电动力学高教第三版5精品课件.ppt

1、l难点难点 矢势的展开和电偶极辐射公式的导出矢势的展开和电偶极辐射公式的导出1 1、电磁场的矢势和标势的引入、规范不变性、电磁场的矢势和标势的引入、规范不变性 2 2、达朗贝尔方程，推迟势及其物理意义、达朗贝尔方程，推迟势及其物理意义3 3、矢势的展开和电偶极辐射、矢势的展开和电偶极辐射l 主要内容主要内容第五章第五章 电磁波的辐射电磁波的辐射 变化的电荷、电流激发的电磁场随时间变化。电磁场以变化的电荷、电流激发的电磁场随时间变化。电磁场以波的形式脱离场源向外运动，这被称为电磁波的辐射。波的形式脱离场源向外运动，这被称为电磁波的辐射。本章主要研究给定高频交变电流产生的电磁辐射。本章主要研究给定

2、高频交变电流产生的电磁辐射。一一.电磁辐射电磁辐射 与静电场引入电势、静磁场引入标势相似，为了便于求与静电场引入电势、静磁场引入标势相似，为了便于求解普适的场方程，在变化情况下仍然可以引入势的概念。解普适的场方程，在变化情况下仍然可以引入势的概念。但是，由于电场的旋度不为零，这里引入的矢势、标势与但是，由于电场的旋度不为零，这里引入的矢势、标势与静场情况有很大的不同。静场情况有很大的不同。二二.引入矢势和标势求解电磁辐射问题引入矢势和标势求解电磁辐射问题 变化电荷、电流分布激发电磁场，电磁场又反过来影变化电荷、电流分布激发电磁场，电磁场又反过来影响电荷、电流分布。空间电磁场的分布就是在这一对矛

3、响电荷、电流分布。空间电磁场的分布就是在这一对矛盾相互制约下形成的。变化的电荷电流分布一般具有边盾相互制约下形成的。变化的电荷电流分布一般具有边界，因此在求解时要考虑它们的边界条件和边值关系。界，因此在求解时要考虑它们的边界条件和边值关系。但是，一般情况下这种的边界很复杂，使得电荷、电流但是，一般情况下这种的边界很复杂，使得电荷、电流分布无法确定，因此使得求解问题无法进行。在本章我分布无法确定，因此使得求解问题无法进行。在本章我们仅讨论电荷、电流分布为已知的辐射问题。们仅讨论电荷、电流分布为已知的辐射问题。三辐射问题的本质也是边值问题三辐射问题的本质也是边值问题 本节从电磁场满足的麦克斯韦方程

4、出发引入矢势、标势，本节从电磁场满足的麦克斯韦方程出发引入矢势、标势，然后讨论电磁辐射问题（仅讨论均匀介质）。然后讨论电磁辐射问题（仅讨论均匀介质）。由于由于 ，与静磁场相同，可以引入矢量势函数（矢，与静磁场相同，可以引入矢量势函数（矢势）势），使得，使得0 BAAB一用势描述电磁场一用势描述电磁场（1 1）矢势的引入）矢势的引入注意：注意：与静磁场不同，引入的矢势与时间有关；与静磁场不同，引入的矢势与时间有关；意义与静磁场情况相同，即：意义与静磁场情况相同，即：LSSdBldA 在变化电磁场情况，在变化电磁场情况，不能象静电场那样，不能象静电场那样直接引入标量势函数。直接引入标量势函数。0t

5、BE（2 2）标势的引入）标势的引入ABtAAtE0)(tAEtAE引入标量势函数引入标量势函数tAE与静场相同，对于给定的电磁场其矢势和标势不唯一，与静场相同，对于给定的电磁场其矢势和标势不唯一，可以有不同的矢势和标势描述同一个电磁场。可以有不同的矢势和标势描述同一个电磁场。1 1矢势和标势的不唯一性矢势和标势的不唯一性规范：给定一组规范：给定一组 称为一种规范；称为一种规范；),(A2 2规范变换规范变换两种规范间变换关系两种规范间变换关系：AAt 规范变换：不同规范之间满足的变换关系称为规范变换。规范变换：不同规范之间满足的变换关系称为规范变换。和和 对应同一个电磁场对应同一个电磁场),

