理论力学习题(4)课件.ppt

1、 4.1 4.1 一等腰直角三角形一等腰直角三角形OAB在其自身平面内以匀在其自身平面内以匀角速角速 绕定点绕定点O转动，某一点转动，某一点P P以相对速度沿以相对速度沿AB边边运动，当三角形转了一周时，运动，当三角形转了一周时，P点走过了点走过了AB，如已，如已知知 ，试求，试求P P点在点在A A时的绝对速度与绝对加速时的绝对速度与绝对加速度。度。解：如图建立坐标系，解：如图建立坐标系，P点的牵连点的牵连速度和相对速度为：速度和相对速度为：bAB jvivvjrrsincos绝对速度为：绝对速度为：jvrivrvvA)sin(cos与三角形斜边的夹角。与三角形斜边的夹角。Av为)14(co

2、ssinvvrvvtgAxAy1482sin22222bvrrvvA绝对速度的大小为：绝对速度的大小为：22bbvbbr24cos24在平面转动参照系中，质点的绝对加速度为：在平面转动参照系中，质点的绝对加速度为：（是一恒矢量）是一恒矢量）vraaaaactA22jvivairaactsin2cos202jvivraAsin2)cos2(2Aa为与三角形斜边的夹角与三角形斜边的夹角。121cos2sin22vrvaatgAxAy1224cos422222bvvrraA其加速度的大小为：其加速度的大小为：42 一直线以匀角速度一直线以匀角速度 在一固定平面内绕其一在一固定平面内绕其一端端o转动，

3、当直线位于转动，当直线位于ox的位置时，有一质点的位置时，有一质点P开始从开始从o点沿该直线运动，如欲使此点的绝对速度点沿该直线运动，如欲使此点的绝对速度 的量值的量值为常数。问此质点应按何种规律沿此直线运动？为常数。问此质点应按何种规律沿此直线运动？v解解：质点相对速度大小：质点相对速度大小：dtdrv 牵连速度大小：牵连速度大小：rve方向如图所示方向如图所示 绝对速度大小：绝对速度大小：2222)()(rdtdrvvvetvrsin质点运动规律为：质点运动规律为：tvr1sinrtdtrvdr00222积分积分222rvdtdr 43 P 点离开圆锥顶点点离开圆锥顶点o，以速度，以速度

4、沿母线作匀速沿母线作匀速运动，此圆锥则以匀角速运动，此圆锥则以匀角速 绕其轴转动，求开始绕其轴转动，求开始t 秒后秒后P点绝对加速度的量值，假定圆锥体的半顶角为点绝对加速度的量值，假定圆锥体的半顶角为 .v解：在空间转动参照系中，设质点解：在空间转动参照系中，设质点 t 时刻在母线时刻在母线P处，位矢为处，位矢为 ，质点的，质点的绝对加速度为：绝对加速度为：r2tcaaaarv=+=创+()sinsin22tvrat方向指向转动轴（在母线和转动轴构成的平面内）方向指向转动轴（在母线和转动轴构成的平面内）0a=4sin)sin2()sin(2222222tvvtvaaact ctaa方向与母线和

5、转动轴构成的平面垂直方向与母线和转动轴构成的平面垂直sin2vacsinsin22tvrat方向指向转动轴（在母线和转动轴构成的平面内）方向指向转动轴（在母线和转动轴构成的平面内）4 44 4 小环重小环重W，穿在曲线，穿在曲线 的光滑钢丝的光滑钢丝上，此曲线通过坐标原点，并绕竖直轴上，此曲线通过坐标原点，并绕竖直轴 oy以匀角速以匀角速 转动，如欲使小环在曲线上任何位置均处于相对平衡转动，如欲使小环在曲线上任何位置均处于相对平衡状态，求此曲线的形状及曲线对小环的约束反力。状态，求此曲线的形状及曲线对小环的约束反力。xfy 解：将小环放在曲线上任意位置，解：将小环放在曲线上任意位置，受力分析如

