流体力学课程课件(精华版)..ppt

1、v 在连续介质假设下，讨论描述流体运动的方在连续介质假设下，讨论描述流体运动的方法，根据运动要素的特性对流动进行分类。法，根据运动要素的特性对流动进行分类。v 本章的讨论是纯运动学意义上的，不涉及流本章的讨论是纯运动学意义上的，不涉及流动的动力学因素。动的动力学因素。v 连续方程是质量守恒定律对流体运动的一个连续方程是质量守恒定律对流体运动的一个具体约束，也在本章的讨论范围之中。具体约束，也在本章的讨论范围之中。31 描述流动的方法32 有关流场的几个基本概念33 流体微团运动的分析34 连续性方程31 描述流动的方法 离散离散 质点系质点系刚体刚体流体流体质点间质点间的约束的约束强强无无弱弱

2、 一一.描述流体运动的困难描述流体运动的困难质点数质点数N个个无穷无穷无穷无穷 离散离散 质点系质点系刚体刚体流体流体六个自由度运动v 编号，逐点描述v 3N个自由度困难：困难：v 无穷多质点v 有变形v 不易显示 离散离散 质点系质点系刚体刚体流体流体 二二.拉格朗日法拉格朗日法 拉格朗日法是质点系拉格朗日法是质点系法，它定义流体质点的法，它定义流体质点的位移矢量为：位移矢量为：(a,b,c)是拉格朗日变数，即是拉格朗日变数，即 t=t0 时刻质点的空间位置，用时刻质点的空间位置，用来对连续介质中无穷多个质点来对连续介质中无穷多个质点进行编号，作为质点标签。进行编号，作为质点标签。易知易知

3、流体在运动过程中其它运动要流体在运动过程中其它运动要素和物理量的时间历程也可用拉素和物理量的时间历程也可用拉格朗日法描述，如速度、密度等：格朗日法描述，如速度、密度等：欧拉法是流场法，欧拉法是流场法，它定义流体质点的速它定义流体质点的速度矢量场为：度矢量场为：(x,y,z)是空间点（场是空间点（场点）。流速点）。流速 u 是在是在 t 时时刻占据刻占据(x,y,z)的那个流的那个流体质点的速度矢量。体质点的速度矢量。三三.欧拉法欧拉法 流体的其它运动要素和物理特性也都可用相应的时间和空间流体的其它运动要素和物理特性也都可用相应的时间和空间域上的场的形式表达。如加速度场、压力场等：域上的场的形式

4、表达。如加速度场、压力场等：着眼于流体质点，跟踪着眼于流体质点，跟踪质点描述其运动历程质点描述其运动历程着眼于空间点，研究着眼于空间点，研究质点流经空间各固定质点流经空间各固定点的运动特性点的运动特性 如果流场的空间分布不随时间变化，其欧拉表达式中将不显如果流场的空间分布不随时间变化，其欧拉表达式中将不显含时间含时间 t，这样的流场称为恒定流。否则称为非恒定流。，这样的流场称为恒定流。否则称为非恒定流。欧拉法是描述流体运欧拉法是描述流体运动常用的一种方法。动常用的一种方法。欧拉法把流场的运动要素和物理量都用场的形式表达，为在欧拉法把流场的运动要素和物理量都用场的形式表达，为在分析流体力学问题时

5、直接运用场论的数学知识创造了便利条分析流体力学问题时直接运用场论的数学知识创造了便利条件。件。四四.流体质点的加速度、质点导数流体质点的加速度、质点导数速度是同一流体质点的位速度是同一流体质点的位移对时间的变化率，加速度移对时间的变化率，加速度则是同一流体质点的速度对则是同一流体质点的速度对时间的变化率。时间的变化率。通过位移求速度或通过速通过位移求速度或通过速度求加速度，必须跟定流体度求加速度，必须跟定流体质点，应该在质点，应该在拉格朗日拉格朗日观点观点下进行。下进行。若流动是用拉格朗日法描述若流动是用拉格朗日法描述的，求速度和加速度只须将位移的，求速度和加速度只须将位移矢量直接对时间求一、

