苏教版高中数学选择性必修一第4章习题课《等差数列的综合问题》教案及课件.zip

1、习题课等差数列的综合问题习题课等差数列的综合问题学习目标 1.体会等差数列与一元一次函数的关系.2.掌握等差数列判断与证明的方法.3.能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用导语当数列是等差数列时，可以根据公式进行一些计算，但对数列来说，如何判断是否为等差数列呢？一、等差数列的通项公式与函数的关系问题 1观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？提示由于 ana1(n1)ddn(a1d)，故 an是函数 f(x)dx(a1d)当 xn 时的函数值，即 anf(n)，点(n，an)则是函数 f(x)dx(a1d)图象上的均匀分布的孤立的点，而 d 是直线f(x)dx(a1d)的斜

2、率，记为 dana1n1(n2)，实际上，如果已知直线上任意两点(n，an)，(m，am)，由斜率的公式可知 danamnm，公差 d 的符号决定了数列的单调性，d0 时，数列an为递增数列，d0 时，数列an为常数列，d0 时，数列an为递增数列，d0 时，数列an为常数列，d0，a811)，记 bn1an2”(1)试证明数列bn为等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明bn1bn1an121an21(44an)21an2an2an21an2an22an212.又 b11a1212，数列bn是首项为12，公差为12的等差数列(2)解由(1)知 bn12(n1)1212n.bn1an2，

3、an1bn22n2.数列an的通项公式为 an2n2，nN*.反思感悟判断等差数列的方法(1)定义法an1and(nN*)或 anan1d(n2，nN*)数列an是等差数列.(2)等差中项法2an1anan2(nN*)数列an为等差数列(3)通项公式法数列an的通项公式形如 anpnq(p，q 为常数)数列an为等差数列跟踪训练 2已知数列an满足(an11)(an1)3(anan1)，a12，令 bn1an1.(1)证明：数列bn是等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明1an111an1anan1an11an113，bn1bn13，又 b11a111，bn是首项为 1，公差为13的等

4、差数列(2)解由(1)知 bn13n23，an13n2，ann5n2.三、等差数列的实际应用例 3有一批电视机原销售价为每台 800 元，在甲、乙两家家电商场均有销售甲商场用如下方法促销：买一台单价为 780 元，买两台单价为 760 元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少 20 元，但每台最少不低于 440 元；乙商场一律按原价的 75%销售某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？解设某单位需购买电视机 n 台，在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列an，an780(n1)(20)20n800，由 an20n800440，得 n18，即购买台数不超过 18 台

5、时，每台售价(80020n)元，购买台数超过 18 台时，每台售价 440元到乙商场购买时，每台售价为 80075%600(元)比较在甲、乙两家家电商场的费用(80020n)n600n20n(10n)当 n600n，到乙商场购买花费较少；当 n10 时，(80020n)n600n，到甲、乙商场购买花费相同；当 10n18 时，(80020n)n18 时，440na1，则 a3a1B若 a2a1，则 a3a2C若 a3a1，则 a2a1D若 a2a1，则 a1a2a1答案D解析利用等差数列的单调性可得，若 a2a1，则公差 d0，所以等差数列an是递增数列，所以 a3a12d0，a3a2d0 成

6、立，所以 A，B 正确；若 a3a1，则 a3a12d0，所以 a2a1d0 成立，所以 C 正确；a1a2a1不一定成立，例如 a10，解得 n25.5，nN*，n26，故从第 26 项开始值大于零8已知在数列an中，a11 且1an11an13(nN*)，则 a10_.答案14解析由1an11an13，得1an11an13，数列1an是以1a11 为首项，以13为公差的等差数列，则1an113(n1)n23，an3n2，则 a1031214.9画出数列 anError!Error!的图象，并求经过图象上所有点的直线的斜率解画出图象如图所示由图象可得，直线的斜率 k1.10已知数列an满足

7、an16an4an2，且 a13(nN*)(1)证明：数列1an2是等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明由1an1216an4an22an26an42an2an24an8an244an21an214，得1an121an214，故数列1an2是首项为 1，公差为14的等差数列(2)解由(1)知1an21a12(n1)14n34，所以 an2n10n3，nN*.11设an是等差数列，则“a1a20，所以数列an是递增数列，充分性成立；若数列an是递增数列，则必有 a1a2820，解得 n425.由于nN*，则 n9.所以该市在 2029 年新建住房的面积开始大于 820 万平方米14已知

8、数列an满足 a11，若点(ann，an1n1)在直线 xy10 上，则 an_.答案n2(nN*)解析由题设可得annan1n110，即an1n1ann1，所以数列ann是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，故通项公式为annn，所以 ann2(nN*)15数学著作孙子算经中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以 3余 2)，五五数之剩三(除以 5 余 3)，问物几何？”现将 1 到 2 021 共 2 021 个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列an，则该数列共有()A132 项 B133 项 C134 项 D135 项答案

9、D解析被 3 除余 2 且被 5 除余 3 的数构成首项为 8，公差为 15 的等差数列，记为an，则 an815(n1)15n7，令 an15n72 021，解得 n135315，所以该数列的项数共有 135 项16如果数列an满足“对任意正整数 i，j，ij，都存在正整数 k，使得 akaiaj”，则称数列an具有“性质 P”，已知数列an是无穷项的等差数列，公差为 d.(1)试写出一个具有“性质 P”的等差数列；(2)若 a12，公差 d3，判断数列an是否具有“性质 P”，并说明理由解(1)an2n1.(2)若 a12，公差 d3，则数列an不具有性质 P.理由如下：由题知 an3n1

