轨迹方程的求法优秀课件.ppt

1、xyo常用方法常用方法1.1.当动点所满足的几何条件能直接用其坐标代入时当动点所满足的几何条件能直接用其坐标代入时,可用可用直接法直接法.2.2.直接法的另一种形式称为直接法的另一种形式称为定义法定义法,即已知曲线的类型即已知曲线的类型 和位置和位置,可设出曲线方程可设出曲线方程,利用利用待定系数法待定系数法求解求解.3.3.当所求动点的运动很明显地依赖于一已知曲线上的当所求动点的运动很明显地依赖于一已知曲线上的 动点的运动时动点的运动时,可利用可利用代入法代入法,其关键是找出两动点其关键是找出两动点 的坐标的关系的坐标的关系,这要充分利用题中的几何条件这要充分利用题中的几何条件.4.4.当所

2、求动点的运动受一些几何量当所求动点的运动受一些几何量(距离、角度、距离、角度、斜率、坐标等斜率、坐标等)制约时制约时,可考虑用可考虑用参数法参数法求解求解.5.5.求得的轨迹方程要与动点的轨迹一一对应求得的轨迹方程要与动点的轨迹一一对应,否则要否则要 “多退少补多退少补”,多余的点要剔除多余的点要剔除,不足的点要补充不足的点要补充.6.6.注意注意“求轨迹求轨迹”和和“求轨迹方程求轨迹方程”的区别的区别.1.动点动点P到定点到定点(-1，0)的距离与到点的距离与到点(1，0)距离之差为距离之差为2，则则P点的轨迹方程是点的轨迹方程是_.2.已知已知OP与与OQ是关于是关于y轴对称，且轴对称，且

3、2OPOQ=1，则点则点P(x、y)的轨迹方程是的轨迹方程是_.3.与圆与圆x2+y2-4x=0外切，且与外切，且与y轴相切的动圆圆心轴相切的动圆圆心 的轨迹方程是的轨迹方程是_.2y 2-2x2=1y=0(x1)y y2 2=8 8x(xx(x0 0)或或y=y=0 0(x(x0 0)4.ABC的顶点为的顶点为A(0，-2)，C(0，2)，三边长，三边长a、b、c 成等差数列，公差成等差数列，公差d0；则动点；则动点B的轨迹方程的轨迹方程 为为_.5.动点动点M(x,y)满足满足 则点则点M轨迹是轨迹是()(A)圆圆 (B)双曲线双曲线 (C)椭圆椭圆 (D)抛物线抛物线6.已知一曲线是与两

4、个定点已知一曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为距离的比为 1:2的点的轨迹的点的轨迹,则此曲线的方程是则此曲线的方程是_.51433122-yx-y-x221001216，xyyxD222278221(1)4()2(3)xyxyPxy平方化简得:22(1)4xy:|341|)xy(可改成例例7.动点动点P（x，y）到定点）到定点A（3，0）的距离比它到定直线的距离比它到定直线x=-5的距离的距离 少少2。求：动点。求：动点P的轨迹方程。的轨迹方程。O3-5Axym解法一 轨迹法轨迹法思考：如何化去绝对值号？PP点在直线左侧时，|PH|-5如图，PH25)0()3(22xyx

5、y 2 =12x22(3)(0)3xyx3-5Axym解法二 定义法定义法如图，-3n作直线 n：x=-3则点P到定点 A（3，0）与定直线 n：x=-3 等距离。P（x，y）故，点P的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线。An例例7.动点动点P（x，y）到定点）到定点A（3，0）的距离比它到定直线的距离比它到定直线x=-5的距离的距离 少少2。求：动点。求：动点P的轨迹方程。的轨迹方程。y 2 =12x例8.等腰直角三角形ABC中，斜边BC 长为 ，一个椭圆以C为其中一 个焦点，另一个焦点在线段AB 上，且椭圆经过点A，B。求：该椭圆方程。24xyACBOD解|BC|=24如图，设椭圆的另一个焦