6、二阶导数矢量直接对时间求一、二阶导数即可。即可。求导时求导时 a,b,c 作 为 参 数 不作 为 参 数 不变，意即跟定变，意即跟定流体质点。流体质点。跟定流体质点跟定流体质点后，后，x,y,z 均随均随 t 变，而且变，而且),(d),d(zyxuuutzyx 若流场是用欧拉法若流场是用欧拉法描述的，流体质点描述的，流体质点加速度的求法必须加速度的求法必须特别注意。特别注意。用欧拉法描述，处用欧拉法描述，处理拉格朗日观点的理拉格朗日观点的问题。问题。uuuuuuuuuuua)(ddddddddtzuyuxuttzztyytxxttzyx),(tzyxuu tddutuuu)(=+质点加速度

7、 位变加速度由流速不均由流速不均匀性引起匀性引起时变加速度由流速由流速不恒定不恒定性引起性引起uuuua)(ddttzuuyuuxuututuazzzyzxzzzddzuuyuuxuututuaxzxyxxxxxddzuuyuuxuututuayzyyyxyyydd分量分量形式形式 时间因素与空间因素对加速度贡献的分解yxzt+tM0Mtuuu)(yxzM0tBAABuAdtuBdt举例举例tddt)(u=+时变导数当地导数局部导数 全 质导 点数 导 数位变导数迁移导数对流导数 算子算子zuyuxuttzyxdd例如例如不可压不可压是其特例是其特例32 有关流场的几个基本概念 一一.恒定流、

8、非恒定流恒定流、非恒定流 若流场中各空间点上的若流场中各空间点上的任何运动要素均不随时间任何运动要素均不随时间变化，称流动为恒定流。变化，称流动为恒定流。否则，为非恒定流。否则，为非恒定流。恒定流中，所有物恒定流中，所有物理量的欧拉表达式中理量的欧拉表达式中将不显含时间，它们将不显含时间，它们只是空间位置坐标的只是空间位置坐标的函数，时变导数为零。函数，时变导数为零。例如，恒定流的例如，恒定流的流速场：流速场：恒定流的时变加速恒定流的时变加速度为零，但位变加速度为零，但位变加速度度可以不为零。可以不为零。流动是否流动是否恒定与所选恒定与所选取的参考坐取的参考坐标系有关标系有关,因此是相对因此是

9、相对的概念的概念。二二.迹线和流线迹线和流线 迹线是流体迹线是流体质点运动的轨质点运动的轨迹，迹，是与拉格是与拉格朗日观点相对朗日观点相对应的概念。应的概念。),(tcbarr 拉格朗日法中位移拉格朗日法中位移表达式表达式即为迹线的参数方即为迹线的参数方程。程。t 是变数，是变数，a,b,c 是是参数。参数。这是由三个一阶常微分方程组成的方程组，未知变量为质点这是由三个一阶常微分方程组成的方程组，未知变量为质点位置坐标位置坐标（x,y,z），它是，它是 t 的函数。给定初始时刻质点的位的函数。给定初始时刻质点的位置坐标，就可以积分得到迹线。置坐标，就可以积分得到迹线。在欧拉观点下求迹线，因须跟

10、定流体质点，此时欧拉变数在欧拉观点下求迹线，因须跟定流体质点，此时欧拉变数 x,y,z 成为成为 t 的函数，所以迹线的微分方程为的函数，所以迹线的微分方程为 流线是流速场的矢量线，是某瞬时对应的流场中的一条曲线，该瞬时位于流线上的流体质点之速度矢量都和流线相切。流线是与欧拉观点相对应的概念。有了流线，流场的空间分布流线是与欧拉观点相对应的概念。有了流线，流场的空间分布情况就得到了形象化的描绘。情况就得到了形象化的描绘。根据定义，流线的微分方程为根据定义，流线的微分方程为 实际上这是两个微分方程，其中实际上这是两个微分方程，其中 t 是参数。可求解得到两族是参数。可求解得到两族曲面，它们的交线