6、(A),(AEtAAtttA)()(AAt：在规范变换下物理规律满足的动力学方程保持在规范变换下物理规律满足的动力学方程保持不变的性质。不变的性质。规范场规范场：具有规范不变性的场称为规范场。具有规范不变性的场称为规范场。BAAA)(当势作规范变换时，场量当势作规范变换时，场量E E、B B均保持不变，即场具有均保持不变，即场具有“规范不变性规范不变性”。场量。场量E E、B B不变意味着电磁场中所有物不变意味着电磁场中所有物理量和物理规律都保持不变，也就是说，理量和物理规律都保持不变，也就是说，“客观规律与势客观规律与势的特殊规范选择无关的特殊规范选择无关”。经典电动力学中，势是作为描述电磁

7、场的一种方法而引入经典电动力学中，势是作为描述电磁场的一种方法而引入的，规范不变性是对这种描述方法所加的要求，而在量子的，规范不变性是对这种描述方法所加的要求，而在量子力学中，规范不变性是一条重要的原理，因而势的地位远力学中，规范不变性是一条重要的原理，因而势的地位远比在经典电动力学中重要。比在经典电动力学中重要。不仅在电磁相互作用中，而且在其它基本相互作用中，规不仅在电磁相互作用中，而且在其它基本相互作用中，规范不变性是决定相互作用形式的一条基本原理。传递这些范不变性是决定相互作用形式的一条基本原理。传递这些相互作用的场称为相互作用的场称为“规范场规范场”，电磁场是人们熟知的一种，电磁场是人

8、们熟知的一种较为简单的规范场。较为简单的规范场。为了减少势函数选取的任意性，对为了减少势函数选取的任意性，对 的取值加以限制，的取值加以限制，作为确定势的辅助条件称为规范的条件。在不同的问题中作为确定势的辅助条件称为规范的条件。在不同的问题中可采用不同的辅助条件。可采用不同的辅助条件。A规范条件：规范条件：0 A3 3两种规范两种规范 在库仑规范下，电场表达式中在库仑规范下，电场表达式中 为横场，为横场，纵场。纵场。因此，电场的横场部分完全由因此，电场的横场部分完全由 决定，而纵场部分则完全决定，而纵场部分则完全由由 决定。在这种情况下，决定。在这种情况下，由电荷的瞬时分布求解，与由电荷的瞬时

9、分布求解，与静电场的电势类似，因此称为库仑场。静电场的电势类似，因此称为库仑场。tAA库仑规范下库仑规范下 满足的方程满足的方程：020AA02证明：证明：l 洛仑兹规范洛仑兹规范规范条件：规范条件：012tcA后面将看到洛仑兹规范下，后面将看到洛仑兹规范下，所满足的方程具有高度的所满足的方程具有高度的对称性，这种对称性将满足相对论的协变性，有很重要的对称性，这种对称性将满足相对论的协变性，有很重要的理论意义。理论意义。,A洛仑兹规范下洛仑兹规范下 满足的方程满足的方程：012222tc0)1()1(22222tctcA012222tc22222111tctcAtcA证明：证明：2202222

10、011()()AAAJtctcAt 将将 ，代入麦克斯韦方程代入麦克斯韦方程ABtAE0000,EJtEB三达朗贝尔方程三达朗贝尔方程1 1 真空中的真空中的势函数满足的势函数满足的方程方程AAA2)()(并利用：并利用：得到势函数满足的方程得到势函数满足的方程2202222011AAJtctc 可见可见 满足泊松方程，与静电情况类似，即空间某处的满足泊松方程，与静电情况类似，即空间某处的 在在时刻时刻 的值由电荷在时刻的值由电荷在时刻 的分布给出，其解为库仑势。的分布给出，其解为库仑势。tt2 2 库仑规范下的势函数方程库仑规范下的势函数方程3 3洛仑兹规范下的洛仑兹规范下的势函数方程势函数

