正则坐标与主振型课件.ppt

1、汽车振动与噪声控制汽车振动与噪声控制2 2第一章第一章 振动理论基础振动理论基础复习：多自由度系统固有频率和主振型复习：多自由度系统固有频率和主振型 MxKx 0一般的振动系统的一般的振动系统的n个固有频率的值互不相等个固有频率的值互不相等(也有特殊也有特殊情况情况)。将各个固有频率按照由小到大的顺序排列为。将各个固有频率按照由小到大的顺序排列为n210其中最低阶固有频率其中最低阶固有频率1 1称为第一阶固有频率或称基频，然称为第一阶固有频率或称基频，然后依次称为二阶、三阶固有频率等。后依次称为二阶、三阶固有频率等。对应于对应于i可以求得可以求得A(i)，它满足，它满足 返回首页返回首页0)(

2、)(2iiAMK0)(2AMKA(i)为对应于为对应于i的特征矢量。它表示系统在以的特征矢量。它表示系统在以i的频率作的频率作自由振动时，各物块振幅的相对大小，称之为第自由振动时，各物块振幅的相对大小，称之为第i阶主振型，阶主振型，也称固有振型或主模态。也称固有振型或主模态。AAA11121121222212AAAAAAAAAnnnnnnn()()()()对于任何一个对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到自由度振动系统，总可以找到n个固有个固有频率和与之对应的频率和与之对应的n阶主振型阶主振型在主振型矢量中，规定某个元素的值为在主振型矢量中，规定某个元素的值为1，并进而确定其，并进而确定其它

3、元素的过程称为归一化。它元素的过程称为归一化。令令 ，于是可得第，于是可得第i阶主振型矢量为阶主振型矢量为Ani()1 AiiiTAA121()()例例1 图是三自由度振动系统，设图是三自由度振动系统，设k1=k2=k3=k，m1=m2=m，m3=2m，试求系统的固有频率和主振型。，试求系统的固有频率和主振型。解：选择解：选择x1、x2、x3坐标如图所示。则系统的质量矩阵和刚坐标如图所示。则系统的质量矩阵和刚度矩阵分别为度矩阵分别为M mmm0000002K 2020kkkkkkk将将M和和K代入频率方程代入频率方程020202222mkkkmkkkmk099232246mkmkmkmkmkm

4、k1007.3,2726.1,1267.0232221mkmkmk7609.1,12810.1,3559.0321解方程得到解方程得到求出系统的三个固有频率为求出系统的三个固有频率为 iAMK)(2=0321,代入代入 Aii111 2 3(,)可得主振型可得主振型 A1100001873325092.AA().23100000727404709100001100702115 主坐标和正则坐标主坐标和正则坐标 主振型的正交性主振型的正交性 主振型矩阵与正则振型矩阵主振型矩阵与正则振型矩阵 主坐标和正则坐标主坐标和正则坐标 返回首页返回首页n自由度的振动系统，具有自由度的振动系统，具有n个固有频

5、率和与之对应的个固有频率和与之对应的n阶阶主振型。且这些主振型之间存在着关于质量矩阵和刚度矩主振型。且这些主振型之间存在着关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性。阵的正交性。AAij,ji,iiiMAAK2 jjjMAAK2对应于对应于()AiT两边左乘两边左乘转置，然后右乘转置，然后右乘 Aj jTiijTiMAAAKA)()(2 jTijjTiAMAKAA)()(2 0)(22jTijiAMA相减相减 ijji ()AM AiTj 0 ()AK AiTj 0表明，对应于不同固有频率的主振型之间表明，对应于不同固有频率的主振型之间，既关于，既关于质量质量矩阵相互正交，又关于刚度矩阵相互正交，这就是主

6、振矩阵相互正交，又关于刚度矩阵相互正交，这就是主振型的正交性。还可以证明，零固有频率对应的主振型也型的正交性。还可以证明，零固有频率对应的主振型也必定与系统的其它主振型关于质量矩阵和刚度矩阵正交。必定与系统的其它主振型关于质量矩阵和刚度矩阵正交。()AM AiTj 0 ()AK AiTj 0ijij ()AMAiTiiM (),AK AiTiiKin 12 3 Ki称为第称为第i阶主刚度或第阶主刚度或第i阶模态刚度；阶模态刚度；Mi称为第称为第i阶主质量或第阶主质量或第i阶阶模态质量。模态质量。niMKiiiTiiTii,3,2,1,)()()(2MAAAKA令令j=i,可见，由于主振型的正交

