电子课件《建筑力学与结构(第三版)》A091562第四章构件的内力、强度和刚度计算课件.ppt

1、第四章第四章 构件的内力、强度和刚度计算构件的内力、强度和刚度计算第一节第一节 杆件的变形杆件的变形一、杆件四种基本变形一、杆件四种基本变形杆件杆件:其长度方向的尺寸远大于横向尺寸的构件直杆直杆:轴线是直线的杆件称为直杆。当当杆件受到大小相等，方向相反，作用线与杆件杆件受到大小相等，方向相反，作用线与杆件轴线重合的一对外力作用时，则杆件将沿轴线方向产轴线重合的一对外力作用时，则杆件将沿轴线方向产生伸长或缩短变形。生伸长或缩短变形。图图4-1 杆件轴向拉伸与压缩变形杆件轴向拉伸与压缩变形a）b）图图4-2 轴向拉伸与压缩实例轴向拉伸与压缩实例a）桥梁桥墩）桥梁桥墩 b）房屋柱子）房屋柱子1轴向拉

2、伸与压缩轴向拉伸与压缩LogoLogo当当杆件受到大小相等，方向相反，作用线与杆件轴线垂直杆件受到大小相等，方向相反，作用线与杆件轴线垂直且相距很近的一对外力作用时，则杆件横截面将沿外力方向且相距很近的一对外力作用时，则杆件横截面将沿外力方向产生相对错动变形称之为产生相对错动变形称之为剪切剪切。图图4-3 杆件剪切变形杆件剪切变形2剪切剪切LogoLogo当当杆件受到大小相等，转向相反，作用面与杆杆件受到大小相等，转向相反，作用面与杆件轴线垂直的一对力偶作用时，则杆件横截面将件轴线垂直的一对力偶作用时，则杆件横截面将绕轴线产生相对转动绕轴线产生相对转动变形变形。图图4-4 杆件扭转变形杆件扭转

3、变形a）b）图图4-5 搅拌器主轴搅拌器主轴a）搅拌器主轴受力图）搅拌器主轴受力图 b）搅拌器主轴计算简图）搅拌器主轴计算简图3扭转扭转LogoLogo当当杆件受到与杆件轴线垂直的外力作用时，则杆件轴线由直杆件受到与杆件轴线垂直的外力作用时，则杆件轴线由直线变为曲线线变为曲线.称之为弯曲称之为弯曲变形变形。图图4-6 杆件弯曲变形杆件弯曲变形图图4-7 阳台挑梁阳台挑梁4弯曲弯曲LogoLogo二、组合变形二、组合变形土木工程中许多构件在多种荷载作用下同时产生土木工程中许多构件在多种荷载作用下同时产生两种或两种以上的基本变形称为两种或两种以上的基本变形称为组合变形组合变形。图图4-8 工业厂房

4、中带牛腿的边柱工业厂房中带牛腿的边柱LogoLogo第二节第二节 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩LogoLogo图图49 轴向受力轴向受力杆杆 a）屋架中的桁杆）屋架中的桁杆 b）雨棚的拉杆）雨棚的拉杆 c）悬索）悬索 d）柱）柱 e）柱间支撑）柱间支撑LogoLogo图图410轴向拉杆和压杆的变形轴向拉杆和压杆的变形a）拉杆）拉杆 b）压杆）压杆LogoLogo轴向拉伸与压缩杆的受力特点是轴向拉伸与压缩杆的受力特点是：沿杆件轴线作用：沿杆件轴线作用有一对大小相等、方向相反的外力（或其合力）。有一对大小相等、方向相反的外力（或其合力）。变形特点是变形特点是：杆件沿轴线方向伸长或缩短。：杆件沿轴线

5、方向伸长或缩短。轴向拉伸与压缩杆简称为轴向拉（压）杆，链杆都轴向拉伸与压缩杆简称为轴向拉（压）杆，链杆都是轴向拉（压）杆。是轴向拉（压）杆。LogoLogo1内力内力:杆件受到外力作用，这种由于外力作用而使杆件受到外力作用，这种由于外力作用而使杆件相邻两部分之间相互作用力产生的改变量称之为杆件相邻两部分之间相互作用力产生的改变量称之为附加内力，简称附加内力，简称内力内力。一、轴向拉（压）杆横截面上的内力一、轴向拉（压）杆横截面上的内力2求内力的基本方法求内力的基本方法截面法截面法（1）截开）截开用一个用一个“假想截面假想截面”在该截面处将杆件切断分为两部在该截面处将杆件切断分为两部分。分。Lo

6、goLogo（2）代替）代替取切开后的任一部分为研究对象，要使这部分与原来一取切开后的任一部分为研究对象，要使这部分与原来一样处于平衡状态，就必须在被切断的截面上用内力代替另样处于平衡状态，就必须在被切断的截面上用内力代替另一部分对它的作用。一部分对它的作用。（3）平衡）平衡由于整体杆件原本处于平衡状态，所以被切断后的任意由于整体杆件原本处于平衡状态，所以被切断后的任意部分也应处于平衡状态，然后根据平衡条件建立方程而计部分也应处于平衡状态，然后根据平衡条件建立方程而计算出该截面上的内力。算出该截面上的内力。由由Fx=0得得FN=F，方向向右。，方向向右。LogoLogo a）b）c）图图4-1

