数学模型第七章(第五版)课件.ppt

1、案例主要取自案例主要取自决策、排序、分配决策、排序、分配等方面的问题等方面的问题.第七章 离散模型连续模型连续模型离散模型离散模型微分方程微分方程线性线性、非线性、非线性规划规划差分方程差分方程整数规划整数规划经济、社会等领域经济、社会等领域科学科学、技术技术等领域等领域从应用角度只涉及从应用角度只涉及代数、几何和图代数、几何和图的一点知识的一点知识.7.1汽车选购汽车选购7.2职员晋升职员晋升7.3厂房新建还是改建厂房新建还是改建7.4循环比赛的名次循环比赛的名次7.5公平的席位分配公平的席位分配7.6存在公平的选举吗存在公平的选举吗7.7价格指数价格指数7.8钢管的订购和运输钢管的订购和运

2、输 第七章离散模型 对待选汽车作出对待选汽车作出综合评价综合评价,为选购确定为选购确定决策决策.考虑的考虑的因素因素：经济适用、性能良好、款式新颖经济适用、性能良好、款式新颖.对对3个因素个因素在汽车选购中的在汽车选购中的重要性重要性有大致比较有大致比较.对对待选汽车待选汽车在在每一因素每一因素中中的的优劣程度优劣程度有基本判断有基本判断.7.1 汽车选购汽车选购 人们人们在日常生活中在日常生活中常常碰到常常碰到类似的决策问题类似的决策问题：选择旅游选择旅游目的地目的地，选择，选择学校上学，学校上学，选择选择工作工作岗位岗位.从事各种职业的人在工作中经常面对决策：从事各种职业的人在工作中经常面

3、对决策：购买哪种设备；选择研究课题；选拔秘书；对经购买哪种设备；选择研究课题；选拔秘书；对经济、环境、交通、居住等方面的发展做出规划济、环境、交通、居住等方面的发展做出规划.汽车选购汽车选购等等决策问题的共同特点决策问题的共同特点什么是多属性决策什么是多属性决策为一特定目的在为一特定目的在备选方案备选方案中确定一个中确定一个最优最优的的(或或给出优劣给出优劣排序排序、优劣、优劣数值数值),而方案的优劣由若干而方案的优劣由若干属性属性(准则、特征、性能准则、特征、性能)给以给以定量定量或或定性定性的表述的表述.考虑的因素考虑的因素常常涉及经济、社会等领域，对它们的涉及经济、社会等领域，对它们的重

4、要性、影响力作比较、评价时重要性、影响力作比较、评价时缺乏客观的标准缺乏客观的标准.待选对象对于这些因素的待选对象对于这些因素的优劣程度优劣程度常常难以量化难以量化.多属性多属性决策决策是处理这类是处理这类决策问题的常用决策问题的常用方法方法.要素：要素：1.决策决策目标、目标、备选方案备选方案与与属性集合属性集合 2.决策矩阵决策矩阵 3.属性属性权重权重 4.综合方法综合方法.1.确定确定属性集合属性集合的一般原则：的一般原则：全面全面考虑考虑,选取选取影响力影响力(或重要性或重要性)强强的的.属性间尽量属性间尽量独立独立(至少至少相关性不太相关性不太强强)不选不选难以辨别难以辨别方案优劣

5、方案优劣的的(即使即使影响力很影响力很强强).若数量太若数量太多多(如如大于大于7个个),应应将它们分层将它们分层.尽量选可尽量选可量化量化的的,定性定性的也要能明确区分档次的也要能明确区分档次.多属性决策的多属性决策的要素要素2.决策决策矩阵矩阵 以方案为行、属性为列以方案为行、属性为列、每一每一方案对方案对每一每一属性的取值属性的取值为元素为元素构成的矩阵构成的矩阵.表示表示方案对属性的优劣方案对属性的优劣(或偏好或偏好)程度程度.可以可以定量定量的的属性属性只能只能定性定性的的属性属性3.属性属性权重权重 对目标对目标影响力影响力(或重要性或重要性)的权重分配的权重分配 将将决策矩阵决策

6、矩阵与与属性权重属性权重加以加以综合综合,得到最终决策的数学方法得到最终决策的数学方法.4.综合综合方法方法 要素：要素：1.决策决策目标、目标、备选方案备选方案与与属性集合属性集合 2.决策矩阵决策矩阵 3.属性属性权重权重 4.综合方法综合方法.3个个属性属性为为选购选购准则准则 价格价格X1,性能性能X2,款式款式X33个个方案方案供供决策决策 选购选购的的汽车汽车型号型号A1,A2,A3 dij X1 X2 X3 A12597A21877A31255dijAi对对Xj的取值的取值 (原始权重原始权重)3种汽车种汽车价格价格(万元万元):25,18,123种汽车种汽车性能性能(打分打分,