6、图所示，小环处于相对平衡受力分析如图所示，小环处于相对平衡时满足：时满足：02i xmgmN其投影形式为：其投影形式为：)2(cos)1(sin2mgNxmN(1)(2)(1)(2)联立得：联立得：dxdygxtg2ygWgxmgN222211小环所受约束反力为：小环所受约束反力为：22)2()1(2222xmmgN 利用利用 ，对上式积分得曲线为抛，对上式积分得曲线为抛物线：物线：000 yx222xgydxdygxtg2 4 45 5 在一光滑水平直管中，有一质量在一光滑水平直管中，有一质量m为的小为的小球，此管以恒定角速度球，此管以恒定角速度 绕通过管子一端的竖直轴绕通过管子一端的竖直轴

7、转动，如开始时，球距转动轴的距离为转动，如开始时，球距转动轴的距离为a，球相对于，球相对于管子的速度为零，而管的总长则为管子的速度为零，而管的总长则为2 2a，求小球刚离，求小球刚离开管口时的相对速度与绝对速度，并求小球从开始开管口时的相对速度与绝对速度，并求小球从开始运动到离开管口所需的时间。运动到离开管口所需的时间。解：如图建立坐标系，解：如图建立坐标系，小球受力分析如图所示，对小球受力分析如图所示，对平面转动参照系而言，质点平面转动参照系而言，质点相对运动微分方程为：相对运动微分方程为：vrFammm22（是恒矢量）是恒矢量）小球相对管的运动微分方程为：小球相对管的运动微分方程为：xmx

8、m2 积分：积分：aavxdxd22202av3两边乘两边乘 ：x 2222121xdxdxmxm2 所以相对速度为：所以相对速度为：iav3 牵连速度为：牵连速度为：02v rak=-由小球相对管的运动微分方程：由小球相对管的运动微分方程：xmxm2 积分：积分：xaxxdxd2202)(2222axx22axdtdx即：即：绝对速度为：绝对速度为：kaiarvv23aaavvv7)3()2(22220绝对速度大小为：绝对速度大小为：再积分：再积分：aatdtaxdx2022)32ln()2(2ln)(ln22222aaaaaxxtaa)32ln(1t22axdtdx 4 4、6 6 一光滑

9、细管可沿铅直平面内绕通过其一端一光滑细管可沿铅直平面内绕通过其一端的水平轴以匀角速的水平轴以匀角速 转动，其中有一质量为转动，其中有一质量为m的质点，的质点，开始时，细管取水平方向，质点距转轴的距离为开始时，细管取水平方向，质点距转轴的距离为a，质点相对于管的速度为质点相对于管的速度为 ，试求质点相对于管的运动，试求质点相对于管的运动规律。规律。0v 解：对平面转动参照系而言，解：对平面转动参照系而言，质点相对运动微分方程为：质点相对运动微分方程为：vrFammm22质点沿管方向的运动微分方程为：质点沿管方向的运动微分方程为：tmgxmxmsin2 如图建立坐标系，质点受力分析如图所示如图建立

10、坐标系，质点受力分析如图所示.设（设（1 1）式非齐次特解为：）式非齐次特解为：tCxsin2(1)(1)式齐次方程的通解为：式齐次方程的通解为：ttBeAex1)1(sin2tmgxx 即：即：tgxgCsin22222上式代入（上式代入（1 1）得：）得：tgBeAexxxttsin2221所以（所以（1 1）式的通解为：）式的通解为：tgBeAexxxttsin2221上式对时间求导得：上式对时间求导得：tgeBeAxttcos2利用初始条件：利用初始条件：代入上两式得：代入上两式得：00vxaxt02vgBAaBA20204)(214)(21gvaBgvaA即：即：故质点相对于管的运动

11、规律为：故质点相对于管的运动规律为：0022112424sin2ttvvggxaeaegt-轾轾=+-+-+犏犏犏犏臌臌+()()4 47 7 质量分别为质量分别为m及及 的两个质点，用一固有长的两个质点，用一固有长度为度为a a的弹性绳相连，绳的倔强系为的弹性绳相连，绳的倔强系为 ，如将此系统放在光滑的水平管中，管子绕管上某点以匀如将此系统放在光滑的水平管中，管子绕管上某点以匀角速角速 转动，试求任意瞬时两质点间的距离。设开始时，转动，试求任意瞬时两质点间的距离。设开始时，质点相对于管子是静止的。质点相对于管子是静止的。mmmmmk22 解：在管子上建立动解：在管子上建立动坐标系，受力分析如