11、方程222202222011AAJctct以上方程称为达朗贝尔方程以上方程称为达朗贝尔方程洛仑兹规范下的达朗贝尔方程是两个波动方程，因此由它洛仑兹规范下的达朗贝尔方程是两个波动方程，因此由它们求出的们求出的 及及 均为波动形式，反映了电磁均为波动形式，反映了电磁场的波动性。场的波动性。),(A),(BEl 反映了电磁场的波动性反映了电磁场的波动性l 两个方程具有高度的对称性且相互独立两个方程具有高度的对称性且相互独立求出一个解，另一个解就迎刃而解。在下一节我们将看到，求出一个解，另一个解就迎刃而解。在下一节我们将看到，洛仑兹条件下达朗贝尔方程的解直接反映出电磁相互作用需洛仑兹条件下达朗贝尔方程

12、的解直接反映出电磁相互作用需要时间。基于这些考虑，在研究辐射问题时，一般都是采用要时间。基于这些考虑，在研究辐射问题时，一般都是采用洛仑兹条件下的达朗贝尔方程。洛仑兹条件下的达朗贝尔方程。例：例：求单色平面电磁波的势。求单色平面电磁波的势。1)洛仑兹规范下：洛仑兹规范下：单色平面电磁波在没有电荷，电流分布的自由空间中传播，单色平面电磁波在没有电荷，电流分布的自由空间中传播，因而洛仑兹规范下的势方程（达朗贝尔方程）变为齐次波因而洛仑兹规范下的势方程（达朗贝尔方程）变为齐次波动方程：动方程：222222221010ctAAct 其平面波其平面波解为：解为：（A0、0为常数）为常数）00()()i

13、k xti k xt ee 则由洛仑兹规范则由洛仑兹规范：222110()20(a)AikAictcckA 2222222222 ()()()()kkck AkeAiki Atccikk Ai Aik k AAccciEck k Ak AikkAccikkAcBekB 电场和磁场为：电场和磁场为：;(,)()(b)AAAkkAikAikABAAik 即使对即使对A加上任意纵向部分加上任意纵向部分A ，也不会影响，也不会影响E、B的值的值 这说明对平面波，即使有洛伦兹条件后，这说明对平面波，即使有洛伦兹条件后，A和和 仍非仍非唯一确定，还剩下一些规范变换自由度。对此规范自由唯一确定，还剩下一些规

14、范变换自由度。对此规范自由度，我们可选择最简单的规范条件，即取度，我们可选择最简单的规范条件，即取A只有横向部只有横向部分分A，（垂直于波矢量（垂直于波矢量k）BAikAikAAAEiAiAtt 此时有：此时有：自由空间的平面波电磁场只依赖于矢势自由空间的平面波电磁场只依赖于矢势A的横向分量的横向分量A 200ckAkAkA 则则上式表明，实际上只要给定上式表明，实际上只要给定A，就可确定单色平面电磁波。，就可确定单色平面电磁波。2222220110AActct 若采用库仑规范条件若采用库仑规范条件 ，自由空间中势方程为：，自由空间中势方程为：0A 当全空间没有电荷分布时，库仑场的标势当全空间

15、没有电荷分布时，库仑场的标势 =0，则矢势：，则矢势：222210AAct 将将A代入库仑规范，得到代入库仑规范，得到库仑规范下库仑规范下A的势方程仍是齐次波动方程，其解的形式为：的势方程仍是齐次波动方程，其解的形式为：()0i k xtAA e 0(d)Aik A BAikAikAAAEiAiAtt 上式说明，上式说明，A只取横向分量只取横向分量A=A 即可即可以上说明，取库仑规范后，以上说明，取库仑规范后，A只有横向部分只有横向部分A=A ，纵向部分纵向部分A 为零为零。通过上面的例子可看到：通过上面的例子可看到：n 库仑规范的特点是：标势库仑规范的特点是：标势 描述库仑作用，可直接由电荷