11、就是流线族。曲面，它们的交线就是流线族。其中其中 已知直角坐标系中的速度场已知直角坐标系中的速度场 ux=x+t；uy=-y+t；uz=0,试求试求t=0 时过时过 M(-1,-1)(-1,-1)点的点的流线流线。解解：ux=x+t；uy=-y+t；uz=0(x+t)(-y+t)=Ct=0 时过时过 M(-1,-1)(-1,-1)：C=-1 积分积分 xy=1 由流线的微分方程：由流线的微分方程：t=0 时过时过 M(-1,-1)(-1,-1)点的流线：点的流线：举举 例例t=0 时过时过 M(-1,-1)(-1,-1)：C1=C2=0 已知直角坐标系中的速度场已知直角坐标系中的速度场 ux=

12、x+t；uy=-y+t；uz=0,试求试求t=0 时过时过 M(-1,-1)(-1,-1)点的点的迹线迹线。解解：ux=x+t；uy=-y+t；uz=0 求解求解 x+y=-2 由迹线的微分方程：由迹线的微分方程：txtxddtytyddx=-t-1y=t-1消去消去t，得迹线方程：得迹线方程：举举 例例迹线流线xyot=0 时过时过 M(-1,-1)(-1,-1)点的流线和迹线示意图点的流线和迹线示意图M(-1,-1)在非恒定流情况下，流在非恒定流情况下，流线一般会随时间变化。在线一般会随时间变化。在恒定流情况下，流线不随恒定流情况下，流线不随时间变，流体质点将沿着时间变，流体质点将沿着流线

13、走，迹线与流线重合。流线走，迹线与流线重合。迹线和流线最基本的差别是：迹线是同一流迹线和流线最基本的差别是：迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与拉格朗日观体质点在不同时刻的位移曲线，与拉格朗日观点对应，而流线是同一时刻、不同流体质点速点对应，而流线是同一时刻、不同流体质点速度矢量与之相切的曲线，与欧拉观点相对应。度矢量与之相切的曲线，与欧拉观点相对应。即使是在恒定流中，迹线与流线重合，两者仍即使是在恒定流中，迹线与流线重合，两者仍是完全不同的概念。是完全不同的概念。根据流线的定义，根据流线的定义，可以推断：除非流可以推断：除非流速为零或无穷大处，速为零或无穷大处，流线不能相交，也流线不能

14、相交，也不能转折。不能转折。如何用摄象机获如何用摄象机获取流线和迹线？取流线和迹线？思思 考考?三三.流管和流量流管和流量流线流线 在流场中，取一条在流场中，取一条不与流线重合的封闭不与流线重合的封闭曲线曲线L，在同一时刻，在同一时刻过过 L上每一点作流线，上每一点作流线，由这些流线围成的管由这些流线围成的管状曲面称为状曲面称为流管流管。与流线一样，与流线一样，流管是瞬时概流管是瞬时概念。念。根据流管的定义易知，在根据流管的定义易知，在对应瞬时，流体不可能通对应瞬时，流体不可能通过流管表面流出或流入。过流管表面流出或流入。L流管流管 与流动方向正交的流管的横断面与流动方向正交的流管的横断面 过

15、水断面为面积微元过水断面为面积微元的流管叫的流管叫元流管元流管，其，其中的流动称为中的流动称为元流元流。过水断面为有限面积的流管中的流动叫过水断面为有限面积的流管中的流动叫总流总流。总流可看作无数个元流的集合。总流的过水断总流可看作无数个元流的集合。总流的过水断面一般为曲面。面一般为曲面。dA1dA2u1u2 过水断面过水断面 称为称为质量流量质量流量，记为，记为Qm，单位为，单位为 kg/s.流量计算流量计算公式中，曲面公式中，曲面 A 的法线指向应予明确，指向相反，流量将反号。的法线指向应予明确，指向相反，流量将反号。闭曲面的法向一般指所围区域的外法向。闭曲面的法向一般指所围区域的外法向。