7、1 用截面法计算杆的内力用截面法计算杆的内力a）结构）结构 b）mm截面左边杆的受力图截面左边杆的受力图 c）mm截面右边杆的受力图截面右边杆的受力图 LogoLogo二轴向拉（压）杆的轴力二轴向拉（压）杆的轴力1轴力轴力：杆件轴线重合的内力称为杆件轴线重合的内力称为轴力轴力。轴力的正负号：轴力的正负号：伸长时，轴力背离截面为拉力，取正号；伸长时，轴力背离截面为拉力，取正号；反之为压力，取负号。（离正指负），反之为压力，取负号。（离正指负），轴力的常用单位：是轴力的常用单位：是N（牛顿）或（牛顿）或kN（千（千牛）。牛）。LogoLogo2计算轴力的方法计算轴力的方法(规律法规律法)横截面上的

8、轴力恒等于该截面一侧（左横截面上的轴力恒等于该截面一侧（左侧或右侧）所有侧或右侧）所有“轴向外力轴向外力“的代数和。的代数和。“轴向外力轴向外力”正负号：离正指负。正负号：离正指负。即：即：FN=F背离背离-F指向指向LogoLogo3轴力图轴力图轴力图的绘制用平行于杆件轴线的坐标表示轴力图的绘制用平行于杆件轴线的坐标表示杆件横截面的位置，用垂直于杆件轴线的坐标杆件横截面的位置，用垂直于杆件轴线的坐标表示横截面上轴力的大小，按一定的比例绘制表示横截面上轴力的大小，按一定的比例绘制出表示轴力与截面位置关系的图形。正时画在出表示轴力与截面位置关系的图形。正时画在横坐标的上方；反之，画在横坐标的下方

9、。横坐标的上方；反之，画在横坐标的下方。LogoLogo【例【例4-1】图图4-12a表示为阶梯状直杆的轴向受力情况，试计算轴力并绘表示为阶梯状直杆的轴向受力情况，试计算轴力并绘制其轴力图。制其轴力图。图图412 例例41图图LogoLogo解：解：（1）计算杆件各段的轴力）计算杆件各段的轴力第一段：在第一段内任意处用假想截面第一段：在第一段内任意处用假想截面11将其切成两段，取左段（见将其切成两段，取左段（见图图4-12b）为研究对象，得）为研究对象，得FN1=F背离背离-F指向指向=5kN-0=5kN（拉力）（拉力）第二段：在第二段内任意处用假想截面第二段：在第二段内任意处用假想截面22将

10、其切成两段，取左段（见将其切成两段，取左段（见图图4-12c）为研究对象，得）为研究对象，得 FN2=F背离背离-F指向指向=5kN+10 kN=15kN（拉力（拉力）第三段：在第三段内任意处用假想截面第三段：在第三段内任意处用假想截面33将其切成两段，取右段（见将其切成两段，取右段（见图图4-12d）为研究对象得）为研究对象得FN3=F背离背离-F指向指向=30kN-0=30kN（拉力）（拉力）（2）绘制轴力图）绘制轴力图按规定绘制轴立图，如图按规定绘制轴立图，如图4-12e所示。（通常可省略坐标系，写上所示。（通常可省略坐标系，写上FN图即图即可）可）LogoLogo三、三、轴向拉（压）杆

11、横截面上的应力轴向拉（压）杆横截面上的应力1应力应力：把单位面积上的内力集度称把单位面积上的内力集度称为应力为应力单位：帕（单位：帕（Pa）或兆帕（）或兆帕（MPa）。）。1Pa=1N/m21MPa=1N/mm2=106PaLogoLogo2轴向拉、压杆横截面上的正应力分布规律轴向拉、压杆横截面上的正应力分布规律平面假设：平面假设：直杆在轴向拉（压）力作用时，直直杆在轴向拉（压）力作用时，直杆横截面受力变形后仍保持为平面且与杆件的轴杆横截面受力变形后仍保持为平面且与杆件的轴件垂直。件垂直。正应力正应力:垂直于杆件横截面的应力，用垂直于杆件横截面的应力，用表示。表示。LogoLogoa）b）c）

12、FN图图4-13直杆轴向拉伸直杆轴向拉伸=（41）拉应力为正，压应力为负。拉应力为正，压应力为负。AFNAFNLogoLogo【例【例4-2】铰接三角形支架在点铰接三角形支架在点B承受一重物承受一重物W=20kN，如图，如图4-14a所示，杆所示，杆AB为直径为直径d=25mm的钢制圆杆，杆的钢制圆杆，杆CB为边长为边长a=80mm的正方形截面木杆。试计算杆的正方形截面木杆。试计算杆AB和杆和杆CB横截面上的正横截面上的正应力。应力。图图414例例4图图LogoLogo解：解：（1）计算各杆的轴力。如图）计算各杆的轴力。如图4-14b所示，取结点所示，取结点B为研究对象为研究对象，杆件轴力均假

