)和(7,0)，则直角顶点C的轨迹方程为A.x2y225(y0)B.x2y225C.(x2)2y225(y0)D.(x2)2y2251234解析线段AB的中点为(2,0)，因为ABC为直角三角形，C为直角顶点，1234即(x2)2y225(y0).12342.点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是A.(x2)2(y1)21B.(x2)2(y1)24C.(x4)2(y2)24D.(x2)2(y1)211234解析设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，即(2x4)2(2y2)24，化简得(x2)2(y1)21.12343.已知动点M到

19、点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，则点M的轨迹方程是_.整理可得点M的轨迹方程为x2y216.x2y21612344.设圆x2y24x2y110的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是_.解析由条件知A(2，1)，设M(x，y)，则P(2x2,2y1)，由于P在圆上，(2x2)2(2y1)24(2x2)2(2y1)110，整理得x2y24x2y10.x2y24x2y10课时对点练课时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 161.已知M(2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是A.x2y24B.x2y2

20、4C.x2y24(x2)D.x2y24(x2)解析设P(x，y)，由条件知PMPN，且PM，PN的斜率肯定存在，故kMPkNP1.即x2y24，又当P，M，N三点共线时，不能构成三角形，所以x2，即所求轨迹方程为x2y24(x2).2.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线论中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数(0，1)的点M的轨迹是圆.若两定点A，B的距离为3，动点M满足MA2MB，则M点的轨迹围成区域的面积为A.B.2 C.3 D.4解析以A点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则可取B(3,0).化简整理得，x2y28x120，即(x4)2y24，圆的面积

21、为4.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 163.已知圆C：(xa)2(yb)21过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是A.点 B.直线C.线段 D.圆解析圆C：(xa)2(yb)21过点A(1,0)，(1a)2(0b)21，(a1)2b21，圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径的圆.4.已知A，B是圆O：x2y216上的两点，且AB6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，1)，则圆心M的轨迹方程是A.(x2)2(y1)29B.(x1)2(y1)29C.(x1)2(y1)29D.(x1)2(y1)29解析设

22、圆心M的坐标为(x，y)，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 165.已知两定点A(2,0)，B(1,0)，若动点P满足PA2PB，则P的轨迹为A.直线 B.线段C.圆 D.半圆解析设点P的坐标为(x，y)，A(2,0)，B(1,0)，动点P满足PA2PB，即(x2)2y24.P的轨迹为圆.12345678910 11 12 13 14 15 166.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x1)2y24上运动，则线段AB的端点B的轨迹方程为A.(x9)2(y6)24B.(x6)2(y9)24C.(x

23、6)2(y9)24D.(x9)2(y6)24解析设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点，于是有x08x，y06y.因为点A在圆(x1)2y24上运动，所以点A的坐标满足方程(x1)2y24，把代入，得(8x1)2(6y)24，整理，得(x9)2(y6)24.所以点B的轨迹方程为(x9)2(y6)24.12345678910 11 12 13 14 15 167.已知圆O：x2y24及一点P(1,0)，Q在圆O上运动一周，PQ的中点M形成轨迹C，则轨迹C的方程为_.解析设M(x，y)，则Q(2x1,2y)，因为Q在圆x2y24上，12

24、345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 168.圆x2y28内有一点P(2，1)，AB为过点P的弦，则AB的中点Q的轨迹方程为_.解析设AB的中点为Q(x，y)，x2y2y2x0所以kOQk1，所以点Q的轨迹方程为x2y2y2x0.12345678910 11 12 13 14 15 169.已知两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹方程.解以两定点A，B所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，设A(3,0)，B(3,0)，M(x，y)，则MA2MB226.(x3)2y2(x

25、3)2y226.化简得M点的轨迹方程为x2y24.12345678910 11 12 13 14 15 1610.已知圆(x1)2y22上动点A，x轴上定点B(2,0)，将BA延长到M，使AMBA，求动点M的轨迹方程.解设A(x1，y1)，M(x，y)，AMBA，且M在BA的延长线上，A为线段MB的中点.A在圆上运动，将点A的坐标代入圆的方程，化简得(x4)2y28，点M的轨迹方程为(x4)2y28.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16综合运用11.等腰三角形ABC中，若一腰的两个端点分别是A(4,2)，B(2,0

26、)，A为顶点，则另一腰的一个端点C的轨迹方程是A.x2y28x4y0B.x2y28x4y200(x2，x10)C.x2y28x4y200(x2，x10)D.x2y28x4y200(x2，x10)12345678910 11 12 13 14 15 16解析设另一腰的一个端点C的坐标为(x，y)，由题设条件知(x4)2(y2)240，x10，x2.整理，得x2y28x4y200(x10，x2).12345678910 11 12 13 14 15 1612.已知ABC的顶点A(0,0)，B(4,0)，且AC边上的中线BD的长为3，则顶点C的轨迹方程是_.B(4,0)，且AC边上的中线BD长为3，

27、(x8)2y236(y0)即(x8)2y236(y0).12345678910 11 12 13 14 15 1613.存在如下结论：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.现已知在平面直角坐标系中A(2,0)，B(2,0)，动点P满足PAPB(0)，若点P的轨迹为一条直线，则_；若2，则点P的轨迹方程为_.1解析设P(x，y)，由PAPB，两边平方，整理得点P的轨迹方程为(12)x2(12)y24(12)x4420.若2，则点P的轨迹方程为3x23y220 x120，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15

28、1614.已知ABC的边AB的长为4，若BC边上的中线为定长3，则顶点C的轨迹方程为_.(x6)2y236(y0)12345678910 11 12 13 14 15 16解析以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图)，则A(2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC的中点D(x0，y0).将代入，整理得(x6)2y236.点C不能在x轴上，y0.12345678910 11 12 13 14 15 16综上，点C的轨迹是以(6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(12,0)和(0,0)两点.轨迹方程为(x6)2y236(y0).拓广探究12345678910 11 12 1

29、3 14 15 16解析以点B为坐标原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设D(x，y)，因为ADB120，所以由题易知点D可能在直线AB的上方，也可能在直线AB的下方.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16以r2为半径的圆，且点D在AB的上方，所以是圆在AB上方的劣弧部分，12345678910 11 12 13 14 15 16以r2为半径的圆，且点D在AB的下方，所以是圆在AB下方的劣弧部分，当点D在直线AB的下方时，12345678910 11 12 13 14 15 1616.已知圆O：x2y24，直线l1的方程为(12m)x(m1)y3m0.若直线l1过定点P，点M，N在圆O上，且PMPN，Q为线段MN的中点，求点Q的轨迹方程.解直线l1的方程为(12m)x(m1)y3m0，即(xy)m(2xy3)0，即点P的坐标为(1,1).因为点M，N在圆O上，且PMPN，Q为线段MN的中点，则MN2PQ，设MN的中点Q(x，y)，则OM2OQ2MQ2OQ2PQ2，即4x2y2(x1)2(y1)2，12345678910 11 12 13 14 15 16