7、性，不同阶的主振动之间不存在可见，由于主振型的正交性，不同阶的主振动之间不存在动能的转换，或者说不存在惯性耦合。同样可以证明第动能的转换，或者说不存在惯性耦合。同样可以证明第i阶阶固有振动的广义弹性力在第固有振动的广义弹性力在第j阶固有振动的微小位移上的元阶固有振动的微小位移上的元功之和也等于零，因此不同阶固有振动之间也不存在势能功之和也等于零，因此不同阶固有振动之间也不存在势能的转换，或者说不存在弹性耦合。的转换，或者说不存在弹性耦合。对于每一个主振动来说，它的动能和势能之和是个常数。对于每一个主振动来说，它的动能和势能之和是个常数。在运动过程中，每个主振动内部的动能和势能可以互相转在运动过

8、程中，每个主振动内部的动能和势能可以互相转化，但各阶主振动之间不会发生能量的传递。化，但各阶主振动之间不会发生能量的传递。因此，从能量的观点看，各阶主振动是互相独立的，这就因此，从能量的观点看，各阶主振动是互相独立的，这就是主振动正交性的物理意义。是主振动正交性的物理意义。以各阶主振型矢量为列，按顺序排列成一个以各阶主振型矢量为列，按顺序排列成一个nn阶方阵，称此阶方阵，称此方阵为主振型矩阵或模态矩阵，即方阵为主振型矩阵或模态矩阵，即 AAAAPnnnnnnnAAAAAAAAA()12111212122212AMAMAKAKPTPPPTPP根据主振型的正交性，可以导出主振型矩阵的两个性质根据主

9、振型的正交性，可以导出主振型矩阵的两个性质MPnMMM12KPnKKK12主质量矩阵主质量矩阵主刚度矩阵主刚度矩阵使使MP由对角阵变换为单位阵由对角阵变换为单位阵 AANiiPiM()1 ()AMANiTNjijij10 jijiijNTiN0)(2KAA正则振型的正交关系是正则振型的正交关系是第第i阶正则振型阶正则振型第第i阶固有频率阶固有频率 以各阶正则振型为列，依次排列成一个以各阶正则振型为列，依次排列成一个nn阶方阵，称此方阵阶方阵，称此方阵为正则振型矩阵，即为正则振型矩阵，即 AAAANNNNnNNNnNNNnNnNnNnnAAAAAAAAA()1211121212221222221

10、2111nNTNNTNAKAIMAA由正交性可由正交性可导出正则矩导出正则矩阵两个性质阵两个性质谱矩阵 在一般情况下，具有有限个自由度振动系统的质量矩阵和刚在一般情况下，具有有限个自由度振动系统的质量矩阵和刚度矩阵都不是对角阵。因此，系统的运动微分方程中既有动力度矩阵都不是对角阵。因此，系统的运动微分方程中既有动力偶合又有静力偶合。对于偶合又有静力偶合。对于n自由度无阻尼振动系统，有可能选自由度无阻尼振动系统，有可能选择这样一组特殊坐标，使方程中不出现偶合项亦即质量矩阵和择这样一组特殊坐标，使方程中不出现偶合项亦即质量矩阵和刚度矩阵都是对角阵，这样每个方程可以视为单自由度问题，刚度矩阵都是对角

11、阵，这样每个方程可以视为单自由度问题，称这组坐标为称这组坐标为主坐标主坐标或或模态坐标模态坐标。由前面的讨论可知，主振型矩阵由前面的讨论可知，主振型矩阵AP与正则振型矩阵与正则振型矩阵AN，均可，均可使系统的质量矩阵和刚度矩阵转换成为对角阵。因此，可利用使系统的质量矩阵和刚度矩阵转换成为对角阵。因此，可利用主振型矩阵或正则振型矩阵进行坐标变换，以寻求主坐标或正主振型矩阵或正则振型矩阵进行坐标变换，以寻求主坐标或正则坐标。则坐标。2.正则坐标正则坐标用正则振型矩阵用正则振型矩阵AN进行坐标变换，设进行坐标变换，设 xA xNNMA xKA x0NNNN MxKx 0正则坐标矢量正则坐标矢量ANT