6、点为D以直线DC为x轴，线段DC的中点为原点建立直角坐标系。设椭圆方程为1=by+ax2222（ab0)则|AD|+|AC|=2a，|BD|+|BC|=2a 所以，|AD|+|BD|+|AC|+|BC|=4a即a4=24+8OxyACBO解得2+2=aD|AD|+|AC|=2a|AC|=4=2422在ADC中|DC|2=|AD|2+|AC|2=（）2 +16=24222cc2=6，b2=a2c2=（2+）2 -6=224故所求椭圆方程为1=24y+24+6x22注：重视定义！注：重视定义！例8.等腰直角三角形ABC中，斜边BC 长为 ，一个椭圆以C为其中一 个焦点，另一个焦点在线段AB 上，且

7、椭圆经过点A，B。求：该椭圆方程。24|AD|=229.已知已知Q Q点是双曲线点是双曲线C:C:上的上的 任意一点，任意一点，F F1 1、F F2 2是双曲线的两个焦点，过任是双曲线的两个焦点，过任 一焦点作一焦点作FF1 1QFQF2 2的角平分线的垂线，垂足为的角平分线的垂线，垂足为M M。求点求点M M的轨迹方程的轨迹方程.224xy642-2-4-6-55M1F2FOxyQE解解:11222221211()422224.OMEFQFQFxyxy 例例10.长为长为2a的线段的线段AB的两个端点的两个端点 分别在分别在x轴、轴、y轴上滑动，轴上滑动，求求AB 中点中点M的轨迹方程。的

8、轨迹方程。x2+y2=a2xyoABM 11.已知：已知：A（-1,0），），B （1，0），），过过A、B分别作直线分别作直线l1、l2，交点是，交点是C，若若l1 l2，求点，求点C的轨迹方程。的轨迹方程。xyABCO由题意知：由题意知：|OC|=|AO|=1，即即C点在以点在以O为圆心，为圆心，以以1为半径的圆上。为半径的圆上。故故:x2+y2=1 12.P为圆为圆x 2+y2=4上一动点，点上一动点，点Q（4，0），），POQ的平分线交的平分线交PQ于于M，求，求M 点的点的 轨迹方程。轨迹方程。xyoQPM解：解：|QM|：|PM|=|OQ|：|OP|=2。设设P（x0，y0），），

9、M（x，y）。）。则由定比分点坐标公式得：则由定比分点坐标公式得：x=（4+2x0）3 ，y=2y03，即：即：x0=（3x-4）2，y0=3y2，又又x02+y02=4化简得化简得:(x-4/3)2+y2=16/913.已知圆已知圆x 2+y2=4，过点，过点A（4，0）作圆的）作圆的 割线割线ABC，求弦，求弦BC中点中点M的轨迹方程。的轨迹方程。xyoADBCM22222222:,|2,(2)4.(2)414:(2)4(01)Rt AMOMDODxyxyxxyxyx解 在中所求轨迹方程为14.设设AB是圆是圆x2+y2=1的一条直径的一条直径,以以AB为直角边为直角边,B为直角顶点为直角

10、顶点,逆时针方向作等腰直角三角形逆时针方向作等腰直角三角形ABC,当当AB转动时转动时,求点求点C的轨迹的轨迹.B Axy Co222,1,5.5.Rt CBOxy解:BCABBO在中 CO为所求 解：设动直线方程为：解：设动直线方程为：y=x+b，和椭圆方程联立得：和椭圆方程联立得：x2+4y2-4x=0 y=x+b 5x2+8bx-4x+4b2=0设中点设中点M（x，y），则），则 x=（x1+x2)/2=(2-4b)/5,与与联立消联立消b，得：得：x+4y-2=0（椭圆内的一段）（椭圆内的一段）15.倾斜角为倾斜角为450的直线与椭圆的直线与椭圆 （x-2）2/4+y2=1交于交于A、

11、B两点，两点，求求AB中点的轨迹方程。中点的轨迹方程。xyoAB 解：设解：设OA斜率为斜率为k（kR），），由由 y=kx x2+4y2-4x=0 得：（得：（1+4k2）x2-4x=0设中点设中点M（x，y），则），则 x=（x1+x2）/2=2/（1+4k2）k=y/x 消参数得：消参数得：x2+4y2-2x=016.过原点的直线与椭圆过原点的直线与椭圆（x-2）2/4+y2=1 相交，求弦中点的轨迹方程。相交，求弦中点的轨迹方程。oxyMA17.抛物线抛物线y2=4x的焦点为的焦点为F,准线与准线与 x轴交于轴交于A,P是抛物线上除去是抛物线上除去 顶点外的动点顶点外的动点,O为顶点为