7、10分满分分满分):9,7,53种汽车种汽车款式款式:7,7,5 以以汽车选购汽车选购为例为例说明说明如何确定如何确定决策矩阵决策矩阵、属性权重属性权重以及利用以及利用综合方法综合方法得到决策得到决策结果结果.1）决策矩阵及其标准化）决策矩阵及其标准化m个备选方案个备选方案 A1,A2,Am0,)(ijnmijddD决策矩阵决策矩阵dij Ai对对Xj的取值的取值决策矩阵的获取决策矩阵的获取 调查、量测各方案对属性的取值调查、量测各方案对属性的取值(定量定量,偏于客观偏于客观).决策者决策者打分评定打分评定或用层次分析法的或用层次分析法的成对比较得到成对比较得到 (定性定性,偏于主观偏于主观)

8、.n个属性个属性 X1,X2,Xn 551277187925D汽车汽车选购选购 1）决策矩阵及其标准化）决策矩阵及其标准化551277187925D决策矩阵决策矩阵D的列的列各方案对各方案对某某属性的取值属性的取值(属性值属性值).各属性物理意义各属性物理意义(包括量纲包括量纲)不同不同效益型属性效益型属性对费用型的属性值对费用型的属性值dij作作倒数变换倒数变换将全部属性将全部属性统一为效益型统一为效益型.5512/17718/17925/1D性能性能X2,款式款式X3费用型属性费用型属性标准化标准化第第1步：区分步：区分价格价格X1决策矩阵标准化决策矩阵标准化ijmiijijddr,2,1

9、maxmiijijijddr1miijijijddr1210,)(ijnmijrrRR的列最大值的列最大值为为1最大化最大化R的列和为的列和为1 归一化归一化R的列模为的列模为1 模一化模一化1）决策矩阵及其标准化）决策矩阵及其标准化标准化标准化第第2步：对步：对dij作作比例比例尺度变换尺度变换 当且仅当当且仅当dij=0时才有时才有rij=0R标准化标准化的的决策矩阵决策矩阵比例变换假定比例变换假定:属性的重要性随属性的重要性随属性值线性属性值线性变化变化.2）属性权重的确定）属性权重的确定w1,w2,wn属性属性X1,X2,Xn的权重的权重，njjw11 用层次分析法的用层次分析法的成对

10、比较得到成对比较得到.偏于主观偏于主观 根据决策目的和经验先验地给出根据决策目的和经验先验地给出.信息熵法信息熵法偏于客观偏于客观熵熵 信息论中信息论中衡量不确定性衡量不确定性的指标，信息量的的指标，信息量的(概率概率)分布越一致，不确定性越大分布越一致，不确定性越大.R归一化归一化的每一列的每一列 ),(21mjjjrrr 各方案对各方案对Xj信息量的信息量的(概率概率)分布分布.2）属性权重的确定）属性权重的确定mkrrkEmiijijjln1,ln1方案关于属性方案关于属性Xj的熵的熵 rij=1/m时时Ej=1.属性属性Xj对于方案的对于方案的区分度区分度 rij只有一个只有一个1其余

11、为其余为0时时Ej=0rij(i=1,2,m)相相差越大差越大,Ej越小越小,Xj越能辨别优劣越能辨别优劣.10,1jjjFEFnjFFwnjjjj,2,1,1Xj的的权重权重(归一化的区分度归一化的区分度)Xj对于辨别对于辨别方案优劣方案优劣不不起作用起作用.Xj最能辨别最能辨别方案优劣方案优劣.汽车选购汽车选购 2）属性权重的确定）属性权重的确定5512/17718/17925/1D X1X2X3 0.22360.42860.3684rij0.31060.33330.3684 0.46580.23810.26323种汽车价格种汽车价格X1取值相差取值相差最最大大,款式款式X3取值相差取值相

12、差最最小小.w1最最大大rij(i=1,2,m)的的均方差均方差可可作为作为区分度区分度Fj(m较大较大时时).归归一一化化Ej0.95940.97490.9895Fj0.04060.02510.0105wj0.53300.32930.1377w3最最小小方案对目标的权重方案对目标的权重（综合取值）（综合取值）综合方法综合方法决策矩阵决策矩阵属性权重属性权重+1.简单加权和法简单加权和法(SAW,Simple Additive Weighting)njjijnjijimiwrvv11,2,1,nmijrR)(Tnwwww),(21方案方案Ai 对对n个属性的综合取值为个属性的综合取值为对决策矩