16、通过流场中某曲面通过流场中某曲面 A 的流速通量的流速通量AAdnuAAdnu称为称为流量流量，记为，记为 Q，它的物理意，它的物理意义是单位时间穿过该曲面的流体义是单位时间穿过该曲面的流体体积，所以也称为体积，所以也称为体积流量体积流量，单，单位为位为 m3/s.dAuAn 总流过水断面上的流速总流过水断面上的流速与法向一致，所以穿过与法向一致，所以穿过过水断面过水断面 A 的流量大小的流量大小为为 ，其中，其中 u 为流速的大小。为流速的大小。AAuQd 定义体积流量与断面面积定义体积流量与断面面积之比之比 为为断面平均流速，它是过水断面上不均匀流速它是过水断面上不均匀流速u 的一个平均值

17、，假设过水的一个平均值，假设过水断面上各点流速大小均等于断面上各点流速大小均等于v，方向与实际流动方向相，方向与实际流动方向相同，则通过的流量与实际流同，则通过的流量与实际流量相等。量相等。AQv 位变导数？0)(uu均匀流均匀流非均匀流非均匀流 四四.均匀流、非均匀流；渐变流、急变流均匀流、非均匀流；渐变流、急变流 均匀流的流线必为相互平行的直线，而非均匀流的均匀流的流线必为相互平行的直线，而非均匀流的流线要么是曲线，要么是不相平行的直线。流线要么是曲线，要么是不相平行的直线。判别：判别：uxazyx 应注意将均匀流与完全不随空间位置而变的等速直线流动应注意将均匀流与完全不随空间位置而变的等

18、速直线流动constu 例如，以下的流动例如，以下的流动是均匀流：是均匀流：0,)(zyxxuuyuu相区别，前者是流动沿着流线方向不变，后者是流动沿着空间任相区别，前者是流动沿着流线方向不变，后者是流动沿着空间任何方向不变。后者是均匀流的一个特例。何方向不变。后者是均匀流的一个特例。o 在实际流动中，经在实际流动中，经常会见到均匀流，如常会见到均匀流，如等截面的长直管道内等截面的长直管道内的流动、断面形状不的流动、断面形状不变，且水深不变的长变，且水深不变的长直渠道内的流动等。直渠道内的流动等。恒定均匀流的时变加速度恒定均匀流的时变加速度和位变加速度都为零，即流和位变加速度都为零，即流体质点

19、的惯性力为零，将作体质点的惯性力为零，将作匀速直线运动。若总流为均匀速直线运动。若总流为均匀流，其过水断面是平面。匀流，其过水断面是平面。这些均匀流的运动学特性，这些均匀流的运动学特性，将给以后处理相关的动力学将给以后处理相关的动力学问题带来便利，因此在分析问题带来便利，因此在分析流动时，特别关注流动是否流动时，特别关注流动是否为均匀流的判别。为均匀流的判别。是否接近是否接近均匀流均匀流？渐变流渐变流流线虽不平行，但夹角较小；流线虽不平行，但夹角较小；流线虽有弯曲，但曲率较小。流线虽有弯曲，但曲率较小。急变流急变流流线间夹角较大；流线间夹角较大；流线弯曲的曲率较大。流线弯曲的曲率较大。渐变流和

20、急变流是工程意义上对流动是否符合均匀流条件渐变流和急变流是工程意义上对流动是否符合均匀流条件的划分，两者之间没有明显的、确定的界限，需要根据实际情的划分，两者之间没有明显的、确定的界限，需要根据实际情况来判定况来判定是是否否急变流示意图 五五.流动按空间维数的分类流动按空间维数的分类一维流动一维流动二维流动二维流动三维流动三维流动平面流动轴对称流动 任何实际流动从本质上讲都是在三维空间内发生的，二维和任何实际流动从本质上讲都是在三维空间内发生的，二维和一维流动是在一些特定情况下对实际流动的简化和抽象，以便一维流动是在一些特定情况下对实际流动的简化和抽象，以便分析处理。分析处理。uu x y t

21、uux y tuxxyyz(,)(,)0 直角系中的直角系中的平面流动平面流动：00zuz 流场与某一空间流场与某一空间坐标变量无关，且沿该坐标坐标变量无关，且沿该坐标方向无速度分量的流动。方向无速度分量的流动。xyoxyzou0u0大展弦比机翼绕流 二维流动zro 柱坐标系中的柱坐标系中的轴对称流动轴对称流动：液体在圆截面管道中的流动子午面子午面 流动要素只取决于一个空间坐标变量的流动流动要素只取决于一个空间坐标变量的流动 在实际问题中，常把总流也简化为一维流动，此时取定空间在实际问题中，常把总流也简化为一维流动，此时取定空间曲线坐标曲线坐标 s 的值相当于指定总流的过水断面，但由于过水断面