13、设为受拉（背离结点）。根据平面汇交力系的平，杆件轴力均假设为受拉（背离结点）。根据平面汇交力系的平衡条件得衡条件得Fy=0：-FNBCsin45-W=0FNBC=-=-=-28.3kN （压力）（压力）Fx=0：-FNBCcos45-FNBA=0FNBA=-FNBCcos45=-(-28.3kN)0.707=20 kN （拉力）（拉力）（2）计算各杆的正应力。）计算各杆的正应力。BA=40.8MPa（拉应力）（拉应力）BC=-=-4.4MPa（压应力）（压应力）45sinW707.020kNBANBAAF2422531020mmNBCNBCAFmmmmN8080103.283LogoLogo【

14、例【例4-3】有一变截面杆，其受力情况、杆件长度和截面有一变截面杆，其受力情况、杆件长度和截面尺寸等如图尺寸等如图4-15所示，试确定其最大工作正应力。所示，试确定其最大工作正应力。图图415 例例43图图LogoLogo解：解：（1）首先确定杆件各段轴大小。）首先确定杆件各段轴大小。AB段：段：FNAB=15kN BC段：段：FNBC=30kN（2）分别计算杆件）分别计算杆件AB段和段和BC段的应力。段的应力。AB段截面的正应力：段截面的正应力：AB =47.8 N/mm2 =47.8MPa BC段截面的正应力：段截面的正应力：BC =42.5 N/mm2 =42.5MPa（3）由图示数据可

15、见，）由图示数据可见，BC段内力比段内力比AB段内力大，但由于段内力大，但由于AB段横截面段横截面面积比面积比BC段更小，各截面的工作正应力需分别计算各段的应力后才能确段更小，各截面的工作正应力需分别计算各段的应力后才能确定。现从计算结果看定。现从计算结果看AB段的工作正应力比段的工作正应力比BC段的工作正应力更大，段的工作正应力更大，AB47.8 MPaBC42.5 MPa。由此可以确定。由此可以确定AB段截面为危险截面，最大段截面为危险截面，最大应力值为应力值为47.8 MPa。ABNABAF20204100015BCNBCAF30304100030LogoLogo四、轴向拉（压）杆的强度

16、计算四、轴向拉（压）杆的强度计算1许用应力与安全系数许用应力与安全系数工作应力：工作应力：在荷载作用下产生的实际应力，用在荷载作用下产生的实际应力，用表示表示。极限应力：极限应力：材料所能承受的应力限度称为材料材料所能承受的应力限度称为材料的极限应力，用的极限应力，用u表示。表示。许用应力：许用应力：将极限应力将极限应力u除以一个大于除以一个大于1的安全的安全系数系数n作为构件正常工作时所允许产生的最大应力作为构件正常工作时所允许产生的最大应力，用，用表示表示 。安全系数安全系数n由国家有关规定来确定。由国家有关规定来确定。LogoLogo2轴向拉（压）杆的强度条件及强度计算轴向拉（压）杆的强

17、度条件及强度计算=（4-2）危险截面：最大工作应力所在的截面。危险截面：最大工作应力所在的截面。利用强度条件可以解决实际工程中有关构件强度的三类问题：利用强度条件可以解决实际工程中有关构件强度的三类问题：（1）强度校核）强度校核已知荷载大小、材料的许用应力和杆件的截面尺寸，即已知已知荷载大小、材料的许用应力和杆件的截面尺寸，即已知FN、A，则可由强度条件判断杆件是否满足强度要求。由式（，则可由强度条件判断杆件是否满足强度要求。由式（4-1）计算出工）计算出工作应力作应力，若，若，则杆件满足强度要求，否则说明杆件的强度不满足，则杆件满足强度要求，否则说明杆件的强度不满足要求。要求。AFNLogo

18、Logo（3）确定许用荷载）确定许用荷载已知杆件的截面面积和材料许用应力的情况下，即已知已知杆件的截面面积和材料许用应力的情况下，即已知A、，由可由强度条件式（，由可由强度条件式（4-2）求得构件所能承受的最大轴力）求得构件所能承受的最大轴力为为FN A再根据静力平衡条件确定许用荷载再根据静力平衡条件确定许用荷载F、q。（2）截面设计）截面设计已知荷载、材料的许用应力，即已知已知荷载、材料的许用应力，即已知FN、，则可由强度条，则可由强度条件：件：=计算计算出最小截面面积后，再根据实际情况确定截面形状和尺出最小截面面积后，再根据实际情况确定截面形状和尺寸。寸。AFNLogoLogo【例【例4-

19、4】一直杆受力情况如图一直杆受力情况如图4-16a所示。直杆的横截面面所示。直杆的横截面面积积A=10cm2，材料的许用应力，材料的许用应力=160MPa，试校核杆的强度。，试校核杆的强度。a）受力图）受力图 b）轴力图）轴力图解：解：（1）首先绘出直杆的轴力图，如图）首先绘出直杆的轴力图，如图4-16 b所示。所示。（2）校核强度，由于是等直杆，产生最大内力的）校核强度，由于是等直杆，产生最大内力的CD段的截面是危险截面，由强度条件得：段的截面是危险截面，由强度条件得：max=所以，满足强度条件。所以，满足强度条件。LogoLogoAFN【例例4-5】如图如图4-17a所示，一起重机用钢索匀