16、描述库仑作用，可直接由电荷分布分布 求出；矢势求出；矢势A只取横向分量即可，恰好足够描述辐射只取横向分量即可，恰好足够描述辐射电磁波的两种独立偏振。场量只依赖于矢势电磁波的两种独立偏振。场量只依赖于矢势A就可算出。就可算出。1)洛仑兹规范的特点是：标势洛仑兹规范的特点是：标势 和矢势和矢势A构成的势方程具有对构成的势方程具有对称性。矢势称性。矢势A的纵向的纵向部分和标势部分和标势 的选择还可有任意性，即的选择还可有任意性，即存在多余的自由度。存在多余的自由度。尽管如此，尽管如此，洛仑兹规范洛仑兹规范在相对论中显示出协变性，为在相对论中显示出协变性，为后面四维空间电磁场矢势与标势的统一，以及理论

17、探讨和后面四维空间电磁场矢势与标势的统一，以及理论探讨和实际计算都提供了很大方便。因此，本书以后都采用洛仑实际计算都提供了很大方便。因此，本书以后都采用洛仑兹规范。兹规范。022221tc方程中方程中 为已知。若为已知。若 较复杂，直接得到一较复杂，直接得到一般解比较困难。本节先从一个点电荷出发，然后由迭加原般解比较困难。本节先从一个点电荷出发，然后由迭加原理得到解。理得到解。),(tx),(tx一一.标势和矢势满足的达朗贝尔方程的解标势和矢势满足的达朗贝尔方程的解标势的达朗贝尔方程标势的达朗贝尔方程1.1.点电荷在空间激发的标势点电荷在空间激发的标势)()(),(xtQtx)()(11022

18、22xtQtc),(tr,22222011()()()Q trrrrrct rtrutr),(),(2222210uurct 这类似于一维波动方程，其解可以表示为：这类似于一维波动方程，其解可以表示为：)()(),(crtgcrtftru0r222211()0rrrrct2rrcrtf)(rcrtg)(代表向外传播的球面波代表向外传播的球面波代表向内收敛的球面波代表向内收敛的球面波rcrtgrcrtftr)()(),()0(r与点电荷电势类比有：与点电荷电势类比有：rcrtQtr04)(),(0)(crtg若点电荷不在原点而在空间若点电荷不在原点而在空间 点：点：xrcrtxQtx04),()

19、,(可以证明上述解的形式满足可以证明上述解的形式满足式式2.2.连续电荷分布在空间产生的电势连续电荷分布在空间产生的电势0(,)(,)4Vrx tcx tdVr 3.3.矢势矢势 的解的解AVdrcrtxJtxAV),(4),(0 由于由于 满足的方程形式上与满足的方程形式上与 满足的方程一样，类比满足的方程一样，类比得到得到 的解：的解：AA二二.证明证明 、满足洛仑兹条件满足洛仑兹条件A210Atc证：令证：令(,)rttt t x xc AVdrtxJV),(40011(,)(,)4J x tJ x tdVrr (,)1(,)1(,)(,)J x tJ x tJ x tJ x ttrrt

20、ctct rr (,)(,)(,)1(,)(,)tctcJ x tJ x tJ x tttJ x tJ x trct ),(),(),(txJtxJtxJct220111(,)4Vx ttdVtrttcc 01(,)4Vx tdVrt tcA2101(,)(,)04tcx tJ x tdVrt 0电荷守恒定律电荷守恒定律01(,)4tcJ x tdVr A01(,)4tcJ x tdVr 11(,)(,)J x tJ x tdVrr (,)(,)0SJ x tJ x tdVdSrr1 1推迟势推迟势 势函数在空间势函数在空间 点，点，时刻的值依赖于时刻的值依赖于 时刻的电荷、时刻的电荷、电流分

