1、5-2 中误差传播定律 o 本单元阐述了观测值中误差与其函数中误差之间的关系，称作误差传播定律。它是求观测值函数中误差的理论根据，希望大家认真掌握。o 本单元主要内容：观测值函数中误差推导。o 知识考核:倍数函数，和、差函数，线性函数及一般函数中误差公式；算术平均值中误差公式。o 第一单元介绍的是根据一组等精度观测值的真误差，求观测值的中误差问题。但是在实际测量工作中，有些未知量往往是由观测值，通过一定的函数关系间接计算出来的。例如，水准测量时，高差h=a（后视读数）-b（前视读数），h是a、b的函数。又如坐标增量x=Scos，y=Ssin，x及y是距离S和坐标方位角的函数。o 由于直接观测值
2、有误差，故它的函数也必然会有误差。研究观测值函数的精度评定问题，实质上就是研究观测值函数的中误差与观测值中误差的关系问题。这种关系又称误差传播定律。（一）倍数函数的中误差 o 设有函数 Z=KX o 用X与Z分别表示X和Z的真误差，则 o Z+Z=K（X+X）即Z=KX o 这就是函数真误差与观测值真误差的关系式 o 设对X进行了n次观测，则有o Z1=KX1o Z2=KX2o o ZN=KXNo 得 2Z1=K22X1o 2Z2=K22X2o o 2ZN=K22XNo 2Z=K22X o 按中误差定义，上式可表示为 m2Z=K2m2Xo 或 mZ=KmX o 可见，倍数函数的中误差等于倍数（
3、常数）与观测值中误差的乘积。o 用比例尺在1：1000的图上量得长度L=168 mm，并已知其中误差mi=0.2 mm，求相应地面上的水平距离S及中误差mS。o 解：相应地面上的水平距离o S=1000L=168 mo 中误差o mS=1000mi=0.2 mo 最后写成o S=1680.2 m（二）和、差函数的中误差 o 设有函数Z=X+Y和Z=Z-Y，即Z=XY o X、Y为独立观测值，所谓“独立”，是指观测值之间相互无影响，即任何一个观测值产生的误差，都不影响其他观测值误差的大小。一般来说，直接观测的值就是独立观测值。o 令函数Z及X、Y的真误差分别为Z、X、Y。显然o Z+Z=（XX）
4、（Y+Y）和差函数的中误差o Z=XY o 观测n次，则有o Z1=X1Y1o Z2=X2Y2o o Zn=XnYno 将上列各式两边平方并求和，得o 2Z=2X+2Y 2XY 例题例题习题1：o 如图所示的测站点O，观测了、三个角度，已知它们的中误差分别为 12、24、24秒，求由此而得圆周角不符值的中误差。如果用方向观测法观测了这三个角且测角中误差为12秒，请问计算角的中误差是多少？（三）线性函数中误差o 设有函数o Z=K1 x1K2 x2 Kn xn o 式中K1、K2、Kn为常数；x1、x2、xn均为独立观测值，它们的中误差分别为m1、m2、mn o 函数Z与各观测值x1、x2、xn
5、的真误差关系式为o 根据中误差的定义公式可得：xnnxxkkkz 221122222221212nnzmkmkmkm 例题：o 例4：对某一直线作等精度观测。往测距离为L1，返测距离为L2，其中误差均为m。求该直线的最后结果及其中误差。o解；最后结果L为o设L的中误差为mL，有o即221LLL2222214141mmmmL2mmL（四）一般函数的中误差o设有一般函数oZ=f（X1，X2，Xn）；式中，X1，X2，Xn为具有中误差，mX1，mX2，mXn的独立观测值。各观测值的真误差分别为X1、X2、Xn，其函数Z也将产生真误差z.。o)取全微分,得 o则有o式中 ，为函数对各个变量所取得的偏导
6、数 o则函数的中误差为：o或者：nndXXfdXXfdXXfdz.2211nnXfXfXf.22111Xf2XfnXf，22222221212)(.)()(xnnxxzmXfmXfmXfm22222221)()()(21nmfmfmfmnz例题o设沿倾斜地面丈量A、B两点，得倾斜距离L=29.992 m，测得A、B两点间高差h=2.05m，若测量L、h的中误差分别为0.003 m和0.05 m，求水平距离S及其中误差ms。o解：水平距离为o水平距离的中误差为o式中o则有：922.2905.2992.292222hLs22222hLsmhSmLSm0685.021212222SLhLLLhLLS
7、0023.1)2(1212222ShhLhhhLhSmmS005.0)05.00685.0()003.00023.1(22（五）若干独立误差综合影响的中误差 o 一个观测值的中误差，往往受许多独立误差的综合影响。例如，经纬仪观测一个方向时，就受目标偏心、仪器偏心（仪器未真正对中）、照准、读数等误差的综合影响。这些独立误差都属于偶然误差。可以认为各独立真误差1、2、n的代数和就是综合影响的真误差F，o F=1+2+n 例题：o 已知使用某一经纬仪观测一个方向的读数中误差为10，照准中误差为3，对中中误差为5，目标偏心中误差为15，求这些独立中误差对观测一个方向的综合影响mF。o 解：911553102222 Fm