12、图所坐标系，受力分析如图所示，由平面转动参照系的示，由平面转动参照系的运动微分方程：运动微分方程：vrFammm22)(askTxxs设任一时刻两质点间的距离为设任一时刻两质点间的距离为s )2()1(22xmTxmxmTxm 得：得：T 为弹性力为弹性力得：mm)1()2(smmmmasksmm2)(将将 代入上式并化简得：代入上式并化简得：mmmmk22222ass 由初始条件：由初始条件：000BaAsast任意瞬时两质点之间的距离为：任意瞬时两质点之间的距离为：)cos2(cos2tataastBtAassincos2上式的解为：上式的解为：4 48 8 轴为竖直而顶点向下的抛物线形金

13、属丝，轴为竖直而顶点向下的抛物线形金属丝，以匀角速以匀角速 绕竖直轴转动。另有一质量为绕竖直轴转动。另有一质量为m的小环套的小环套在此金属丝上，并沿金属丝滑动，试求小环运动的微在此金属丝上，并沿金属丝滑动，试求小环运动的微分方程。已知抛物线的方程为分方程。已知抛物线的方程为 ，式中，式中a为为常数，计算时可忽略摩擦阻力。常数，计算时可忽略摩擦阻力。ayx42 解：建立固连在金属丝上的解：建立固连在金属丝上的转动坐标系转动坐标系 ，受力分，受力分析如图所示。析如图所示。z方向受力没画。方向受力没画。xyzo 由空间转动参照系中的动力学方程：由空间转动参照系中的动力学方程：vRFammm22其分量

14、式为：其分量式为：212mxm xNsinmyNcosmg=-=-()()、两式消去两式消去N 得：得：)3(2gyxxtg )4(2axdxdytg由由 得：得：ayx42、两式联立得：两式联立得：gyxxax 22即：即：)5(22xxaxgyx 由由 得：得：ayx42xaxy2xaxaxy 222)5(22xxaxgyx 将将 代入代入得：得：y xxaxgxaxaxx 22222xxaxgxaxaxx 22222小环相对运动微分方程为：小环相对运动微分方程为：0244122222xagxaxxax 4 49 9 上题中，试用两种方法求小球相对平衡的条件。上题中，试用两种方法求小球相对

15、平衡的条件。解：方法解：方法1 1，选取转动参照，选取转动参照系系oxyz，相对平衡时：，相对平衡时：小环受力分析如图所示。小环受力分析如图所示。0 v得小环处于相对平衡时满足：得小环处于相对平衡时满足：02i xmgmN其投影形式为：其投影形式为：)2(cos)1(sin2mgNxmN（1 1）（）（2 2）联立得：）联立得：0tFma-=由相对平衡方程：由相对平衡方程：故小环处于相对平衡时满足：故小环处于相对平衡时满足：ag22代入上式得：代入上式得：axgx22由由 得：得：axdxdy2ayx42dxdygxtg2（1 1）（）（2 2）联立得：）联立得：方法方法2 2：选取惯性参照系

16、，小环相对金属丝静：选取惯性参照系，小环相对金属丝静止，则小环相对惯性系作匀速圆周运动，小环受力止，则小环相对惯性系作匀速圆周运动，小环受力分析如图所示，其所受向心力为：分析如图所示，其所受向心力为：gmNF其投影形式为：其投影形式为：)2(cos0)1(sin2mgNxmNF（1 1）（）（2 2）联立得：）联立得：dxdygxtg2故小环处于相对平衡时满足：故小环处于相对平衡时满足：ag22代入上式得：代入上式得：axgx22由由 得：得：axdxdy2ayx42dxdygxtg2 4 410 10 质量为质量为m的小环，套在半径为的小环，套在半径为a的光滑圆的光滑圆圈上，并可沿着圆圈滑动

