1、3.1 导数的概念及运算 第三章 导数及其应用 基础知识 自主学习 课时作业 题型分类 深度剖析 内容索引 基础知识 自主学习 1.导数与导函数的概念 (1)当 x1趋于 x0， 即 x趋于 0时 ， 如果 ， 那么这个值就是函数 y f(x)在 x0点的瞬时变化率 .在数学中 ， 称瞬时变化率为 函 数 y f(x)在 x0点的导数 ， 通常用符号 f (x0)表示 ， 记作 f (x0) _ . 知识梳理 平均变化率趋于一个固定的值 li mx 1 x 0f ? x 1 ? f ? x 0 ?x 1 x 0 l i m x 0f ? x 0 x ? f ? x 0 ? x (2)如果一个函
2、数 f(x)在区间 (a， b)上的每一点 x处都有导数 ， 导数值记 为 f (x)： f (x) ， 则 f (x)是关于 x的函数 ， 称 f (x)为 f(x)的导函数 ， 通常也简称为导数 . 2.导数的几何意义 函数 y f(x)在点 x0处的导数的几何意义 ， 就是曲线 y f(x)在点 P(x0， f(x0)处的切线的斜率 k， 即 k . f (x0) li m x 0f ? x x ? f ? x ? x 基本初等函数 导函数 f(x) c(c为常数 ) f (x) _ f(x) x(为实数 ) f (x) _ f(x) sin x f (x) _ f(x) cos x f
3、 (x) _ f(x) ex f (x) _ f(x) ax(a0， a 1) f (x) _ f(x) ln x f (x) _ f(x) logax(a0， a 1) f (x) _ 3.基本初等函数的导数公式 1x 1x ln a 0x 1 cos x sin x ex axln a 4.导数的运算法则 若 f (x)， g (x)存在 ， 则有 (1)f(x) g(x) ； (2)f(x)g(x) ； f (x) g (x) f (x)g(x) f(x)g (x) ( 3 ) f ? x ?g ? x ? ( g ( x ) 0) . f ? x ? g ? x ? f ? x ? g
4、 ? x ?g 2 ? x ?5.复合函数的导数 一般地 ， 对于两个函数 y f(u)和 u (x) ax b， 给定 x的一个值 ， 就得到了 u的值 ， 进而确定了 y的值 ， 这样 y可以表示成 x的函数 ， 我们称这个函数为函数 y f(u)和 u (x)的复合函数 ， 记作 y f(x).其中 u为中间变量 .复合函数 y f(x)的导数 为 . yx f(x) f (u) (x) 1.奇函数的导数是偶函数 ， 偶函数的导数是奇函数 ， 周期函数的导数还是周期函数 . 2.af(x) bg(x) af (x) bg (x). 3.函数 y f(x)的导数 f (x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势 ， 其正负号反映了变化的方向 ， 其大小 |f (x)|反映了变化的快慢 ， |f (x)|越大 ， 曲线在这点处的切线越 “ 陡 ” . 【 知识拓展 】 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “ ” ) (1)f (x0)是函数 y f(x)在 x x0附近的平均变化率 .( ) (2)f (x0)与 f(x0) 表示的意义相同 .( ) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线 .( ) (4)函数 f(x) sin( x)的导数是 f (x) cos x.( ) 基础自测 1 2 3 4 5 6 7
