1、2018年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。1、设集合，集合，集合，则集合的元素个数为 2、设点到平面的距离为，点在平面上，使得直线与平面所成角不小于且不大于，则这样的点所构成的区域的面积为 3、将随机排成一行，记为，则是偶数的概率为 4、在平面直角坐标系中，椭圆（）的左右焦点分别是，椭圆的弦与分别平行于轴和轴，且相交于点，已知线段的长分别为，则的面积为 5、设是定义在上的以为周期的偶函数，在区间上严格递减，且满足，则不等式组的解集为 6、设复数满足，使得关于的方程有实根，则这样的复数的和为 7、设为的外心，若，则的值为 8、设整数数列满足，且
2、，则这样的数列的个数为 二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9、（本题满分16分）已知定义在上的函数为，设是三个互不相同的实数，满足，求的取值范围。10、（本题满分20分）已知实数列满足：对任意正整数，有，其中表示数列的前项和。证明：对任意正整数，有；对任意正整数，有。11、（本题满分20分）在平面直角坐标系中，设是抛物线的过点的弦，的外接圆交抛物线于点（不同于点）若平分，求的所有可能值。2018年全国高中数学联合竞赛二试（A卷）一、（本题满分40分）设是正整数，均为正实数，满足：，且。证明：。二、（本题满分40分）如图所示， 为锐角三角形，为边的中点，点和分别为的外接圆弧和的中点，为内切圆在边上的切点，为与的交点，在线段上，满足.证明：若,则。（答题时请将图画在答卷纸上）三、（本题满分50分）设是正整数，满足，且，设是的元子集，证明：区间中的每个整数均可表示为，其中。四、（本题满分50分）数列定义如下：是任意正整数，对整数，与互素，且不等于的最小正整数，证明：每个正整数均在数列中出现。