13、阵采用对决策矩阵采用不同的标准化不同的标准化,得到的结果会不同得到的结果会不同.3）主要的综合方法）主要的综合方法2.加权积法（加权积法（WP,Weighted Product）njwijimidvj1,2,1,可直接用方案对属性的原始值可直接用方案对属性的原始值dij,不需要标准化不需要标准化.若效益型属性的权重取若效益型属性的权重取正正值，则费用型属性的值，则费用型属性的权重应取权重应取负负值值.将将SAW的算术加权平均改为的算术加权平均改为几何加权平均几何加权平均：3.接近理想解的接近理想解的偏好排序法偏好排序法 (TOPSIS,Technique for Order Preferenc

14、e by Similarity to Ideal Solution）n个属性、个属性、m个方案视为个方案视为n维空间中维空间中m个点的几何系统个点的几何系统 每个点的每个点的坐标坐标由由各方案标准化的各方案标准化的加权属性值加权属性值确定确定.决策矩阵决策矩阵模一化模一化,以便在空间定义以便在空间定义欧氏距离欧氏距离.正理想解正理想解(最优方案最优方案)由所有最优加权属性值构成由所有最优加权属性值构成.负理想解负理想解由所有最劣加权属性值构成由所有最劣加权属性值构成.定义距正、负理想解距离的数量指标定义距正、负理想解距离的数量指标:相对接近度相对接近度.按照相对接近度确定备选方案的按照相对接近

15、度确定备选方案的优劣顺序优劣顺序.汽车选购汽车选购 5512/17718/17925/1D统一为效益型统一为效益型的的决策矩阵决策矩阵用用3种综合方法确定种综合方法确定3种汽车种汽车的优劣顺序的优劣顺序4508.04016.07727.06312.05623.05151.06312.07229.03709.0,7143.05556.00000.10000.17778.06667.00000.10000.14800.0,2632.02381.04658.03684.03333.03106.03684.04286.02236.0RRRR最大化最大化R归一化归一化R模一化模一化属性权重取信息熵法结果

16、属性权重取信息熵法结果:w=(0.5330,0.3293,0.1377)T1.简单加权和法简单加权和法(SAW)Rwv v=(0.3110,0.3260,0.3629)TR归一化归一化R最大化最大化v=(0.7228,0.7492,0.8143)T2.加权积法加权积法(WP)v=(0.3162,0.3277,0.3562)Tv归一化归一化njwijijdv1v=(0.4847,0.5316,0.5639)Tv=(0.3067,0.3364,0.3569)Tv归一化归一化汽车选购汽车选购 用用3种综合方法确定种综合方法确定3种汽车种汽车的优劣顺序的优劣顺序3.理想解理想解法法 (TOPSIS）0

17、621.01323.04118.00869.01852.02746.00869.02381.01977.0)(ijvVR模一化模一化vij=rij wj)0869.0,2381.0,4118.0(v)0621.0,1323.0,1977.0(v正理想解正理想解负理想负理想解解312)(jjijivvS312)(jjijivvSAi与与v+距离距离Ai与与v-距离距离iiiiSSSCS+=(0.2141,0.1470,0.1087)S-=(0.1087,0.0966,0.2141)相对接近度相对接近度C+=(0.3368,0.3966,0.6633)C+=(0.2411,0.2840,0.474

18、9)归一化归一化 方法方法方案方案SAW(R归一化归一化)SAW(R最大化最大化)WPTOPSISA10.31100.31620.30670.2411A20.32600.32770.33640.2840A30.36290.35620.35690.4749汽车选购汽车选购 用用3种综合方法确定种综合方法确定3种汽车种汽车的优劣顺序的优劣顺序SAW(R归一化归一化,最大化最大化),WP结果结果差别很差别很小小,TOPSIS结果结果差别稍差别稍大大.优劣顺序均为优劣顺序均为A3,A2,A1简单、直观的加权和简单、直观的加权和法法(SAW)是是人们的人们的首选首选.SAW的的前提前提属性属性之间相互之

19、间相互独立独立,并且并且具有具有互补性互补性.多属性决策应用的步骤多属性决策应用的步骤1.确定确定决策目标、备选方案与属性集合决策目标、备选方案与属性集合；2.用用量测、调查等手段确定量测、调查等手段确定决策矩阵和属性权重决策矩阵和属性权重,推荐用信息熵法由决策矩阵得出属性权重；推荐用信息熵法由决策矩阵得出属性权重；3.将全部属性统一将全部属性统一(如效益型如效益型)，并，并采用归一化、采用归一化、最大化或模一化对最大化或模一化对决策矩阵标准化决策矩阵标准化；4.选用加权和、加权积、选用加权和、加权积、TOPSIS等等综合方法综合方法 计算方案对目标的权重计算方案对目标的权重，作为决策的依据，