12、顶点.连接连接FP并延长至并延长至Q,使使|FP|=|PQ|,OQ与与AP交于交于M,求点求点M的轨迹的轨迹.P FQM A y Ox 思路分析思路分析11本题中的动点本题中的动点M M是由两条动直线相交而得是由两条动直线相交而得,而它们的运动又都依赖于动点而它们的运动又都依赖于动点P,P,因此选择因此选择P P的坐标为的坐标为参数参数,写出两直线的方程写出两直线的方程,解方程组解方程组,得点得点M M的轨迹的参的轨迹的参数方程数方程,再化为普通方程再化为普通方程,从而得出从而得出M M的轨迹的轨迹.(交轨法交轨法)思路分析思路分析22既然既然M M的运动依赖于的运动依赖于P P的运动的运动,

13、可否可否用用相关点法相关点法,用用M M的坐标表示的坐标表示P P的坐标的坐标,而而P P又又在已知曲线上运动在已知曲线上运动,代入已知曲线得出代入已知曲线得出M M的方的方程程.M.M和和P P是什么关系是什么关系?回到图中仔细分析回到图中仔细分析,连连接接AQAQ会怎么样会怎么样?点点M M与与AFQAFQ是什么关系是什么关系?本题答案本题答案:轨迹为以轨迹为以(-1/3,0)(-1/3,0)顶点顶点,开口向右的抛物线开口向右的抛物线(除去顶点除去顶点).).281().33yx(,)13232PPMx yAFQxxyy为的 重 心.思路分析思路分析:坐标系的建立是本题的突破口坐标系的建立

14、是本题的突破口,由于由于L L1 1LL2 2,故可选择它们为坐标轴故可选择它们为坐标轴;也可以以线段也可以以线段MNMN的垂直平分线为的垂直平分线为y y轴轴.(.(哪一种更好呢哪一种更好呢?)?)由题设可由题设可知曲线段知曲线段C C为抛物线的一部分为抛物线的一部分,L,L1 1为准线为准线,N,N为焦点为焦点,很显然选择标准方程很显然选择标准方程y y2 2=2px(p0).=2px(p0).下面的关键是下面的关键是求出求出p p的值的值,而而AMNAMN为锐角三角形及为锐角三角形及|BN|=6|BN|=6又起又起什么作用呢什么作用呢?请大家认真思考请大家认真思考.本题答案本题答案:y2

15、=8x(1x4,y0)B A M NL1L2 x y18.已知直线已知直线L1直线直线L2,垂足为垂足为M,点点N L2,(如图如图)以以A,B为端点为端点 的曲线段的曲线段C上任意一点到上任意一点到L1的距离与到的距离与到N的距离相等的距离相等.若若AMN 为锐角三角形为锐角三角形,且且|AM|=17,|AN|=3,|BN|=6.建立适当的坐标系建立适当的坐标系,求曲线段求曲线段C的方程的方程.(1998)222()217422212()292AAAAAApxxpppypxxxpxxp或2Apx19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。21、理想是反映美的心

16、灵的眼睛。22、人生最高之理想，在求达于真理。便有了文明。24、生当做人杰，死亦为鬼雄。25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。27、生活中没有理想的人，是可怜的。28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木

17、不折；锲而不舍，金石可镂。荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。37、理想的书籍是智慧的钥匙。人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。鲁 迅2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。席慕蓉3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。萧楚女4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。鲁 迅5 人类的希望像是

18、一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。巴 金6 我们是国家的主人，应该处处为国家着想。雷 锋7 我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。周恩来8 春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。吴玉章9 学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。毛泽东10 错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。毛泽东38、理想犹如

19、太阳，吸引地上所有的泥水。9君子欲讷于言而敏于行。君子欲讷于言而敏于行。论语 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。10二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。周易 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。11君子藏器于身，待时而动。君子藏器于身，待时而动。周易 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。12满招损，谦受益。满招损，谦受益。尚书 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不