20、速向上所示，一起重机用钢索匀速向上，吊装吊装W=100kN的重物，钢索的许用应力的重物，钢索的许用应力=170Mpa，求钢索的直径为多少时既安全又经济？求钢索的直径为多少时既安全又经济？图4-17 例45图a）结构 b）结点C受力图LogoLogo解：解：（1）求钢索）求钢索AC、BC的轴力。取结点的轴力。取结点C为研究对象，钢索为研究对象，钢索AC、BC的轴力分别用的轴力分别用FNAC、FNBC表示，画出受力图并建立表示，画出受力图并建立坐标如图坐标如图4-17b所示，由整体平衡可知，所示，由整体平衡可知，F=W=100kN。由平。由平面汇交力系的平衡条件得面汇交力系的平衡条件得Fx=0，-

21、FNAC+F cos45=0FNAC=F cos45=100kN =70.7kN（拉）（拉）Fy=0，-FNBC+Fsin45=0FNBC=Fsin45=100kN =70.7 kN（拉）（拉）（或由对称可知：（或由对称可知：FNBC=FNAC=70.7kN）LogoLogo2222（2）求钢索的直径。由强度条件：）求钢索的直径。由强度条件：=得得=d =23.02mm，取，取d=24mmLogoLogoAFN42dNF24dFNAFN4NFMPaN17014.3107.7043【例【例4-6】如图】如图4-18a所示的铰接支架中，杆所示的铰接支架中，杆AC为圆形钢杆为圆形钢杆，直径，直径d=

22、10mm，许用应力，许用应力=160MPa，横梁，横梁BC受到均匀分受到均匀分布荷载布荷载q作用。试根据正应力强度条件确定许用荷载作用。试根据正应力强度条件确定许用荷载q的值。的值。图图4-18 例例46图图a）结构）结构 b）BC杆受力图杆受力图LogoLogo解：解：（1）计算杆）计算杆AC的轴力的轴力FNAC。取横梁。取横梁BC为研究对象，其受为研究对象，其受力图如图力图如图4-18b所示，由平面一般力系平衡方程得：所示，由平面一般力系平衡方程得：MB=0，FNAC4msin30q4m2m=0得得FNAC=q4mLogoLogo（2）计算许用荷载）计算许用荷载q，由强度条件：，由强度条件

23、：AC得得AC=q=3.14N/mm=3.14kN/m取q=3.14KN/m。LogoLogoAFNAC424dmq216dmqmd162mmmmNmm3221016/160)10(14.3五、轴向拉（压）杆的变形五、轴向拉（压）杆的变形1弹性变形与塑性变形弹性变形与塑性变形弹性变形：杆件在外力作用下发生变形，撤除外力弹性变形：杆件在外力作用下发生变形，撤除外力后，杆件的变形能完全消失的变形称为弹性变形。后，杆件的变形能完全消失的变形称为弹性变形。塑性变形：当外力撤除后不能恢复到原来的形状，塑性变形：当外力撤除后不能恢复到原来的形状，留有残余的变形，此残留下来的变形称为塑性变形。留有残余的变形

24、，此残留下来的变形称为塑性变形。LogoLogo纵向的变形纵向的变形l l=l1-l规定：伸长时规定：伸长时l取正，压缩时取负，其单位为米取正，压缩时取负，其单位为米（m）或毫米（）或毫米（mm）。）。线应变线应变:单位长度的变形称为线应变，用单位长度的变形称为线应变，用表示表示.=规定拉伸时规定拉伸时为正，反之为负，线应变无量纲为正，反之为负，线应变无量纲LogoLogoll2胡克定律胡克定律在弹性范围内，杆件的纵向变形与杆件所受的轴在弹性范围内，杆件的纵向变形与杆件所受的轴力及杆件长度成正比，与杆件的横截面面积成反比力及杆件长度成正比，与杆件的横截面面积成反比，这就是胡克定律。，这就是胡克

25、定律。l=（4-3）=E （4-4）式（式（4-4）是胡克定律的另一种表达形式。它表明）是胡克定律的另一种表达形式。它表明：在弹性受力范围内，应力与应变成正比。：在弹性受力范围内，应力与应变成正比。E称为材料的弹性模量，与材料的性质有关，单位称为材料的弹性模量，与材料的性质有关，单位为兆帕（为兆帕（MPa）。）。LogoLogoEALFN【例【例47】如图】如图419所示为一圆形变截面钢杆。各段受力大小所示为一圆形变截面钢杆。各段受力大小及方向如图所示，各段横截面面积分别为及方向如图所示，各段横截面面积分别为AAB250 mm2，ABC 2 0 0 m m 2，A C D 1 5 0 m m