20、作为决策的依据.1.比例尺度变换的归一化和最大化比例尺度变换的归一化和最大化归一化归一化 分配模式分配模式(Distributive Mode)某一方案属性值改变引起其他方案属性值随之某一方案属性值改变引起其他方案属性值随之改变改变.最大化最大化 理想模式理想模式(Ideal Mode)任一方案的属性值任一方案的属性值独立独立于最优方案外的其他方案于最优方案外的其他方案.列最大值为列最大值为1:各方案与占资源各方案与占资源1的最优方案比较的最优方案比较.列和为列和为1:各方案分配总量固定各方案分配总量固定(1单位单位)的资源的资源.多属性决策应用中的几个问题多属性决策应用中的几个问题方案的优劣

21、方案的优劣排序排序大体上大体上一致一致(方案数量不多方案数量不多时时).两种模式计算的两种模式计算的结果结果数值数值上一般上一般不会相同不会相同.在实际应用中究竟应该采用哪种模式在实际应用中究竟应该采用哪种模式?分配分配模式模式决策者关心每个决策者关心每个方案方案相对相对于于其他其他方案方案的占优的占优程度程度;需要需要对候选方案的优劣给出定量对候选方案的优劣给出定量评评价价;特别用于资源特别用于资源分配问题分配问题.理想模式理想模式决策者关心每个方案决策者关心每个方案相对于基准指标相对于基准指标的的优劣优劣;从众多候选方案中只选一个最优者从众多候选方案中只选一个最优者.比例尺度变换的理想模式

22、和分配模式比例尺度变换的理想模式和分配模式2.区间尺度变换使用中的问题区间尺度变换使用中的问题ijmiijmiijmiijijddddr,2,1,2,1,2,1minmaxmin但但区间尺度变换区间尺度变换dij最最小小值值(对每个对每个j)都都变为变为rij=0.区间尺度变换区间尺度变换 对原始权重对原始权重dij作作伸缩与平移伸缩与平移变换变换ijmiijijddr,2,1max两种变换两种变换dij最大值最大值(对每个对每个j)都变为都变为rij=1.对比对比比例尺度比例尺度变换的最大化变换的最大化虚拟一个极端的例子说明虚拟一个极端的例子说明,某些实际某些实际问题问题适于采适于采用比例尺

23、度变换用比例尺度变换归一化归一化,用用最大化最大化会出现较大谬会出现较大谬误误,而用而用区间尺度变换将得到极不合理的结果区间尺度变换将得到极不合理的结果.74.026.05.05.099.049.001.051.098.0505.05.05.0196.001.01常识：教学常识：教学0.5万万平分平分,科研科研0.5万万给给B.67.033.0与与常识常识一致一致与常识有别与常识有别5.05.05.05.0100110019949151区间尺度区间尺度严重不妥严重不妥!区间尺度变换使用中的问题区间尺度变换使用中的问题得分得分 教学教学X1(w1=0.5)科研科研X2(w2=0.5)教师教师A5

24、11教师教师B4999例例.奖金奖金1万元按教学和万元按教学和科研并重原则分配给科研并重原则分配给A,B.理想模式理想模式(最大化最大化)分配分配模式模式(归一化归一化)A0.25万元万元,B0.75万元万元 把非常接近的教学原始分把非常接近的教学原始分51和和49分别变成分别变成1和和0为什么？为什么？3.方案的排序保持与排序逆转方案的排序保持与排序逆转 若若各准则对目标的权重各准则对目标的权重和原有方案对属性的和原有方案对属性的权重都权重都不变不变，当当有有新方案加入或旧方案退出时新方案加入或旧方案退出时，原有方案原有方案的优劣的优劣排序是保持还是会逆转排序是保持还是会逆转？用理想模式和分

25、配模式可能会得到不同的结果用理想模式和分配模式可能会得到不同的结果.例例.工作选择工作选择(训练题训练题15)原始分原始分 X1(w1=0.6)X2(w2=0.4)A141A215A322A441A4 61两种两种模式模式排序排序都是都是A1,A2,A3理想模式保持排序理想模式保持排序A1,A2,分配模式逆转分配模式逆转.在一定条件下在一定条件下理想模理想模式保持排序式保持排序A1,A2.新新方案加入方案加入时时,只要只要它对每个准则的权重都不它对每个准则的权重都不超过原超过原方案方案,用用理想模式理想模式计算原计算原方案的排序保持方案的排序保持不变不变,用用分配模式分配模式计算原计算原方案的