10、，对于 a1和 a2，假设存在正整数 k，使得 aka1a2，则有 3k12510，解得 k113，矛盾，所以对任意的 kN*，aka1a2.故an不具有性质 P.苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件等差数列的综合问题等差数列的综合问题当数列是等差数列时，可以根据公式进行一些计算，但对数列来说，如何判断是否为等差数列呢？导导 语语一、等差数列的通项公式与函数的关系一、等差数列的通项公式与函数的关系问题1观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？提示由于ana1(n1)ddn(a1d)，故an是函数f(x)dx(a1d)当xn时的函数值，即anf(n)，点(n，an)则是函数f

11、(x)dx(a1d)图象上的均匀分布的孤立的点，实际上，如果已知直线上任意两点(n，an)，(m，am)，若数列an是等差数列，首项为a1，公差为d，则anf(n)a1(n1)dnd(a1d).(1)点(n，an)落在直线ydx(a1d)上，这条直线的斜率为 ，在y轴上的截距为 ；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加 .知识梳理知识梳理a1dddan是关于n的一次函数，a0.0反思感悟熟练掌握等差数列是关于n的一次函数这一结构特征，并且公差d是一次项系数，它的符号决定了数列的单调性，d0时，数列为递增数列，d0时，数列 为常数列，d0，a810.数列中第一个负数项是第8项.二、等差数列的判

12、定与证明二、等差数列的判定与证明问题2如果一个数列的前有限项是等差数列，那么这个数列是等差数列吗？提示不一定，证明一个数列是等差数列，一定要体现出任意性.证明等差数列的方法(1)定义法：anan1d(n2).(2)等差中项法：2anan1an1(n2).(3)通项公式法：ana1(n1)d.知识梳理知识梳理(2)求an.(1)试证明数列bn为等差数列；(2)求数列an的通项公式.反思感悟判断等差数列的方法(1)定义法an1and(nN*)或anan1d(n2，nN*)数列an是等差数列.(2)等差中项法2an1anan2(nN*)数列an为等差数列.(3)通项公式法数列an的通项公式形如anp

13、nq(p，q为常数)数列an为等差数列.跟跟踪踪训训练练2已知数列an满足(an11)(an1)3(anan1)，a12，令bn .(1)证明：数列bn是等差数列；(2)求数列an的通项公式.三、等差数列的实际应用三、等差数列的实际应用例3有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？解设某单位需购买电视机n台，在甲商场购买时，所买电视机的售价构成

14、等差数列an，an780(n1)(20)20n800，由an20n800440，得n18，即购买台数不超过18台时，每台售价(80020n)元，购买台数超过18台时，每台售价440元.到乙商场购买时，每台售价为80075%600(元).比较在甲、乙两家家电商场的费用(80020n)n600n20n(10n).当n600n，到乙商场购买花费较少；当n10时，(80020n)n600n，到甲、乙商场购买花费相同；当10n18时，(80020n)n18时，440na1，则a3a1B.若a2a1，则a3a2C.若a3a1，则a2a1D.若a2a1，则a1a2a112345678910 11 12 13

15、 14 15 16解析利用等差数列的单调性可得，若a2a1，则公差d0，所以a3a12d0，a3a2d0成立，所以A，B正确；若a3a1，则a3a12d0，所以a2a1d0成立，所以C正确；a1a2a1不一定成立，例如a10，解得n25.5，nN*，n26，故从第26项开始值大于零.2612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 169.画出数列an 的图象，并求经过图象上所有点的直线的斜率.解画出图象如图所示.由图象可得，直线的斜率k1.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11

16、12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16(2)求数列an的通项公式.综合运用A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16又a12，13.假设某市2020年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在_年新建住房的面积开始大于820万平方米.解析设n年后该市新建住房的面积为an万平方米.由

17、题意，得an是等差数列，首项a1450，公差d50，所以ana1(n1)d40050n.2029由于nN*，则n9.所以该市在2029年新建住房的面积开始大于820万平方米.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1614.已知数列an满足a11，若点 在直线xy10上，则an_.n2(nN*)拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.数学著作孙子算经中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2 021共2 021个整数中，

18、同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列an，则该数列共有A.132项 B.133项 C.134项 D.135项12345678910 11 12 13 14 15 16解析被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，所以该数列的项数共有135项.12345678910 11 12 13 14 15 1616.如果数列an满足“对任意正整数i，j，ij，都存在正整数k，使得akaiaj”，则称数列an具有“性质P”，已知数列an是无穷项的等差数列，公差为d.(1)试写出一个具有“性质P”的等差数列；解an2n1.12345678910 11 12 13 14 15 16(2)若a12，公差d3，判断数列an是否具有“性质P”，并说明理由.解若a12，公差d3，则数列an不具有性质P.理由如下：由题知an3n1，对于a1和a2，假设存在正整数k，使得aka1a2，则有3k12510，所以对任意的kN*，aka1a2.故an不具有性质P.