26、2，各 段 长 度 分 别 为，各 段 长 度 分 别 为LAB=1m,LBC=1.5m,LCD=2m,钢的弹性模量钢的弹性模量E=200 GPa，试求该，试求该杆的总变形。杆的总变形。图图419 例例47图图LogoLogo解：解：杆杆AB、BC和和CD各段横截面面积和轴力不同，应各段横截面面积和轴力不同，应分别求出各段变形，然后求其总和。分别求出各段变形，然后求其总和。（1）求轴力）求轴力 根据计算轴力的方法根据计算轴力的方法FNAB30-70100=60 kN（拉）（拉）FNBC30-70=-40 kN（压）（压）FNCD30 kN（拉）（拉）LogoLogo（2）求变形）求变形lAB=

27、1.2 mmlBC =-1.5mmlCD 2 mmllAB+lBC+lCD1.2-1.5+21.7 mmLogoLogo20010002001000100060EALFNEALFNEALFN200100020010005.1100040150100020010002100030第三节第三节 压杆稳定压杆稳定一、压杆稳定的概念一、压杆稳定的概念压杆稳定压杆稳定：就是指受压杆件保持其平衡状态的稳：就是指受压杆件保持其平衡状态的稳定性定性。失稳失稳：细长直杆突然丧失其原由直线平衡状态的：细长直杆突然丧失其原由直线平衡状态的现象称为压杆丧失稳定性，简称失稳现象称为压杆丧失稳定性，简称失稳.越是细长的压

28、越是细长的压杆越容易失稳。杆越容易失稳。LogoLogo二、压杆平衡状态的三种情况二、压杆平衡状态的三种情况稳定平衡状态：稳定平衡状态：压杆的直线状态的平衡是稳定的，称压杆的直线状态的平衡是稳定的，称稳定平衡状态稳定平衡状态。临界平衡状态临界平衡状态：杆件维持干扰后的微弯曲状态不变，杆件维持干扰后的微弯曲状态不变，不再回到原来的直线位置，在新的微弯状态下维持新的不再回到原来的直线位置，在新的微弯状态下维持新的平衡。此时压杆是平衡。此时压杆是临界平衡状态临界平衡状态，LogoLogo临界力临界力：从稳定平衡过渡到不稳定平衡的界限点。从稳定平衡过渡到不稳定平衡的界限点。此时的轴向压力此时的轴向压力

29、Fcr，称为，称为临界力临界力。不稳定平衡：不稳定平衡：当压力当压力F超过临界力超过临界力Fcr时，杆件不能回时，杆件不能回到原来的直线位置，只能在一定弯曲变形下平衡，甚到原来的直线位置，只能在一定弯曲变形下平衡，甚至折断，此时称压杆的原有直线状态的平衡是至折断，此时称压杆的原有直线状态的平衡是不稳定不稳定平衡。平衡。LogoLogo图图4-21 压杆平衡状态的三种情况压杆平衡状态的三种情况a）压杆稳定平衡状态）压杆稳定平衡状态 b）压杆临界平衡状态）压杆临界平衡状态 c）压杆不稳定平衡状态）压杆不稳定平衡状态LogoLogo三、压杆临界力三、压杆临界力使细长压杆失稳的最小轴向压力称为该细长压

30、杆使细长压杆失稳的最小轴向压力称为该细长压杆的的临界力临界力，用，用Fcr表示。表示。（45）式中式中 E材料的弹性模量；材料的弹性模量；I横截面惯性矩；横截面惯性矩；l压杆的长度；压杆的长度；与压杆两端支撑有关的长度系数，见表与压杆两端支撑有关的长度系数，见表4-2。LogoLogo22)(lEIFcr 表表4-2 压杆的长度系数压杆的长度系数值表值表LogoLogo【例【例4-8】如图】如图4-22所示，一端固定另一端自由的细长压杆，其杆长所示，一端固定另一端自由的细长压杆，其杆长 2m，截面形状为矩，截面形状为矩形，形，b=20mm、h=45mm，惯性矩，惯性矩Iy=3104mm4，Iz

31、=15.19104mm4，材料的弹性模量，材料的弹性模量E=200GPa。试计算该压杆的临界力。试计算该压杆的临界力。图图4-22 例例4-8图图LogoLogo解：解：（1）计算截面的最小惯性矩。由前述可知，该压杆必在弯）计算截面的最小惯性矩。由前述可知，该压杆必在弯曲刚度最小的曲刚度最小的xy平面内，即沿平面内，即沿Y轴方向失稳，故欧拉公式中的轴方向失稳，故欧拉公式中的惯性矩应以最小惯性矩代入，即惯性矩应以最小惯性矩代入，即Imin=Iy=3104mm4（2）计算临界力查表）计算临界力查表4-2得得 2，因此临界力为：，因此临界力为：LogoLogo（3）当截面改为）当截面改为 b=h=3

32、0mm的的正方形截面时，压杆的惯正方形截面时，压杆的惯性矩为：性矩为：Iz=Iy=6.75104mm4代入欧拉公式，可得：代入欧拉公式，可得：LogoLogo 从以上两种情况分析，其横截面面积相等，支承从以上两种情况分析，其横截面面积相等，支承条件也相同，但是，计算得到的临界力后者大于前者条件也相同，但是，计算得到的临界力后者大于前者。可见在材料用量相同的条件下，选择恰当的截面形。可见在材料用量相同的条件下，选择恰当的截面形式可以提高细长压杆的临界力。式可以提高细长压杆的临界力。LogoLogo四、临界应力四、临界应力压杆在临界力的作用下，正其横截面上的平均正压压杆在临界力的作用下，正其横截面