12、A MA xA KA x0NTNNNTNN前乘以前乘以0 xxNN2 02iNiiNxx(,)in 12 3 由正则振型矩阵的两个性质由正则振型矩阵的两个性质例例5 试求例试求例1中系统的主振型矩中系统的主振型矩阵和正则振型矩阵。阵和正则振型矩阵。AAAAP().123100001000010000187330727411007250920470902115由质量矩阵由质量矩阵，可求出主质量矩阵，可求出主质量矩阵M m100010002MA MAPPTPmmm1710140001972600023010.解：将在例解：将在例1中求得的各阶主中求得的各阶主振型依次排列成方阵，得到主振型依次排列成

13、方阵，得到主振型矩阵振型矩阵于是，可得各阶正则振型于是，可得各阶正则振型 AAAAAAAAANNNMmMmMm111122223333102418107120106592.以各阶正则振型为列，写出正则振型矩阵以各阶正则振型为列，写出正则振型矩阵ANm1024180712006592045300517907256060670335301394.K k2101210111007.30002726.10001267.02mkNTNAKA由刚度矩阵由刚度矩阵可求出谱矩阵可求出谱矩阵0 xxNN2.xkmxxkmxxkmxNNNNNN112233012670127260310070可写出以正则坐标表示的

14、运动方程可写出以正则坐标表示的运动方程展开式为展开式为固有频率相等的情况固有频率相等的情况在前面的讨论中，曾假设系统的固有频率均不相等，而每个固在前面的讨论中，曾假设系统的固有频率均不相等，而每个固有频率对应一个主振型。但复杂系统中也会出现两个或两个以有频率对应一个主振型。但复杂系统中也会出现两个或两个以上频率相等或相近的情形，这时相对应的主振型就不能唯一地上频率相等或相近的情形，这时相对应的主振型就不能唯一地确定。确定。为了说明这一点，假设频率方程有二重根。为了说明这一点，假设频率方程有二重根。021 1201MAAK可写出可写出 A1 A2 )(210AAKKAba AAA012ab线性组

15、合线性组合说明对应于说明对应于0 0的主振型的主振型不能唯一地确定不能唯一地确定 两个任意常数两个任意常数 2202MAAK 220120MAAMba )(2120AAMba 020MA因此，当系统具有重根时，其等固有频率的主振型要根据各振型间因此，当系统具有重根时，其等固有频率的主振型要根据各振型间的正交性来确定。不仅所选定的的正交性来确定。不仅所选定的A(1)和和A(2)之间应满足对之间应满足对M、K的正的正交关系，而且还必须满足与其它振型间关于交关系，而且还必须满足与其它振型间关于M、K的正交关系。的正交关系。例例6 图示系统是由两个质量均为图示系统是由两个质量均为m的质点与一无重刚杆组

16、成，的质点与一无重刚杆组成，且两质点又分别与弹簧常数为且两质点又分别与弹簧常数为k的弹簧相连。试求该系统的固的弹簧相连。试求该系统的固有频率及主振型。有频率及主振型。解：以系统的静平衡位置为坐标原点，建立坐标解：以系统的静平衡位置为坐标原点，建立坐标x1,x2。写出系统的质量矩阵和刚度矩阵为写出系统的质量矩阵和刚度矩阵为 M mm00K kk00得到特征矩阵得到特征矩阵mkmk22200MKB得到频率方程得到频率方程00022mkmk解出系统的两个固有频率，是重根。解出系统的两个固有频率，是重根。mk21需由正交化求得。由观察系统的振动现象可知，刚杆具有两种运动需由正交化求得。由观察系统的振动

17、现象可知，刚杆具有两种运动即平动和转动。因此可假设即平动和转动。因此可假设 AA121111,然后用两振型关于然后用两振型关于M、K的的正交性来校核正交性来校核 1 1001121100112012mmmmmmiiTi,(),满足 AMA 1 100110012mmT,()显然满足 AMA是该系统的一组正交主振型是该系统的一组正交主振型 AA12和需要指出的是，这种相互独立正交的需要指出的是，这种相互独立正交的主振型组可以有无穷多组。就好象在主振型组可以有无穷多组。就好象在平面几何中，一个圆有无穷多组相互平面几何中，一个圆有无穷多组相互垂直的二个直径一样。图所示，为另垂直的二个直径一样。图所示，为另一组相互正交的主振型，即一组相互正交的主振型，即 AA121001,