26、排序可能方案的排序可能逆转逆转.方案的排序保持与排序逆转方案的排序保持与排序逆转 分配模式分配模式各方案对每一准则权重各方案对每一准则权重rij对对i之和恒之和恒为为1,新方案加入新方案加入导致原来导致原来rij减少减少,稀释稀释了了原有资原有资源源,资源的重新分配可能导致原方案资源的重新分配可能导致原方案排序逆转排序逆转.理想模式理想模式各方案对每一准则权重各方案对每一准则权重rij 对对i最大值最大值为为1,新方案加入只要新方案加入只要不改变原来的最大值不改变原来的最大值,就就不会稀释原有资源不会稀释原有资源,原方案原方案排序将保持不变排序将保持不变.小结与小结与评注评注决策矩阵决策矩阵标

27、准化的不同标准化的不同或或综合方法的不同对最综合方法的不同对最终决策的影响终决策的影响，远小于远小于属性集合属性集合的的不同及属性不同及属性权重权重的的不同对最终决策的影响不同对最终决策的影响.所以所以不要过度不要过度注意注意前者前者,而而应对后者多些应对后者多些关注关注.实际应用中对于从众多候选方案中实际应用中对于从众多候选方案中只选一个最只选一个最优者优者的情况，多用的情况，多用理想模式理想模式；而那些需要对候而那些需要对候选方案的优劣给出定量比较选方案的优劣给出定量比较时时，或者对资源按，或者对资源按照候选方案的优劣照候选方案的优劣进行分配进行分配时，多用时，多用分配模式分配模式.简单易

28、行、具有一定合理性的办法简单易行、具有一定合理性的办法订立全面评价一位职员的几条订立全面评价一位职员的几条准则准则，如，如工作工作年限、教育程度、工作能力、道德品质年限、教育程度、工作能力、道德品质等等;确定各条确定各条准则准则在目标在目标(职员晋升职员晋升)中所占的中所占的权重权重;按照按照每一准则每一准则对各位对各位申报者申报者进行比较和进行比较和评判评判;将准则的权重与将准则的权重与按准则按准则评判的结果加以评判的结果加以综合综合,得到各位得到各位申报者申报者的的排序排序,作为职员晋升的决策作为职员晋升的决策.7.2 职员晋升职员晋升职员晋升与汽车选购职员晋升与汽车选购是是有相同特点的决

29、策问题，有相同特点的决策问题，用用多属性决策多属性决策方法方法可以类似地可以类似地加加以解决以解决.层次分析法层次分析法(AHP,Analytic Hierarchy Process）针对经济、社会领域作比较判断时针对经济、社会领域作比较判断时主观因素主观因素作作用较大用较大,准则和方案的重要性准则和方案的重要性难以量化难以量化的情况的情况.Saaty于于20世纪世纪70年代提出年代提出(稍晚于多属性决策稍晚于多属性决策)的的定性与定量相结合的定性与定量相结合的,系统化、层次化系统化、层次化的分析方法的分析方法.在实际应用领域、处理问题类型在实际应用领域、处理问题类型、具体计算方法具体计算方法

30、等方面等方面,与多属性决策有与多属性决策有不少不少类似和相通类似和相通之处之处.职员职员晋升晋升 职员晋升职员晋升问题建模的问题建模的另一种常用方法另一种常用方法.将将决策问题自上而下地分为决策问题自上而下地分为目标、准则、方案目标、准则、方案3个层次个层次,直观地用一个直观地用一个层次结构图层次结构图表示表示.二者综合得到二者综合得到方方案对目标案对目标的权重的权重.确定确定各各准则准则 对对目标目标的权重的权重.确定确定各各方案对方案对每每一一准则准则的权重的权重.1.层次结构图层次结构图 层次分析法层次分析法(AHP)的的几个要素几个要素职员晋升职员晋升Y工作工作年限年限 X1职员职员A

31、1教育教育程度程度 X2 工作工作能力能力 X3 道德道德品质品质 X4 职员职员A2职员职员A3目标层目标层准准则则层层方案层方案层 确定确定n个准则个准则X1,X2,X4对目标对目标Y的权重的权重.A成对比较成对比较阵阵ijjiijnnijaaaaA/1,0,)(工作年限工作年限X1,教育程教育程度度X2,工作能力工作能力X3,道道德品质德品质X4对汽车选对汽车选购购Y的的成对比较阵成对比较阵:正互反阵正互反阵 n个个准则准则两两对比两两对比:aij Xi和和Xj对对Y的重要性之的重要性之比比 对比对比采用相对尺度采用相对尺度2.成对比较矩阵和特征向量成对比较矩阵和特征向量 a12=1/2