22、的值相当于指定总流的过水断面，但由于过水断面上的流动要素一般是不均匀的，所以一维简化的关键是要在过上的流动要素一般是不均匀的，所以一维简化的关键是要在过水断面上给出运动要素的代表值，通常的办法是取平均值。水断面上给出运动要素的代表值，通常的办法是取平均值。s 一维流动其流场为其流场为s 空间曲线坐标空间曲线坐标 元流是严格的一维流动，空间曲线坐标元流是严格的一维流动，空间曲线坐标 s 沿着流线。沿着流线。六六.系统和控制体系统和控制体 由确定的流体质点组成由确定的流体质点组成的集合称为的集合称为系统系统。系统在。系统在运动过程中，其空间位置、运动过程中，其空间位置、体积、形状都会随时间变体积、

23、形状都会随时间变化，但与外界无质量交换。化，但与外界无质量交换。有流体流过的固定不变有流体流过的固定不变的空间区域称为的空间区域称为控制体控制体，其边界叫其边界叫控制面控制面。不同。不同的时间控制体将被不同的时间控制体将被不同的系统所占据。的系统所占据。站在系统的角度观察和描述流体的运动及物理量的变化是站在系统的角度观察和描述流体的运动及物理量的变化是拉格朗日方法的特征，而站在控制体的角度观察和描述流体拉格朗日方法的特征，而站在控制体的角度观察和描述流体的运动及物理量的变化是欧拉方法的特征。的运动及物理量的变化是欧拉方法的特征。占 据有限体积有限体积 系统系统 流体团流体团微分体积微分体积 系

24、统系统流体微团流体微团 最小的最小的 系统系统流体质点流体质点 有限体积有限体积 控制体控制体 微元微元 控制体控制体 场点场点大 小33 流体微团运动的分析 考察和分析流体考察和分析流体质点之间的相对位质点之间的相对位移和相对运动。移和相对运动。谈及相对运动就必须把谈及相对运动就必须把讨论问题的尺度从流体质讨论问题的尺度从流体质点扩大到流体微团。点扩大到流体微团。给出在同一给出在同一时刻流体微团时刻流体微团中任意两点速中任意两点速度之间的关系。度之间的关系。分析流体微团分析流体微团的运动形式。的运动形式。一一.亥姆霍兹速度分解定理亥姆霍兹速度分解定理 在在 M 点的一阶台劳展开，以点的一阶台

25、劳展开，以 x 方向分量为例。方向分量为例。)d,d,d(zzyyxxMu),(zyxMuu drzzuyyuxxuuuxxxxxdddzxuzuyxuyuxxuxuuzxyxxxxd21d21d21zxuzuyxuyuzxyxd21d21zyzyxuyzxzxyxxxdddddxzxzyuuzxyxyzyyyydddddyxyxzuuxyzyzxzzzzddddd 同理同理rruuddzyzyxuuyzxzxyxxxxdddddxzxzyuuzxyxyzyyyydddddyxyxzuuxyzyzxzzzzddddd合并成矢量形式合并成矢量形式流体微团中任意两点间速度关流体微团中任意两点间速度

26、关系的一般形式。系的一般形式。亥姆亥姆霍兹霍兹速度速度分解分解定理定理zuzuzuyuzuxuyuzuyuyuyuxuxuzuxuyuxuxuzzyzxzzyyyxyzxyxxxzzzyzxyzyyyxxzxyxx212121212121212121主对角线上主对角线上三个元素是三个元素是线变形速率线变形速率其余的其余的是是角变角变形速率形速率流体的流体的变形变形速率张量速率张量，是二阶对称是二阶对称张量张量流体流体旋转角速度旋转角速度矢量，它恰是流矢量，它恰是流速场的速场的旋度旋度矢量矢量的一半。的一半。u2121,21,21),(yuxuxuzuzuyuxyzxyzzyx zyxuuuzy

