1、第二节直线的交点与距离公式,总纲目录,教材研读,1.两条直线的交点,考点突破,2.三种距离,考点二距离问题,考点一直线的交点,考点三对称问题,1.两条直线的交点,教材研读,2.三种距离,1.两条直线l1:2x+y-1=0和l2:x-2y+4=0的交点为?()A.? B.?C.?D.,答案B解方程组?得?所以两直线的交点为?.,B,2.(2016北京,5,5分)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为?()A.1 B.2C.?D.2,答案C由题意知圆心坐标为(-1,0),将直线y=x+3化成一般形式为x-y+3=0,故圆心到直线的距离d=?=?.故选C.,C,3.已知直线l1:x+
2、y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1,l2之间的距离为?()A.1 B.?C.?D.2,答案B由题意可知l1与l2平行,故l1与l2之间的距离d=?=?=?,故选B.,B,4.若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+by=0相交于一点,则b=.,答案-,-,解析由?解得?将其代入x+by=0,得b=-?.,5.已知坐标平面内两点A(x,?-x)和B?,那么这两点之间距离的最小值是.,考点一直线的交点,考点突破,典例1(1)经过直线l1:x+y+1=0与直线l2:x-y+3=0的交点P,且与直线l3:2x-y+2=0垂直的直线l的方程是.(2)已知三条直线l1:4x+y-4=0,l
3、2:mx+y=0,l3:2x-3my-4=0,若它们不能围成三角形,则m的取值构成的集合是.,答案(1)x+2y=0(2),解析(1)解法一:由方程组?解得?即点P(-2,1),由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-1=k(x+2),l3l,k=-?,直线l的方程为y-1=-?(x+2),即x+2y=0.解法二:因为直线l过直线l1和l2的交点,所以可设直线l的方程为x+y+1+(x-y+3)=0,即(1+)x+(1-)y+1+3=0.因为l与l3垂直,所以2(1+)-(1-)=0,所以=-?,所以直线l的方程为?x+?y=0,即x+2y=0.(2)由已知易知l2与l3相交,且交点为?
4、,若l1、l2、l3交于一点,则易得m=-1或?;若l1l2,则m=4;若l1l3,则m=-?.综上可得,m=-1或?或4或-?.,变式1-1若将本例(1)中的条件“垂直”改为“平行”,试求l的方程.,解析由方程组?解得?即点P(-2,1).设直线l的方程为y-1=k(x+2),因为ll3,所以k=2,故直线l的方程为y-1=2(x+2),即2x-y+5=0.,1-2当0k?时,直线l1:kx-y=k-1与直线l2:ky-x=2k的交点在?()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限,答案B由?得?又00,故直线l1:kx-y=k-1与直线l2:ky-x=2k的交点在第二象限.,B,解
5、析(1)因为?=?,所以两直线平行,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即?=?,所以|PQ|的最小值为?.(2)设点P的坐标为(a,b),A(4,-3),B(2,-1),线段AB的中点M的坐标为(3,-2),而AB的斜率kAB=?=-1,线段AB的垂直平分线方程为y+2=x-3,即x-y-5=0.点P(a,b)在直线x-y-5=0上,a-b-5=0.?,答案(1)C(2)(1,-4)或,又点P(a,b)到直线l:4x+3y-2=0的距离为2,?=2,即4a+3b-2=10,?由联立可得?或?点P的坐标为(1,-4)或?.,易错警示(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=
6、|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;(2)在运用两平行线间的距离公式时要把两直线方程中x,y的系数化为相等.,2-1已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是?()A.?B.?C.8D.2,答案D由题意知?=?,m=8,直线6x+my+14=0可化为3x+4y+7=0,两平行线之间的距离d=?=2.,D,2-2已知P点坐标为(2,-1).(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程;(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程,并求出最大距离;(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.,解析(1)过P点的
7、直线l与原点距离为2,又P点坐标为(2,-1),可见,过P(2,-1)且垂直于x轴的直线满足条件,此时l的斜率不存在,其方程为x=2.若斜率存在,则设l的方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.则?=2,解得k=?.此时l的方程为3x-4y-10=0.综上,直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.(2)由题意可知过P点且与原点距离最大的直线l是过P点且与PO(O为坐标原点)垂直的直线,由lOP,得klkOP=-1,所以kl=-?=2.由点斜式得直线l的方程为y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.所以2x-y-5=0是过P点且与原点距离最大的直线的方程,最大距离为?=?.(
8、3)不存在.由(2)可知,不存在过P点且与原点距离超过?的直线,因此不存在过P点且与原点距离为6的直线.,考点三 对称问题命题角度一点关于点的对称典例3过点P(0,1)作直线l使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,求直线l的方程.,解析设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,将其代入l2的方程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,则A(4,0),又P(0,1),所以直线l的方程为x+4y-4=0.,命题角度二点关于线的对称典例4求点A(-1,-2)关于直线l:2x-3y+1=0的对称
9、点A的坐标.,解析设A(x,y),则由已知得?解得?A?.,命题角度三线关于点的对称典例5求直线l:2x-3y+1=0关于点A(-1,-2)对称的直线l的方程.,解析设P(x,y)为l上任意一点,则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P(-2-x,-4-y),点P在直线l上,2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,即2x-3y-9=0.则直线l的方程为2x-3y-9=0.,命题角度四线关于线的对称典例6求直线m:3x-2y-6=0关于直线l:2x-3y+1=0的对称直线m的方程.,解析在直线m上任取一点,如点M(2,0),则点M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上.设点M的对称点
10、M的坐标为(a,b),则?解得?故点M的坐标为?.设直线m与直线l的交点为N,由?解得?则N(4,3).由两点式可得直线m的方程为9x-46y+102=0.,D,答案D,解析以AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立如图所示的坐标系,由题意可知B(4,0),C(0,4),A(0,0),则直线BC的方程为x+y-4=0.,设P(t,0)(0t4),由对称知识可得点P关于直线BC的对称点P1的坐标为(4,4-t),点P关于y轴的对称点P2的坐标为(-t,0),根据反射定理可知直线P1P2就是光线RQ所在直线.由P1、P2两点坐标可得直线P1P2的方程为y=?(x+t),设ABC的重心为G,易知G
11、?.因为重心G?在光线RQ上,所以?=?,即3t2-4t=0,解得t=0或t=?,因为0t4,所以t=?,即AP=?,故选D.,3-1一条光线经过点P(2,3)射在直线l:x+y+1=0上,反射后经过点Q(1,1),求:(1)入射光线所在直线的方程;(2)这条光线从P到Q所经路线的长度.,解析(1)设点Q(x,y)为Q关于直线l的对称点,QQ交l于点M,kl=-1,kQQ=1,QQ所在直线的方程为y-1=1(x-1),即x-y=0.由?解得?交点M?,?解得?Q(-2,-2).设入射光线与l交于点N,则P,N,Q三点共线,又P(2,3),Q(-2,-2),故入射光线所在直线的方程为?=?,即5x-4y+2=0.?(2)|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ|=|PQ|=?=?,即这条光线从P到Q所经路线的长度为?.,
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