32、X1与与X2重重要性之比是要性之比是1:2Oa13=1/3X1与与X3重重要性之比是要性之比是1:3Oa23=1/2X2与与X3重要性之比是重要性之比是1:2O2.成对比较矩阵和特征向量成对比较矩阵和特征向量 成对比较的一致性成对比较的一致性n个元素需做个元素需做n(n 1)/2次成对比较次成对比较,要求全部一要求全部一致是不现实、也不必要的致是不现实、也不必要的.AHP容许成对比较存在不一致容许成对比较存在不一致，并并确定了这种确定了这种不一致的容许范围不一致的容许范围.a12=1/2X1与与X2重要性之比是重要性之比是1:2X1与与X3重要性之比重要性之比应应是是1:4a23=1/2X2与

33、与X3重要性之比是重要性之比是1:2成对比较一致性成对比较一致性Oa13=1/3 成对比较成对比较不不一致一致成对比较成对比较完全完全一致一致2.成对比较矩阵和特征向量成对比较矩阵和特征向量 假定假定X1,X2,Xn对对Y的重要性之比的重要性之比已已精确精确测定为测定为w1:w2:wn令令aij=wi/wjnkjiaaaikjkij,2,1,成对比较阵成对比较阵A满足满足一致阵的各列均相差一个比例因子一致阵的各列均相差一个比例因子一致阵一致阵A的的代数性质代数性质：任一列向量都是对应于任一列向量都是对应于n的特征向量的特征向量.秩为秩为1,唯一非零特征根为唯一非零特征根为n.一致阵一致阵 设设

34、nnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA/2122212121112.成对比较矩阵和特征向量成对比较矩阵和特征向量 取取权向量权向量为为w=(w1,w2,wn)TnnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA/212221212111一致阵一致阵A的任一列向量都是对应于的任一列向量都是对应于n的特征向量的特征向量.njjw11如果成对比较阵如果成对比较阵A不一致不一致(但但在容许范围内在容许范围内)用对应于用对应于A最大特征根最大特征根 的特征向量的特征向量(归一化后归一化后)为权向量为权向量wwAw3.一致性指标和一致性检验一致性指标和一致性检验1nnCISaaty定义定义一致

35、性指标一致性指标:界定成对比较阵界定成对比较阵(正互反阵正互反阵)A不一致的范围不一致的范围.n阶正阶正互反互反阵阵A的的最大最大特征根特征根 n，A是一致阵是一致阵的的充要条件充要条件为为=n.CI=0时时A是一致阵是一致阵,CI越大越大A越不一致越不一致.用用 n的大小衡量的大小衡量A的不一致程度的不一致程度.比比n大得越多大得越多,A与一致阵相差越与一致阵相差越大大,用特征向用特征向量作为权向量引起的判断误差越大量作为权向量引起的判断误差越大.当当CR0.1时通过时通过一致性检验一致性检验Saaty引入引入随机一致性指标随机一致性指标 RI从从1,2,9及及1,1/2,1/9随机取值构成

36、随机取值构成A,计算计算CI的平均值作为的平均值作为RI.3.一致性指标和一致性检验一致性指标和一致性检验制定衡量制定衡量CI 数值的标准，界定数值的标准，界定A不一致的范围不一致的范围.n345678910RI0.58 0.901.121.241.32 1.41 1.45 1.49Saaty给出给出应用应用时将时将n阶成对比较阵阶成对比较阵A的的CI与同阶的与同阶的RI比较比较.准则准则对对目标目标的的成对比成对比较阵较阵计算最大特征根计算最大特征根 特征向量特征向量w及一致性指标及一致性指标CI.RI=0.90=4.0104CI=(-4)/(4-1)=0.0035 归一化的归一化的w=(0

37、.1223，0.2270，0.4236,0.2270)T 为权向量为权向量.CR=0.0035/0.900.1一致性检验通过一致性检验通过职员晋升职员晋升Y工作工作年限年限 X1职员职员A1教育教育程度程度 X2 工作工作能力能力 X3 道德道德品质品质 X4 职员职员A2职员职员A3目标层目标层准准则则层层方案层方案层职员晋升职员晋升4.综合权重综合权重 3位职员位职员对对4个准则个准则的的成对比较成对比较阵阵)2()3()3(wWw=(0.4505,0.3202,0.2292)T 3位职员位职员对对晋晋升升的的综合权重综合权重1343/1124/12/111B12/13/1212/1321