20、足，就能因此而得益。13人不知而不愠，不亦君子乎？人不知而不愠，不亦君子乎？论语 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14言必信言必信，行必果。，行必果。论语 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。15毋意，毋必，毋固，毋我。毋意，毋必，毋固，毋我。论语 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。16三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者

21、而改之。论语 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。17君子求诸己，小人求诸人。君子求诸己，小人求诸人。论语 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧 1天行健，君子以自强不息。天行健，君子以自强不息。周易 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能

22、这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。2勿以恶小而为之，勿以善小而不为。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。三国志刘备语 译：对任何一件事，不要因为它是很小的、不显眼的坏事就去做；相反，对于一些微小的。却有益于别人的好事，不要因为它意义不大就不去做它。3见善如不及，见不善如探汤。见善如不及，见不善如探汤。论语 译：见到好的人，生怕来不及向他学习，见到好的事，生怕迟了就做不了。看到了恶人、坏事，就像是接触到热得发烫的水一样，要立刻离开，避得远远的。4躬自厚而薄责于人，则远怨矣。躬自厚而薄责于人，则远怨矣。论语 译：干活抢重的，有过失主动承担主要责任是“躬自厚”，对别人多谅解多宽容，

23、是“薄责于人”，这样的话，就不会互相怨恨。5君子成人之美，不成人之恶。小人反是。君子成人之美，不成人之恶。小人反是。论语 译：君子总是从善良的或有利于他人的愿望出发，全心全意促使别人实现良好的意愿和正当的要求，不会用冷酷的眼光看世界。或是唯恐天下不乱，不会在别人有失败、错误或痛苦时推波助澜。小人却相反，总是“成人之恶，不成人之美”。6见贤思齐焉，见不贤而内自省也。见贤思齐焉，见不贤而内自省也。论语 译：见到有人在某一方面有超过自己的长处和优点，就虚心请教，认真学习，想办法赶上他，和他达到同一水平；见有人存在某种缺点或不足，就要冷静反省，看自己是不是也有他那样的缺点或不足。7己所不欲，勿施于人。

24、己所不欲，勿施于人。论语 译：自己不想要的（痛苦、灾难、祸事），就不要把它强加到别人身上去。8当仁，不让于师。当仁，不让于师。论语 译：遇到应该做的好事，不能犹豫不决，即使老师在一旁，也应该抢着去做。后发展为成语“当仁不让”。18君子坦荡荡，小人长戚戚。君子坦荡荡，小人长戚戚。论语 译：君子心胸开朗，思想上坦率洁净，外貌动作也显得十分舒畅安定。小人心里欲念太多，心理负担很重，就常忧虑、担心，外貌、动作也显得忐忑不安，常是坐不定，1.书到用时方恨少，事非经过不知难。陈廷焯 译：知识总是在运用时才让人感到太不够了，许多事情如果不亲身经历过就不知道它有多难。72、笨鸟先飞早入林，笨人勤学早成材。省世

25、格言 译：飞得慢的鸟儿提早起飞就会比别的鸟儿早飞入树林，不够聪明的人只要勤奋努力，就可以比别人早成材。73.书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。增广贤文 译：勤奋是登上知识高峰的一条捷径，不怕吃苦才能在知识的海洋里自由遨游。74.学如逆水行舟，不进则退。增广贤文 译：学习要不断进取，不断努力，就像逆水行驶的小船，不努力向前，就只能向后退。75.吾生也有涯，而知也无涯。庄子 译：我的生命是有限的，而人类的知识是无限的。76.天下兴亡，匹夫有责。明顾炎武 译：国家的兴旺、衰败，每一个人都负有很大的责任。77.生于忧患，死于安乐。孟子 译：逆境能使人的意志得到磨炼，使人更坚强。相反，时常满足于享受，会使

