1、双曲线1双曲线的概念(1)第一定义:平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|2c0)的距离的差的绝对值为常数2a(02a0,b0)1(a0,b0)图形性质范围xa或xa,yRxR,ya或ya对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点对称轴:坐标轴对称中心:原点顶点顶点坐标:A1(a,0),A2(a,0)顶点坐标:A1(0,a),A2(0,a)渐近线 离心率 e ,e(1,),其中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长准线 a、b、c的关系c2a2b2注1:标准方程中谁的系数
2、为正,焦点在谁的轴上.注2:求双曲线的标准方程应该先“定型”后“定量”,不能确定类型就分类讨论或设一般方程.注3:方程表示的曲线 焦点在轴上的椭圆; 焦点在轴上的椭圆; 以原点为圆心的圆; 焦点在轴上的双曲线; 焦点在轴上的双曲线.注4:实轴长和虚轴长相等的双曲线为等轴双曲线,其渐近线方程为离心率为3. 双曲线中的焦点三角形的性质令(1) ;(2);要会结合(1)(2)解决一些诸如面积的问题.(3) .(4) 焦半径公式: 在右支,此时;左支,此时; 在左支,此时;在右支,此时注:焦半径公式不需要记忆,需要用时会用第二定义推导就行,焦半径的范围要明确,无论点在左支还是右支,到焦点的距离不小于.
3、4.关于渐近线的重要结论(重点记忆)(1)将双曲线等式右边的“1”改成“0”,然后因式分解可得渐近线方程.(2)若已知渐近线方程为,则双曲线方程可设为m2x2n2y2(0)(3)与双曲线1有共同渐近线的双曲线方程可设为(0)5.一个特征三角形结论:焦点到渐近线的距离为假设垂足为则构成一个特征三角形,其中,.(此时垂直的坐标为)6.两个重要的结论(解答题用“点差法”求解这类问题)(1)已知是双曲线上两个不同的点,是的中点,则.归纳小结:即.(2)双曲线是关于中心对称的两点,是双曲线上任意一点,则归纳小结:即.7.直线和双曲线的位置关系(1)弦长公式:直线l:ykxb与圆锥曲线C:F(x,y)0交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|x1x2|或|AB| |y1y2| .(2)将直线方程与双曲线方程联立消去y(或x),得到一个一元方程ax2bxc0.若a0,当0时,直线与双曲线有两个交点;当0时,直线与双曲线有一个交点;当0时,直线与双曲线没有交点.若a0时,直线与渐近线平行,与双曲线有一个交点