17、，圆圈在水平面内以匀角圈上，并可沿着圆圈滑动，圆圈在水平面内以匀角速速 绕圈上某点绕圈上某点o转动，试求小环沿圆周切线方向转动，试求小环沿圆周切线方向的运动微分方程。的运动微分方程。解：选取圆圈为平面转动参照解：选取圆圈为平面转动参照系，则小环运动微分方程为：系，则小环运动微分方程为：vrFammm22小环受力如图所示：小环受力如图所示：重力：重力：，约束反力：，约束反力：（图中未画）（图中未画）gmN牵连惯性力大小：牵连惯性力大小：2cos222amrmFt科氏力的大小：科氏力的大小：vmFc2方向如图所示。方向如图所示。0sin2 即：即：sin2sin2cos222amamma adtv

18、dav2sintFdtvdm小环切向运动微分方程为：小环切向运动微分方程为：补充题补充题1 1、M点在杆点在杆OA上按上按 规律规律 x=2+3=2+3t2 2(厘米厘米)运动，同时运动，同时杆杆OA绕绕O轴以匀角速度轴以匀角速度 =2 rad/s=2 rad/s 转动。转动。如图所示，求当如图所示，求当 t=1=1s 时，时，M点的科氏加速度的大小。点的科氏加速度的大小。解：科氏加速度：解：科氏加速度：v va a 2ctxv6其科氏加速度大小为：其科氏加速度大小为：2241212122cmstxac 补充题补充题2 2、矩形板绕其一边以匀角速、矩形板绕其一边以匀角速 转动，转动，动点沿另一

19、边以相对匀速度动点沿另一边以相对匀速度vr运动（如图所示），求运动（如图所示），求动点在图示位置时，科氏加速度的大小。动点在图示位置时，科氏加速度的大小。0v va a2c科氏加速度：科氏加速度：补充题补充题3 3、飞机飞越北极上空，其相对速度为、飞机飞越北极上空，其相对速度为100100m/s，若飞机质量为，若飞机质量为 kgkg，求飞机受，求飞机受到的科里奥利力的大小。到的科里奥利力的大小。4102.1v vF Fmc2科里奥利力：科里奥利力：科里奥利力的大小为：科里奥利力的大小为：NvmFc175100103.7102.12254 补充题补充题4 4、如图所示的机构在其所在平面内运、如图

20、所示的机构在其所在平面内运动，滑块动，滑块M在曲柄在曲柄O1A与与O2A相接处，且可沿相接处，且可沿BO2杆滑杆滑动。动。M以相对速度以相对速度vr如图示方向运动，则科氏加速度如图示方向运动，则科氏加速度的方向为：的方向为：（）A、ac垂直于垂直于vr 沿沿MO1指向指向O1；B、ac垂直于垂直于vr 沿沿O1M背离背离O1 C、ac垂直于垂直于vr 方向不定方向不定；D、ac=0选选 B 补充题补充题5 5、一水平圆盘绕一过盘心且垂直于盘、一水平圆盘绕一过盘心且垂直于盘面之轴转动，角速度为恒矢量，一质点面之轴转动，角速度为恒矢量，一质点M以相对速以相对速度度u自圆盘上一弦之中点开始沿弦运动，

21、弦心矩为自圆盘上一弦之中点开始沿弦运动，弦心矩为b，当质点离弦中点为当质点离弦中点为x时，求质点绝对速度的大小，绝时，求质点绝对速度的大小，绝对加速度的大小。对加速度的大小。解：如图所示，建立转动坐标系解：如图所示，建立转动坐标系o1xy,质点相对速度为：质点相对速度为：iuuv质点牵连速度为：质点牵连速度为：jrirrvsincos0质点的绝对速度为质点的绝对速度为 jriruvvvsin)cos(0222xbuv2222cosxbbxbr2222cossin2cosvurrurur=+=+()()()质点的绝对速度的大小为质点的绝对速度的大小为 求质点的绝对加速度的大小：求质点的绝对加速度

