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20春九数下(北师)难点专题:二次函数的综合题(勇于探究的能力).doc

1、优秀领先 飞翔梦想 成人成才难点专题:二次函数的综合题【勇于探究的能力】代几结合,突破面积及点的存在性问题类型一抛物线与三角形的综合一、求最值1如图,抛物线yx2bxc交x轴于点A(1,0),交y轴于点B,对称轴是直线x2.(1)求抛物线的解析式;(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在点P,使PAB的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由二、求直角(或等腰或相似)三角形的存在性问题2如图,已知抛物线yax2bxc(a0)经过A(1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴(1)求抛物线的函数关系式;(2)设点P是直线l上的一个动点,当点P到点A、点B

2、的距离之和最短时,求点P的坐标;(3)点M也是直线l上的动点,且MAC为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点M的坐标【易错4】3如图,已知抛物线经过原点O,顶点为A(1,1),与直线yx2交于B,C两点(1)求抛物线的解析式及点C的坐标;(2)求证:ABC是直角三角形;(3)若点N为x轴上的一个动点,过点N作MNx轴与抛物线交于点M,则是否存在以O,M,N为顶点的三角形与ABC相似?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由三、与面积相关的问题4如图,坐标平面上,二次函数yx24xk的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,其顶点为D,且k0.若ABC与ABD的面积比为14,则k的值为

3、()A1 B. C. D.5如图,二次函数yax2bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0)(1)求a,b的值;(2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2x6),写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值类型二抛物线与特殊四边形的综合6抛物线yx26x9的顶点为A,与y轴的交点为B,如果在抛物线上取点C,在x轴上取点D,使得四边形ABCD为平行四边形,那么点D的坐标是()A(6,0) B(6,0) C(9,0) D(9,0)7如图,在平面直角坐标系中,沿着两条坐标轴摆着三个相同的矩形,其长、宽分别为4,2,则过A,B,C三点的拋物线的函数关

4、系式是_8 如图,四边形OABC是边长为1的正方形,OC与x轴正半轴的夹角为15,点B在抛物线yax2(a0)上,则a的值为_9正方形OABC的边长为4,对角线相交于点P,抛物线l经过O,P,A三点,点E是正方形内的抛物线l上的动点(1)建立适当的平面直角坐标系,直接写出O,P,A三点坐标;求抛物线l的解析式;(2)求OAE与OCE面积之和的最大值参考答案与解析1解:(1)由题意得解得抛物线的解析式为yx24x3.(2)存在点A与点C关于直线x2对称,连接BC与直线x2交于点P,则点P即为所求根据抛物线的对称性可知点C的坐标为(3,0)yx24x3,点B的坐标为(0,3)设直线BC的解析式为y

5、mxn,则解得直线BC的解析式为yx3,直线BC与直线x2的交点坐标为(2,1),即点P的坐标为(2,1)2解:(1)将A(1,0),B(3,0),C(0,3)代入抛物线yax2bxc中,得解得抛物线的函数关系式为yx22x3.(2)当点P在x轴上,P,A,B三点在一条直线上时,点P到点A、点B的距离之和最短,此时点P的横坐标为1,故点P的坐标为(1,0)(3)点M的坐标为(1,1),(1,),(1,),(1,0)解析:抛物线的对称轴为直线x1.设点M的坐标为(1,m)已知A(1,0),C(0,3),则MA2m24,MC2(m3)21m26m10,AC2123210.若MAMC,则MA2MC2

6、,得m24m26m10,解得m1;若MAAC,则MA2AC2,得m2410,解得m;若MCAC,则MC2AC2,得m26m1010,解得m10,m26,当m6时,M,A,C三点共线,构不成三角形,不合题意,故舍去综上所述,符合条件的点M的坐标为(1,1),(1,),(1,),(1,0)3(1)解:顶点坐标为(1,1),设抛物线的解析式为ya(x1)21.又抛物线过原点,0a(01)21,解得a1,抛物线的解析式为y(x1)21,即yx22x.联立抛物线和直线解析式可得解得或点B的坐标为(2,0),点C的坐标为(1,3)(2)证明:分别过A,C两点作x轴的垂线,交x轴于点D,E两点,则ADODB

7、D1,BEOBOE213,CE3,BECE,ABOCBO45,ABCABOCBO90,ABC是直角三角形(3)解:假设存在满足条件的点N,设点N的坐标为(x,0),则点M的坐标为(x,x22x),ON|x|,MN|x22x|.由(2)在RtABD和RtCEB中,可分别求得AB,BC3.MNx轴,MNOABC90,当ABC和MNO相似时,有或.当时,则有,即|x|x2|x|.当x0时,M,O,N不能构成三角形,x0,|x2|,即x2,解得x或x,此时点N的坐标为或;当时,则有,即|x|x2|3|x|,|x2|3,即x23,解得x5或x1,此时点N的坐标为(1,0)或(5,0)综上所述,存在满足条

8、件的N点,其坐标为或或(1,0)或(5,0)4D解析:yx24xk(x2)24k,顶点D的坐标为(2,4k),点C的坐标为(0,k),OCk.ABC的面积为ABOCABk,ABD的面积为AB(4k),ABC与ABD的面积比为14,k(4k),解得k.故选D.5解:(1)将A(2,4)与B(6,0)代入yax2bx,得解得(2)如图,过A作x轴的垂线,垂足为D(2,0),连接CD,CB,过C作CEAD,CFx轴,垂足分别为E,F.则SOADODAD244.SACDADCE4(x2)2x4,SBCDBDCF4x26x.则SSOADSACDSBCD42x4x26xx28x.S关于x的函数表达式为Sx

9、28x(2x6)Sx28x(x4)216,当x4时,四边形OACB的面积S有最大值,最大值为16.6D解析:令x0,得y9,点B的坐标为(0,9)yx26x9(x3)2,点A的坐标为(3,0),对称轴为直线x3.点C在抛物线上,且四边形ABCD是平行四边形,BCAD,即BCx轴,点C的坐标为(6,9),BC6,AD6,点D的坐标为(9,0)故选D.7yx2x解析:依题意得A点的坐标为(4,2),B点的坐标为(2,6),C点的坐标为(2,4)设抛物线的函数关系式为yax2bxc,则解得抛物线的函数关系式为yx2x.8解析:连接OB.四边形OABC是边长为1的正方形,BOC45,OB1.过点B作B

10、Dx轴于点D.OC与x轴正半轴的夹角为15,BOD451530,BDOB,OD,点B的坐标为.点B在抛物线yax2(a0)上,a,解得a.9 解:(1)以O点为原点,线段OA所在的直线为x轴,线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系,如图所示正方形OABC的边长为4,对角线相交于点P,点O的坐标为(0,0),点A的坐标为(4,0),点P的坐标为(2,2)设抛物线l的解析式为yax2bxc.由抛物线l经过O,P,A三点,得解得抛物线l的解析式为yx22x.(2)点E是正方形内的抛物线l上的动点,设点E的坐标为(0m4),SOAESOCEOAyEOCxE44mm24m2m(m3)29,当m3时,OAE与OCE面积之和最大,最大值为9. 第 7 页 共 7 页

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