27、xkjiu旋度旋度 二二.流体微团运动分析流体微团运动分析 以以 oxy 平面上的运动为例，解释平面上的运动为例，解释 E 和和 的含义，进而给出亥的含义，进而给出亥姆霍兹速度分解定理的物理意义，分析流体微团的运动。姆霍兹速度分解定理的物理意义，分析流体微团的运动。MMABAMBMxyot t+dtdxdyMMABAMBMxyot t+dtxuxxx 由由 A 点相对于点相对于 M 点的点的 x 方向的速度差引起方向的速度差引起txxuxddMA 的伸长的伸长=表示单位时间、表示单位时间、x方向单位长方向单位长度流体线段的伸长，即度流体线段的伸长，即x方向方向的的线变形速率线变形速率。txxu

28、xdddxdyMMABAMBMxyot t+dtdxdyd1d2txxuyddtyyuxdd ,直角直角 AMB 的减小的减小:d1+d2=txuydd1tyuxdd2txuyuyxdxyxyuyux12表示表示 oxy 坐标面上流体直角坐标面上流体直角减小速率的一半，也称为减小速率的一半，也称为角角变形速率变形速率 MMABAMBMxyot t+dtdxdyd1d2txxuyddtyyuxdd表示表示 oxy 坐标面上两直角边旋转坐标面上两直角边旋转的平均速率，即直角平分线的旋的平均速率，即直角平分线的旋转速率，也是转速率，也是 M 点处流体点处流体平均旋平均旋转角速度转角速度矢量在矢量在

29、z 轴上的分量。轴上的分量。,直角边直角边 MA，MB 的逆时针的逆时针转过角度的平均值转过角度的平均值:txuydd1tyuxdd2)d(d2121tyuxuxyd21yuxuxyz21 亥姆霍兹速度分解定理各项的物理意义：亥姆霍兹速度分解定理各项的物理意义：:点的流速；点的流速；:点的流速；点的流速；:流体变形率张量流体变形率张量 E 对两点相对运动速度的贡献，对两点相对运动速度的贡献，包括线变形和角变形；包括线变形和角变形；:流体平均旋转角速度流体平均旋转角速度 引起的两点相对运动速度。引起的两点相对运动速度。u MuMrdrdrruudd平移平移变形变形转动转动基准点是基准点是展开点展

30、开点M变形速度变形速度 转动速度转动速度 适用范围适用范围流体流体刚体有有因点而异因点而异流体微团流体微团无无不随点变不随点变整个刚体整个刚体 流体速度分解与刚体速度分解的异同流体速度分解与刚体速度分解的异同 唯一的标准是看流速场是否满足唯一的标准是看流速场是否满足 ，写成分，写成分量形式为：量形式为：判别：判别：三三.有旋流动和无旋流动有旋流动和无旋流动旋度 无旋流动无旋流动有旋流动有旋流动?0 uyuxuxuzuzuyuxyzxyz,0 u这个分类是这个分类是 很重要的很重要的无旋流动无旋流动有势流动有势流动等 价0 uzuyuxuzyxdddduzuyuxuzyx0ddddzuyuxuL

31、zyxLlu 称为称为速度势函数速度势函数 有旋流动和有势流动的判别仅在于流速场的旋度是否为零。有旋流动和有势流动的判别仅在于流速场的旋度是否为零。不要根据流线是直线或曲线来直观判别，以免出错。不要根据流线是直线或曲线来直观判别，以免出错。流线是圆周，无旋流线是圆周，无旋流线是直线，有旋流线是直线，有旋xyoxyo 一一.三维流动的连续性微分方程三维流动的连续性微分方程xyzodxdydzuxabcdabcd净流入前后这一对表面的流净流入前后这一对表面的流体质量为体质量为 在时间段在时间段dt 里，从里，从 abcd 面流入微元体的流体质量面流入微元体的流体质量为为tzyuxdddtzyxxu