22、的大小：vraaaaact22222202tcaa rbxau=+=方向如图所示。方向如图所示。平面转动参照系中质点的加速度为平面转动参照系中质点的加速度为 =（恒矢量）22sinxbxubuxbaaaacee3222242244)()cos()sin(质点的绝对加速度的大小为：质点的绝对加速度的大小为：2222cosxbbxbr其中：其中：补充题补充题6 6、质点以不变的速率、质点以不变的速率vr沿管子运动，沿管子运动，如图所示。此管中部弯成半径为如图所示。此管中部弯成半径为R的半圆周，并绕的半圆周，并绕AB轴以匀角速转动，在质点由轴以匀角速转动，在质点由C运动至运动至D的时间内，的时间内，

23、管绕管绕AB轴转过半周，求质点的绝对加速度大小（表轴转过半周，求质点的绝对加速度大小（表示为角示为角 的函数）。的函数）。空间转动参照系中质点的加速度为空间转动参照系中质点的加速度为 解：如图所示，建立转动坐标系解：如图所示，建立转动坐标系OxyzvRaaaaact22恒矢量）（牵连加速度大小牵连加速度大小 cos2Rae相对加速度大小相对加速度大小 Rvar2vRaaaaact22科里奥利加速度的大小科里奥利加速度的大小 sin2)sin(2rrcvva方向如图所示方向如图所示质点的绝对加速度为：质点的绝对加速度为：kajaiaaacesin)cos(质点的绝对加速度的大小为：质点的绝对加速

24、度的大小为：222)sin()cos(ceaaaaa22sin4RvrRRvr2/2其中其中 补充题补充题7 7、圆筒以匀角速、圆筒以匀角速 绕铅直轴转动，筒内液绕铅直轴转动，筒内液体随筒转动，求相对平衡时，液体自由表面的形状。体随筒转动，求相对平衡时，液体自由表面的形状。解：选取转动参照系解：选取转动参照系 oxyz相对平衡时相对平衡时,液面上任一质点受力分液面上任一质点受力分析如图所示。由相对平衡方程：析如图所示。由相对平衡方程：0tFma-=得小环处于相对平衡时满足：得小环处于相对平衡时满足：02i xmgmN其投影形式为：其投影形式为：)2(cos)1(sin2mgNxmN222xgy

25、抛物线抛物线 利用利用 ，对上式积分得曲线形状为：，对上式积分得曲线形状为：000 yxdxdygxtg2（1 1）（）（2 2）联立得：）联立得：)2(cos)1(sin2mgNxmN 补充题补充题8 8、水平圆盘绕垂直盘面且通过盘心的竖、水平圆盘绕垂直盘面且通过盘心的竖直轴以匀角速度直轴以匀角速度 转动，盘上有一光滑直槽，离转转动，盘上有一光滑直槽，离转动轴的距离为动轴的距离为b，质量为，质量为m的小球沿槽运动，求小球的小球沿槽运动，求小球相对槽的运动规律及槽对小球的横向作用力。相对槽的运动规律及槽对小球的横向作用力。设设 t=0 0时，时，x=a,，如图所示。，如图所示。0vx 解：如图

26、所示，建立转动坐解：如图所示，建立转动坐标系标系Oxyz，小球受力分析如图小球受力分析如图所示，所示，惯性离心力：惯性离心力：r rF F2me科里奥利力：科里奥利力：j jv vF Fxmmc22约束力约束力:j jR RR)2(02)1(22bmxmRymxmxm 得小球运动微分方程得小球运动微分方程的分量形式为：的分量形式为：vrFammm22由平面转动参照系的动力学方程：由平面转动参照系的动力学方程：（1 1）式的通解：）式的通解：)2(02)1(22bmxmRymxmxm ttBeAex利用初始条件：利用初始条件：00vxaxt得：得：)(0BAvBAa)(21)(2100vaBvaA 即：即：)(21)(2120022bevaevambmxmRtt槽对小球的横向作用力为：槽对小球的横向作用力为：ttevaevax)(21)(2100小球相对槽的运动规律为：小球相对槽的运动规律为：