21、布，即空间势的建立与场源相比推迟了电流分布，即空间势的建立与场源相比推迟了 。具有。具有这样特性的势称为推迟势。这样特性的势称为推迟势。xtcrtcr三推迟势及其物理意义三推迟势及其物理意义 空间点空间点 ，时刻的电磁场由时刻的电磁场由 时刻的电荷、电流时刻的电荷、电流分布决定。也就是说电荷、电流产生的物理作用在经历分布决定。也就是说电荷、电流产生的物理作用在经历了时间了时间 后才到达观察点，即场的传递需要时间，而相后才到达观察点，即场的传递需要时间，而相互作用的传播速度在真空中为互作用的传播速度在真空中为C C。crxtcrt 2 2电磁相互作用需要时间电磁相互作用需要时间l 本节仅讨论电荷

22、分布以一定频率做周期运动，且电荷本节仅讨论电荷分布以一定频率做周期运动，且电荷体系线度远远小于电荷到观测点的距离的情况。体系线度远远小于电荷到观测点的距离的情况。l 电磁波是从变化的电荷、电流系统辐射出来的。宏观上，电磁波是从变化的电荷、电流系统辐射出来的。宏观上，主要是利用载有高频交变电流的天线产生辐射，微观上，主要是利用载有高频交变电流的天线产生辐射，微观上，一个做变速运动的带电粒子即可产生辐射。一个做变速运动的带电粒子即可产生辐射。计算辐射场的一般计算公式计算辐射场的一般计算公式rttc 若电流是一定频率若电流是一定频率 的交变电流的交变电流00(,)(,)4VrJx tcA x tdr

23、 V()000(,)()()iti krtJxtJxeJxe ()0000()(,)4()()4i krtVikrititVJxeA x tdrJxedeA x er VV当电流分布给定时，计算当电流分布给定时，计算辐射场的基础是推迟势：辐射场的基础是推迟势：0JJJitt 上式表示一种时谐波。与稳恒电流磁场相比，上式表示一种时谐波。与稳恒电流磁场相比，A(x)附加了一附加了一个因子个因子e ikr，称为推迟相因子，它表示电磁波传到场点时有相，称为推迟相因子，它表示电磁波传到场点时有相位滞后位滞后kr。2210AcAttc 由洛仑兹条件，可求出标势由洛仑兹条件，可求出标势 ：由此可见，由矢势由

24、此可见，由矢势A可完全确定电磁场。可完全确定电磁场。或由电荷守恒定律，对一定频率的交变电流情形有：或由电荷守恒定律，对一定频率的交变电流情形有：00()(,)(),()4ikritVJxeA x tA x eA xdr V这时电磁场也是时谐电磁场：这时电磁场也是时谐电磁场：(,)()(,)()ititA x tA x ex tx e ()(,)()()(,)()()()()()()itiititititittititB x tA xeB x eE x txAA x eAx eA xettx eiA xeE xix eeA BAAEt 矢势的展开式矢势的展开式展开需注意三个线度：展开需注意三个线

25、度：在电流、电荷分布区域以外，在电流、电荷分布区域以外，=J=0n 电荷分布区域的线度电荷分布区域的线度l，它决定积分区域内，它决定积分区域内 的大小的大小n 波长波长 =2/k 的线度的线度n 源区到场点的距离源区到场点的距离 r|x 0000222()()1ititEE x eiE x eiEttEEiBJEtctcicicEBBk n 感应区（过渡区）：感应区（过渡区）：r ，电磁场的行为很复杂，一般不详电磁场的行为很复杂，一般不详细研究这一区域。细研究这一区域。本节研究小区域内的电流所产生的辐射。本节研究小区域内的电流所产生的辐射。所谓小区域是指：所谓小区域是指：l ，l ，电磁波脱离