33、上的平均正压力就称为临界应力。若用力就称为临界应力。若用cr表示临界应力，用表示临界应力，用A表表示压杆的横截面面积，则：示压杆的横截面面积，则：令令式中式中 i 压杆横截面的惯性半径。压杆横截面的惯性半径。于是临界应力可写为：于是临界应力可写为：LogoLogo令令则则 （4-6）压杆的柔度值越大，则其临界应力越小，压杆就越压杆的柔度值越大，则其临界应力越小，压杆就越容易失稳。容易失稳。LogoLogo五、提高压杆稳定性的措施五、提高压杆稳定性的措施LogoLogo1合理选择材料合理选择材料欧拉公式说明，压杆的临界应力与材料的弹性模欧拉公式说明，压杆的临界应力与材料的弹性模量成正比。所以选择

34、弹性模量较高的材料，就可以量成正比。所以选择弹性模量较高的材料，就可以提高压杆的临界应力，也就提高了其稳定性。提高压杆的临界应力，也就提高了其稳定性。LogoLogo2选择合理的截面形状选择合理的截面形状增大截面的惯性矩，材料远离截面形心轴，以取得较增大截面的惯性矩，材料远离截面形心轴，以取得较大的轴惯性矩，大的轴惯性矩，空心截面要比实心截面合理，如图空心截面要比实心截面合理，如图4-23所示。所示。尽可能使压杆在各个纵向平面内的柔度都相同尽可能使压杆在各个纵向平面内的柔度都相同。LogoLogo图图4-23 空心截面和实心截面空心截面和实心截面 图图4-24 两根槽钢组成的压杆截面两根槽钢组

35、成的压杆截面LogoLogo3改善约束条件、减小压杆长度改善约束条件、减小压杆长度自由支座最不利，铰支座次之，固定支座最有利。自由支座最不利，铰支座次之，固定支座最有利。减小压杆长度的另一方法是在压杆的中间增加支承，减小压杆长度的另一方法是在压杆的中间增加支承，如图如图4-25a中的托架，在不影响结构使用的条件下，把中的托架，在不影响结构使用的条件下，把图图4-25a所示结构改换成图所示结构改换成图4-25b所示结构，则杆所示结构，则杆AB由受由受压杆变为受拉杆压杆变为受拉杆。LogoLogo图图4-25 托架托架LogoLogo第四节梁的弯曲第四节梁的弯曲一、弯曲变形和梁的类型一、弯曲变形和

36、梁的类型LogoLogo1弯曲变形弯曲变形 弯曲变形弯曲变形：杆件受到与杆件轴线垂直的外力作用杆件受到与杆件轴线垂直的外力作用时，在这些外力作用下杆件轴线由直线变成曲线时，在这些外力作用下杆件轴线由直线变成曲线，这种变形称为这种变形称为弯曲变形弯曲变形，。，。梁梁：凡是以弯曲变形为主的杆件通常称之为凡是以弯曲变形为主的杆件通常称之为梁梁。图图4-26 梁梁LogoLogo 图图427 楼板梁楼板梁 图图428 桥梁桥梁LogoLogo图图4-29 吊车梁吊车梁 图图4-30 阳台挑梁阳台挑梁LogoLogo2梁的类型梁的类型直梁直梁：轴线是直线的梁称为直梁。工程中常见的静：轴线是直线的梁称为直

37、梁。工程中常见的静定简单梁有简支梁、外伸梁和悬臂梁三种形式。定简单梁有简支梁、外伸梁和悬臂梁三种形式。LogoLogo（1）简支梁）简支梁一端是固定铰支座，另一端是可动铰支座的梁称为简一端是固定铰支座，另一端是可动铰支座的梁称为简支梁支梁（2）外伸梁）外伸梁梁的支座同简支梁，但梁的一端或两端伸出支座之外梁的支座同简支梁，但梁的一端或两端伸出支座之外（3）悬臂梁）悬臂梁一端是固定端，另一端是自由端的梁称为悬臂梁一端是固定端，另一端是自由端的梁称为悬臂梁。LogoLogo图图4-31 静定简单梁的三种形式静定简单梁的三种形式a）简支梁）简支梁 b）外伸梁）外伸梁 c）悬臂梁）悬臂梁LogoLogo

38、二、梁的内力二、梁的内力1梁的内力梁的内力剪力和弯矩剪力和弯矩揭示梁内力的方法仍然是截面法揭示梁内力的方法仍然是截面法截面处必然有两种内力：与横截面相切的内力截面处必然有两种内力：与横截面相切的内力FQ，称为剪力；，称为剪力；在纵向对称平面内的内力偶矩在纵向对称平面内的内力偶矩M，称为弯矩。，称为弯矩。LogoLogo2剪力和弯矩的正负剪力和弯矩的正负图图4-32 梁的内力梁的内力a）梁）梁 b）1-1截面左侧受力图截面左侧受力图 c）1-1截面右侧受力图截面右侧受力图LogoLogo（1）剪力的正负号）剪力的正负号截面上的剪力截面上的剪力FQ使所研究的分离体有顺时针方向使所研究的分离体有顺时