32、uxxdddd)(tzyxxuxdddd)(从从abcd面流出的流体质面流出的流体质量为量为34 连续性方程 连续性方程连续性方程 质量守恒定律对流质量守恒定律对流体运动的一个基本体运动的一个基本约束约束 用欧拉观点对质量守恒原用欧拉观点对质量守恒原理的描述：连续介质的运动理的描述：连续介质的运动必须维持质点的连续性，即必须维持质点的连续性，即质点间不能发生空隙。因此，质点间不能发生空隙。因此，净流入控制体的流体质量必净流入控制体的流体质量必等于控制体内因流体密度变等于控制体内因流体密度变化而增加的质量。化而增加的质量。xyzodxdydzuzabcdabcd 同理可知，在时间段同理可知，在时

33、间段dt 里，里，沿着沿着 y 方向和方向和 z 方向净流入方向净流入左右和上下两对表面的流左右和上下两对表面的流体质量分别为体质量分别为tzyxyuydddd)(tzyxzuzdddd)(和和uy0)()()(zuyuxutzyx0)(ut三维流动的连三维流动的连续性微分方程续性微分方程 在时间段在时间段dt 里，微元内流体质量的增加里，微元内流体质量的增加 根据质量守恒原理根据质量守恒原理简化简化或写成或写成 对于不可压缩流体的对于不可压缩流体的流动（不论是恒定或非流动（不论是恒定或非恒定），连续方程为恒定），连续方程为0)()()(zuyuxuzyxu 恒定流动的连续方程恒定流动的连续方

34、程0zuyuxuzyxuzuyuxuzyx u速度场的散度速度场的散度流体微团在三个互相垂直方流体微团在三个互相垂直方向上的线变形速率之和，也向上的线变形速率之和，也是流体微团的体积膨胀率。是流体微团的体积膨胀率。连续方程连续方程 表明不可压缩流体微团在三个互相垂直方表明不可压缩流体微团在三个互相垂直方向上的线变形速率的总和必为零，若在一个方向上有拉伸，则向上的线变形速率的总和必为零，若在一个方向上有拉伸，则必有另一个方向上的压缩，在运动过程中其体积不会发生变化。必有另一个方向上的压缩，在运动过程中其体积不会发生变化。0 u 试用微元分析法在极坐标中写出平面流动的微分形式连续方程试用微元分析法

35、在极坐标中写出平面流动的微分形式连续方程duourrddrr 恒定条件下：恒定条件下：总流管的形状、位置不随时间变化。总流管的形状、位置不随时间变化。总流内的流体是不存在空隙的连续介质，其密度分布恒定，总流内的流体是不存在空隙的连续介质，其密度分布恒定，所以这段总流管内的流体质量也不随时间变化。所以这段总流管内的流体质量也不随时间变化。没有流体穿过总流管侧壁流入或流出，流体只能通过两个没有流体穿过总流管侧壁流入或流出，流体只能通过两个过流断面进出控制体。过流断面进出控制体。二二.恒定总流的连续性方程恒定总流的连续性方程 控制体：上游过水控制体：上游过水断面断面 A1 和下游过水断和下游过水断面

36、面 A2 之间的总流管之间的总流管A1A2QmQm21ddAAAuAu 根据质量守恒定律即可得出结论：在单位时间内通过根据质量守恒定律即可得出结论：在单位时间内通过 A1 流入流入控制体的流体质量等于通过控制体的流体质量等于通过 A2 流出控制体的流体质量。流出控制体的流体质量。通过恒定总流两个过水断面的质量流量相等。通过恒定总流两个过水断面的质量流量相等。恒定总流恒定总流连续方程连续方程又若流体不可压，又若流体不可压，const21mmQQ2211vAvA21ddAAAuAu即即或或通过恒定总流两个过水断面的体积流量相等。通过恒定总流两个过水断面的体积流量相等。QQ12 对于不可压缩对于不可压缩流体，根据连续流体，根据连续方程，容易理解方程，容易理解为什么流线的疏为什么流线的疏密能够反映流速密能够反映流速的大小。的大小。在有分流汇入及流出的在有分流汇入及流出的情况下，连续方程只须情况下，连续方程只须作相应变化。质量的总作相应变化。质量的总流入流入=质量的总流出。质量的总流出。2mQ321mmmQQQ1mQ3mQ