38、2B12/12/12112113Bj1234w(2)wj(3)0.13650.53960.40000.62500.12230.23850.29700.40000.23850.22700.62500.16340.20000.13650.4236 0.2270 j3.01833.00923.00003.0183 CIj0.00920.004600.0092 Bj归一化归一化得到得到wj(3)W(3)=(w1(3),w4(3)CRj=CIj/RI10年年X11 510年年X12 25年年X13 2年年X14 本科本科以上以上X21 本科本科X22 专科专科X23 中学中学X24 优优X31 良良X3

39、2 中中X33 差差X34 优优X41 良良X42 中中X43 A1A2 Ak职员晋升职员晋升Y职员晋升职员晋升Y工作工作年限年限 X1职员职员A1教育教育程度程度 X2 工作工作能力能力 X3 道德道德品质品质 X4 职员职员A2职员职员A3每一每一准则准则分若干等级分若干等级:工作工作年限年限、教育、教育程度用程度用入职时间和学历分级入职时间和学历分级,工作工作能力能力、道德、道德品质按品质按照优、良、中划分照优、良、中划分.职员职员晋升问题的再讨论晋升问题的再讨论 w1=0.1223w2=0.2270w3=0.4236w4=0.2270总总分分 w11100w1280w1360w1430

40、w11100w1290w1360w1430w11100w1280w1340w1410w11100w1280w1340 工作工作4年、能力优秀、品质良好的本科毕业生年、能力优秀、品质良好的本科毕业生Ak总分总分:600.1223+900.2270+1000.4236+800.2270=88.29 每个申报每个申报者者根据在准则中所处等级的位置根据在准则中所处等级的位置对号入座对号入座.评定前确定评定前确定标准分标准分(如如80),标准分以上才可以晋升标准分以上才可以晋升.Ak 88.294个准则的权重仍为成对比较得到的个准则的权重仍为成对比较得到的w1,w2,w3,w4.每一准则中最高等级为每一

41、准则中最高等级为100分，决定其他分数分，决定其他分数wij.建立由目标层、准则层、方案层等构成的建立由目标层、准则层、方案层等构成的层层次结构次结构.计算各个成对比较阵的计算各个成对比较阵的特征根和特征向量特征根和特征向量，作作一致性检验一致性检验,通过后将特征向量取作权向量通过后将特征向量取作权向量.构造下层各元素对上层每一元素的构造下层各元素对上层每一元素的成对比较阵成对比较阵.对各层对各层权向量权向量进行进行综合综合，用用分层加权和法分层加权和法计算计算最下层各元素对最上层元素的权重最下层各元素对最上层元素的权重.层次分析法应用的步骤层次分析法应用的步骤评注评注 层次分析法与多属性决策

42、的比较层次分析法与多属性决策的比较两种方法两种方法的的重点重点都都是是确定确定准则对目标准则对目标、方案对方案对准则的准则的权重权重，方法可方法可分为分为相对量测相对量测和和绝对量测绝对量测;成对比较属于前者成对比较属于前者,用定量尺度来描述方案或用定量尺度来描述方案或准则的特征属于后者准则的特征属于后者.两种方法都用于解决两种方法都用于解决决策问题决策问题，二者在步骤、，二者在步骤、方法上有很多相同之处，也有一些差别方法上有很多相同之处，也有一些差别.对于尚对于尚无无太多知识的太多知识的新问题新问题和和模糊、抽象的准模糊、抽象的准则则,主要依赖主要依赖相对量测相对量测;对已有充分了解的对已有

43、充分了解的老问老问题题和和明确、具体的准则明确、具体的准则,应尽可能采用应尽可能采用绝对量绝对量测测.绝对量测的另一绝对量测的另一优点优点：新方案加入或老方案退新方案加入或老方案退出时原有方案的结果不会改变出时原有方案的结果不会改变；用相对量测要用相对量测要重新做比较，原有方案的结果可能改变重新做比较，原有方案的结果可能改变.一般来说，相对量测偏于主观一般来说，相对量测偏于主观、定性定性;绝对量绝对量测偏于客观测偏于客观、定量定量，应应尽量采用绝对量测尽量采用绝对量测.应用中可将多属性决策和层次分析中的应用中可将多属性决策和层次分析中的方法结方法结合合起来，如用成对比较阵来确定属性权重，用起来

44、，如用成对比较阵来确定属性权重，用绝对量测确定决策矩阵绝对量测确定决策矩阵.评注评注 层次分析法与多属性决策的比较层次分析法与多属性决策的比较某公司为增加产量某公司为增加产量,拓展市场拟制定拓展市场拟制定10年规划年规划,现有两种备选方案：现有两种备选方案：新建厂房新建厂房或或改建厂房改建厂房.问题问题据估计未来市场据估计未来市场销路好销路好与与销路差销路差的的可能性之比可能性之比是是7:3.若投资若投资400万元万元新建厂房新建厂房，销路好时年收益，销路好时年收益100万元，销路差时年亏损万元，销路差时年亏损20万元万元.若投资若投资100万元万元改建厂房改建厂房，销路好时年收益，销路好时年