39、针方向转动趋势时规定为正号，是正剪力，截面上的剪力转动趋势时规定为正号，是正剪力，截面上的剪力FQ使所研究的分离体有逆时针方向转动趋势时规定使所研究的分离体有逆时针方向转动趋势时规定为负号，是负剪力为负号，是负剪力。LogoLogo图图4-33 剪力的正负剪力的正负a）正剪力）正剪力 b）负剪力）负剪力LogoLogo（2）弯矩的正负号）弯矩的正负号截面上的弯矩使所研究的分离体产生向下凸变形（下部截面上的弯矩使所研究的分离体产生向下凸变形（下部受拉、上部受压）时规定为正号，是正弯矩，如图受拉、上部受压）时规定为正号，是正弯矩，如图4-34a所所示；产生向上凸变形（上部受拉、下部受压）时规定为负

40、示；产生向上凸变形（上部受拉、下部受压）时规定为负号，是负弯矩，如图号，是负弯矩，如图4-34b所示。所示。LogoLogo图图4-34 弯矩的正负弯矩的正负a）正弯矩）正弯矩 b）负弯矩）负弯矩LogoLogo3用截面法计算梁指定截面的内力用截面法计算梁指定截面的内力计算方法：计算方法：（1）计算支座力；）计算支座力；（2）用假想截面将梁需求内力处的截面截开；）用假想截面将梁需求内力处的截面截开；（3）取该截面左段或右段为研究对象，并画出受）取该截面左段或右段为研究对象，并画出受力图；力图；（4）利用平面一般力系的平衡方程计算所要求截）利用平面一般力系的平衡方程计算所要求截面处的内力。面处的

41、内力。LogoLogo【例例4-7】试计算入图试计算入图4-32a所示简支梁所示简支梁1-1截面处的剪力与弯截面处的剪力与弯矩，已知矩，已知Fp=15kN，a=4m，b=2m，x=3m。解：解：（1）计算支座力。）计算支座力。由由MB=0得得 -FAy6m+Fp2m=0 FAy=5 kN（）由由Fy=0得得 FAy+FBy-15=0 FBy=10kN（）LogoLogo（2）计算）计算1-1截面处的内力。用假想截面将梁沿截面处的内力。用假想截面将梁沿1-1截面截截面截开，取左段为研究对象，画受力图如图开，取左段为研究对象，画受力图如图4-32b所示，由所示，由Fy=0得：得：FAy-FQ=0

42、FQ=FAy=5kN取取11截面处形心截面处形心C为矩心，由为矩心，由Mc=0，得：，得：-FAy3m+M=0M=FAy3m=5kN3m=15kNm取右段为研究对象，如图取右段为研究对象，如图4-32c所示，由所示，由Fy=0得：得：FQ-FP+FBy=0FQ=FP-FBy=15kN-5kN=10kNLogoLogo取取11截面处形心截面处形心C为矩心，由为矩心，由Mc=0得：得：-M-FP1m+FBy3m=0M=-FP1m+FBy3m=-15 kN1 m+10kN3m=15 kNm由上可知，选取左段或右段为研究对象，由上可知，选取左段或右段为研究对象，1-1截面截面处的内力数值和正负均相同。

43、处的内力数值和正负均相同。LogoLogo4剪力和弯矩计算的规律剪力和弯矩计算的规律（1）用外力直接求截面上剪力的规律）用外力直接求截面上剪力的规律梁内任一截面上的剪力梁内任一截面上的剪力FQ，在数值上等于该截面，在数值上等于该截面一侧（左侧或右侧）梁段上所有外力在平行于横截一侧（左侧或右侧）梁段上所有外力在平行于横截面方向投影的代数和（由面方向投影的代数和（由Fy=0的平衡方程移项而的平衡方程移项而来）。用式子可表示为：来）。用式子可表示为：剪力剪力的的正负号正负号:“左上右下剪力为正左上右下剪力为正”。LogoLogo（2）用外力直接求截面上弯矩的规律）用外力直接求截面上弯矩的规律梁内任一

44、截面上的弯矩肘，等于该截面一侧（左梁内任一截面上的弯矩肘，等于该截面一侧（左侧或右侧）所有外力对该截面形心取力矩的代数和侧或右侧）所有外力对该截面形心取力矩的代数和（由（由Mc=0的平衡方程移项而来）。用式子可表示的平衡方程移项而来）。用式子可表示为：为：左顺右逆正，反之负。左顺右逆正，反之负。弯矩弯矩的的正负号正负号:“左顺右逆弯矩为正左顺右逆弯矩为正”。LogoLogo【例例4-8】如图如图4-35a所示悬臂梁，已知所示悬臂梁，已知q=3kN/m，F=5kN，试计算，试计算距固定端距固定端A为为1m处横截面上的内力。处横截面上的内力。图图4-35 例例48图图a）悬臂梁）悬臂梁 b）受力图