26、人不求上进而逐渐落后。78.位卑未敢忘忧国。陆游病起书怀 译：虽然自己地位低微，但是从没忘掉忧国忧民的责任。79.人生自古谁无死，留取丹心照汉青。宋文天祥过零丁洋 译：自古以来，谁都难免会死的，那就把一片爱国的赤胆忠心留在史册上吧！80.先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。宋范仲淹岳阳楼记 译：为国家分忧时，比别人先，比别人急；享受幸福，快乐时，却让别人先，自己居后。知缘斋主人 81.小来思报国，不是爱封侯。小来思报国，不是爱封侯。唐岑参关人赴安西 译：从小就想着报效祖国，而不是想着要封侯当官。）82.有益国家之事虽死弗避。有益国家之事虽死弗避。明吕坤呻吟语卷上 译：对国家有利的事情要勇敢地去做，

27、就算有死亡的危险也不躲避译：风声、雨声、琅琅读书声，都进入我们的耳朵，所以，作为一个读书人，家事、国事，天下的事情，各种事情都应该关心，不能只是死读书。87.生当作人杰，死亦为鬼雄。生当作人杰，死亦为鬼雄。宋李清照夏日绝句 译：活着的时候要做英雄，死后也要当英雄。88.利于国者爱之，害于国者恶之。利于国者爱之，害于国者恶之。晏子春秋 译：对于国家有利的事就要热心地去做，对国家有害的事就要憎恶它，远离它。89.读书本意在元元。读书本意在元元。宋陆游 译：读书的目的应该是掌握了知识后为社会和大众服务，而不是为了自己的升官发财。90.时穷节乃现，一一垂丹青。时穷节乃现，一一垂丹青。宋文天祥 译：历史

28、上许多忠臣义士，在国家有难时，他们的节操就显现出来，一个个名垂史册。91.哀哀父母，生我劬劳。哀哀父母，生我劬劳。诗经 译：想起父母，做子女的是多么为他们感到心痛啊！他们生我育我，花费了多少辛勤的劳动啊！92.报国之心，死而后已。报国之心，死而后已。宋苏轼 译：报效祖国的志向到死都不会变。93.忧国忘家，捐躯济难，忠臣之志也。忧国忘家，捐躯济难，忠臣之志也。三国曹植求自诚表 译：忧虑国家大事忘记小家庭，为拯救国家危难而捐躯献身，这都是忠臣的志向。94.大丈夫处世，当扫除天下，安事一室乎？大丈夫处世，当扫除天下，安事一室乎？汉陈蕃语 译：有志气的人活在世上，应当敢于跟各种不利于国家的行为作斗争，

29、哪能只满足于处理好自己小家的小事呢？95.君子之交淡如水，小人之交甘若醴。君子之交淡如水，小人之交甘若醴。庄子 译：君子之间的交往，像水一样的平淡、纯净，这样的友谊才会持久；往小人之间的交像甜酒一样的又浓又稠，但不会长久。96.老吾老，以及人之老；幼吾幼，以及人之幼。老吾老，以及人之老；幼吾幼，以及人之幼。孟子 译：尊敬、爱戴别人的长辈，要像尊敬、爱戴自己长辈一样；爱护别人的儿女，也97.见侮而不斗，辱也。见侮而不斗，辱也。公孙龙子 译：当正义遭到侮辱、欺凌却不挺身而出，是一种耻辱的表现。98.天下皆知取之为取，而莫知与之为取。天下皆知取之为取，而莫知与之为取。后汉书 译：人们都认为只有获取别人的东西才是收获，却不知道给予别人也是一种收获。99.人固有一死，或重于泰山，或轻于鸿毛。人固有一死，或重于泰山，或轻于鸿毛。汉司马迁史记 译：人终究免不了一死，但死的价值不同，为了人民正义的事业而死就比泰山还重，而那些自私自利，损人利已的人之死就比鸿毛还轻。知缘斋主人 100.羊有跪乳之恩，鸦有反哺之义。羊有跪乳之恩，鸦有反哺之义。增广贤文 译：羊羔有跪下接受母乳的感恩举动，小乌鸦有衔食喂母鸦的情义，做子女的更要懂得孝顺父母 83.一寸山河一寸金。一寸山河一寸金。金左企弓语 译：祖国的每一寸山河比一寸黄金还要宝贵，是绝不能让给外人的。