26、了场源后的传播区域，电磁波脱离了场源后的传播区域，通常接收电磁波的地方离发射系统很远，这类问题属于远场，通常接收电磁波的地方离发射系统很远，这类问题属于远场，我们主要讨论这一区域。我们主要讨论这一区域。这一区域内变化电磁场与静场性质类似。n 近场区（似稳区）：近场区（似稳区）：r 2,1ikRRekrrn 远场矢势的一般展开式远场矢势的一般展开式选坐标原点在电流分布区域内，选坐标原点在电流分布区域内，则则 与与l 同数量级。由图可知：同数量级。由图可知：|x|,|RxRxerxxx 222221222|2221RRrr rxxx xRxRexxexrRRR exp()exp()exp()exp

27、()RRikrik RexikRikex 11222222111RRRRxexexexrRRRRRRRRex 因为因为 ，所以分母中的，所以分母中的 可以舍去，但是可以舍去，但是要注意，相因子中的要注意，相因子中的 不能轻易舍去。不能轻易舍去。RxeRxeReRx原因：原因：2RRReexxkxRe2()exp()11!2!RRRikexikexikex n电偶极辐射电偶极辐射近似公式可以仅取积分中的第一项，有：近似公式可以仅取积分中的第一项，有：VdxJRexAikR)(4)(0电偶极辐射公式电偶极辐射公式()000()()()44()(1)4RRik RxikRikxikReeRRJ x

28、eeA xdVJ x edVRxReJ xikxdVRee展开式各项对应于各级电磁多极辐射。展开式各项对应于各级电磁多极辐射。0(,)4ikReA x tpR31111()()ikRikRikRikRikRikRReReeeikeik eRRRRRReR Vdtxxp),(,)pJ x t dV),(tx电偶极辐射的电场强度和磁感应强度电偶极辐射的电场强度和磁感应强度.00()()44ikRikRikReeeBApppRRR 0考虑远区条件考虑远区条件 ，R11RRk1即即 ，0(,)4ikRRikeB x tpeR在在 条件条件下偶极辐射的磁感下偶极辐射的磁感应强度为：应强度为：Rl30(,

29、)4RikReeB x tpc R/,kc0 01/c.pip it tiepp0ikRikRReikeReR所以有：所以有：k iRekk相当于相当于3020(,)sin4(,)sin4ikRikReB x tpec ReE x tpec R20(,)()4RRikReE x tpceeR),(),(txBkictxE利用利用选球坐标，让选球坐标，让 沿沿 轴，则：轴，则：zp讨论：讨论：（1 1）电场沿经线振荡，磁场沿纬线振荡，传播方向、电）电场沿经线振荡，磁场沿纬线振荡，传播方向、电场方向、磁场方向相互正交构成右手螺旋关系；场方向、磁场方向相互正交构成右手螺旋关系；（2 2）电场、磁场正

30、比于）电场、磁场正比于 ，因此它是空间传播的球面波，因此它是空间传播的球面波，且为横电磁波（且为横电磁波（TEMTEM波），在波），在 时可以近似为平时可以近似为平面波；面波；1/RR（3 3）注意如果）注意如果 （）不能被满足，可以证明）不能被满足，可以证明电场不再与传播方向垂直，即电力线不再闭合，但是磁电场不再与传播方向垂直，即电力线不再闭合，但是磁力线仍闭合。这时传播的是横磁波（力线仍闭合。这时传播的是横磁波（TMTM波）波）R11R平均功率：平均功率：与电磁波的频率与电磁波的频率4 4次方成正比。次方成正比。2243012pPS R dc 四辐射能流、角分布和辐射功率四辐射能流、角分布和辐射功率2*223201Re()sin232RpSEHc Re 平均能流密度矢量：平均能流密度矢量：角分布角分布