45、）受力图LogoLogo解：解：取所求内力所在截面右侧为研究对象，可省去求固定取所求内力所在截面右侧为研究对象，可省去求固定端端A处的支座反力，利用计算剪力和弯矩的规律，可求得处的支座反力，利用计算剪力和弯矩的规律，可求得FQ=q2m+F=3 kN/m2 m+5kN=11 kNM=-q2m1m-F2m=-3kN/m2m1m-5kN2m=-16kNmLogoLogo三、梁的内力图三、梁的内力图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图LogoLogo1剪力图和弯矩图的概念剪力图和弯矩图的概念 用平行于梁轴的横坐标表示梁横截面的位置，用平行于梁轴的横坐标表示梁横截面的位置，用垂直于梁轴的纵坐标表示相应横截面上的

46、剪力或用垂直于梁轴的纵坐标表示相应横截面上的剪力或弯矩，按一定比例绘制出来，这种形象地表示剪力弯矩，按一定比例绘制出来，这种形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线变化情况的图形，分别称为和弯矩沿梁轴线变化情况的图形，分别称为剪力图剪力图和弯矩图和弯矩图，即梁的内力图。，即梁的内力图。正剪力画在横坐标轴的上方，负剪力画在横坐正剪力画在横坐标轴的上方，负剪力画在横坐标轴的下方（画剪力图时要求标出正负号）；而把标轴的下方（画剪力图时要求标出正负号）；而把弯矩图画在受拉侧（弯矩图的正负号不必标出）。弯矩图画在受拉侧（弯矩图的正负号不必标出）。LogoLogo2梁内力图的规律梁内力图的规律（1）简支梁在简单荷截作

47、用下的内力图）简支梁在简单荷截作用下的内力图绘制梁的内力图的基本方法是：先建立剪力方程和弯绘制梁的内力图的基本方法是：先建立剪力方程和弯矩方程，再根据剪力和弯矩的函数关系，采用描点法得矩方程，再根据剪力和弯矩的函数关系，采用描点法得到相应的剪力图和弯矩图。表到相应的剪力图和弯矩图。表4-3是应用这种方法绘制出是应用这种方法绘制出的简支梁在简单荷载作用下的内力图。的简支梁在简单荷载作用下的内力图。LogoLogo表表4-3 简支梁在简单荷截作用下的内力图简支梁在简单荷截作用下的内力图LogoLogo表表4-4 直梁在各种荷载作用下内力图的特征直梁在各种荷载作用下内力图的特征LogoLogo综合分

48、析表综合分析表4-3简支梁的特定内力图，表简支梁的特定内力图，表4-4梁上荷载梁上荷载和剪力图弯矩图的关系可以归纳总结出梁内力图的规和剪力图弯矩图的关系可以归纳总结出梁内力图的规律：律：1）在均布荷载区段。均布荷载作用方向向下时，剪）在均布荷载区段。均布荷载作用方向向下时，剪力图为下倾斜直线，弯矩图为向下凸的抛物线。力图为下倾斜直线，弯矩图为向下凸的抛物线。2）无荷载区段。剪力图为零线时，弯矩图为水平直）无荷载区段。剪力图为零线时，弯矩图为水平直线；剪力图为水平直线时，弯矩图为斜直线。线；剪力图为水平直线时，弯矩图为斜直线。LogoLogo3）集中力作用处。剪力图突变，突变的绝对值）集中力作用

49、处。剪力图突变，突变的绝对值等于集中力的大小，突变的方向从左到右画图时顺等于集中力的大小，突变的方向从左到右画图时顺着集中力箭头方向突变；弯矩图折成尖角，尖角方着集中力箭头方向突变；弯矩图折成尖角，尖角方向与集中力方向相同。向与集中力方向相同。4）集中力偶作用处。剪力图无变化；弯矩图突）集中力偶作用处。剪力图无变化；弯矩图突变，突变的绝对值等于力偶矩的大小，突变的方向变，突变的绝对值等于力偶矩的大小，突变的方向与力偶转向一致。与力偶转向一致。5）剪力为零的截面，弯矩有极值。）剪力为零的截面，弯矩有极值。LogoLogo3梁内力图的绘制梁内力图的绘制用规律法绘制梁的内力图。用规律法绘制梁的内力图

50、。（1）求支座反力（悬臂梁可不求）。）求支座反力（悬臂梁可不求）。（2）确定控制截面，）确定控制截面，将梁进行分段。将梁进行分段。即梁的起、止即梁的起、止截面，均布荷载的起、止截面，集中力（包括中间的支截面，均布荷载的起、止截面，集中力（包括中间的支座反力）及集中力偶作用截面作为梁的控制截面，相邻座反力）及集中力偶作用截面作为梁的控制截面，相邻的两控制截面间为一段。的两控制截面间为一段。（3）分析各段梁内力图的大致形状。由各梁段上的）分析各段梁内力图的大致形状。由各梁段上的荷载情况，根据表荷载情况，根据表4-4确定其对应的剪力图和弯矩图的确定其对应的剪力图和弯矩图的形状。形状。LogoLogo