45、收益 40万元万元，销路差时年收益销路差时年收益10万元万元.从净利润最大化角度为公司确定决策从净利润最大化角度为公司确定决策.7.3 厂房厂房新建新建还是改建还是改建分析与分析与 求解求解未来未来10年中有年中有7年销路年销路好好、3年销路年销路差差.未来市场未来市场销路好销路好与与销路差销路差的的可能性之比是可能性之比是7:3.只需计算、比较两种方案只需计算、比较两种方案10年的总利润年的总利润,即即可得到新建还是改建厂房的决策可得到新建还是改建厂房的决策.新建新建厂房厂房10年总利润年总利润：1007-203-400=240,改建改建厂房厂房10年总利润年总利润：407+103-100=

46、210.未来未来10年销路好与销路年销路好与销路差的概率分别是差的概率分别是0.7与与0.3.新建厂房新建厂房10年总利润期望值年总利润期望值:100100.7-20100.3-400=240，改建厂房，改建厂房10年总利年总利润期望值润期望值:40100.7+10100.3-100=210 以以总利润期望值最大为目标总利润期望值最大为目标的决策是新建厂房的决策是新建厂房.结果结果分析分析期望值看作随机事件多次重复出现的平均值，期望值看作随机事件多次重复出现的平均值，将将期望值准则期望值准则用于用于一次性决策一次性决策会有会有较大风险较大风险.新建新建厂房厂房比改比改建建厂房厂房虽然虽然总利润

47、总利润期望值期望值稍大稍大,但是但是一次性风险大一次性风险大得多！得多！新建新建厂房总利润厂房总利润改建改建厂房总利润厂房总利润未来未来10年真的年真的销路好销路好10010-400=600 4010-100=300新建新建厂房厂房10年总利润年总利润期望值期望值240万元万元改改建建厂房厂房10年总利润年总利润期望值期望值210万元万元未来未来10年真的年真的销路差销路差-2010-400=-600 1010-100=0两种情况相差两种情况相差1200300对概率对概率p的估计有多大变化就会的估计有多大变化就会导致决策的改变导致决策的改变.结果结果分析分析新建厂房新建厂房10年总利润的期望值

48、年总利润的期望值E(1)=240改建厂房改建厂房10年总利润的期望值年总利润的期望值E(2)=210p未来未来10年年销路销路好的好的概率概率(1-p销路销路差差的概率的概率)E(1)=100 10 p+(20 10)(1 p)400=1200p 600 E(2)=40 10 p+10 10(1 p)100=300p令令E(1)=E(2)若目前估计的概率若目前估计的概率p从从0.7降到降到0.66(只只下降约下降约5%),按按期望值准则决策将由新建厂房变为改建厂房期望值准则决策将由新建厂房变为改建厂房.p=2/3当当p2/3时时E(1)E(3)2,决策决策2选择扩建选择扩建,E=E(3)1=3

49、67,砍掉不扩建分支砍掉不扩建分支.E(3)=270.9E(1)=240,决策决策1选择改建厂房经营选择改建厂房经营3年年.小结与小结与评注评注风险性决策风险性决策 决策中每个备选方案的后果至少决策中每个备选方案的后果至少存在两种状态存在两种状态,且各种状态的概率是可以估计的且各种状态的概率是可以估计的.决策树决策树是求解风险性决策是求解风险性决策(特别是特别是多次决策多次决策)常用常用的手段的手段,具有直观、简便、逻辑关系清晰等优点具有直观、简便、逻辑关系清晰等优点.贝叶斯决策贝叶斯决策是是解决解决这个问题这个问题的一种办法的一种办法，参见，参见拓展拓展阅读阅读7-3.多数实际问题属于多数实

50、际问题属于一次性而非多次重复的决策一次性而非多次重复的决策，采用期望值准则采用期望值准则可能可能会冒较大的风险会冒较大的风险，特别是，特别是几个随机状态出现的概率相差不大的情况几个随机状态出现的概率相差不大的情况.7.4 循环循环比赛的名次比赛的名次 n支球队单循环赛，每场比赛只计胜负，没有平局支球队单循环赛，每场比赛只计胜负，没有平局.根据比赛结果排出各队名次根据比赛结果排出各队名次.常用方法：常用方法：按得分排序按得分排序1,(2,3),(4,5),66支球队支球队比赛结果比赛结果(+行队行队胜列队胜列队)3队胜队胜2队队排名排名 132456 队号队号123456得分得分1/+-+42-