数据结构第7章图课件.ppt

1、第七章 图l主要教学目标：主要教学目标：理解图的基本概念，熟悉图的各种存储结构及其构造算法；熟练掌握图的两种搜索路径的遍历；掌握有向无环图的拓扑排序和关键路径；掌握最短路径的解法l教学方法及教学手段：教学方法及教学手段：理论讲授与上机实践相结合l教学重点及难点：教学重点及难点：图的存储结构及遍历，拓扑排序、关键路径、最短路径的解法7.1 图的基本概念图(Graph)图G是由两个集合V(G)和E(G)组成的,记为G=(V,E)其中：V(G)是顶点的非空有限集 E(G)是边的有限集合，边是顶点的无序对或有序对有向图有向图G是由两个集合V(G)和E(G)组成的 其中：V(G)是顶点的非空有限集 E(

2、G)是有向边（也称弧）的有限集合，弧是顶点的有序对，记为，v,w是顶点，v为弧尾，w为弧头无向图无向图G是由两个集合V(G)和E(G)组成的 其中：V(G)是顶点的非空有限集 E(G)是边的有限集合，边是顶点的无序对，记为（v,w）或（w,v)，并且（v,w)=(w,v)例245136G1图G1中：V(G1)=1,2,3,4,5,6 E(G1)=,例157324G26图G2中：V(G2)=1,2,3,4,5,6,7 E(G1)=(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(2,5),(5,6),(5,7)有向完全图n个顶点的有向图最大边数是n(n-1)无向完全图n个顶点的无向图最大边数是n

3、(n-1)/2权与图的边或弧相关的数叫网带权的图叫子图如果图G(V,E)和图G(V,E),满足：vVVvEE 则称G为G的子图顶点的度v无向图中，顶点的度为与每个顶点相连的边数v有向图中，顶点的度分成入度与出度l 入度：以该顶点为头的弧的数目l 出度：以该顶点为尾的弧的数目路径路径是顶点的序列V=Vi0,Vi1,Vin，满足(Vij-1,Vij)E 或 E,(1jn)路径长度沿路径边的数目或沿路径各边权值之和回路第一个顶点和最后一个顶点相同的路径叫简单路径序列中顶点不重复出现的路径叫简单回路除了第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路叫连通从顶点V到顶点W有一条路径，则说V和W是连

4、通的连通图图中任意两个顶点都是连通的叫连通分量非连通图的每一个连通部分叫强连通图有向图中，如果对每一对Vi,VjV,ViVj,从Vi到Vj 和从Vj到 Vi都存在路径，则称G是例213213有向完全图无向完全图356例245136图与子图例245136G1顶点2入度：1 出度：3顶点4入度：1 出度：0例157324G26顶点5的度：3顶点2的度：4例157324G26例245136G1路径：1，2，3，5，6，3路径长度：5简单路径：1，2，3，5回路：1，2，3，5，6，3，1简单回路：3，5，6，3路径：1，2，5，7，6，5，2，3路径长度：7简单路径：1，2，5，7，6回路：1，2，

5、5，7，6，5，2，1简单回路：1，2，3，1连通图例245136强连通图356例非连通图连通分量例2451367.2 图的存储结构邻接矩阵邻接表邻接矩阵表示顶点间相联关系的矩阵v定义：设G=(V,E)是有n1个顶点的图，G的邻接矩阵A是具有以下性质的n阶方阵，其它0E(G)v,v或)v,(v若1,jijijiA例G12413例15324G200110001011101010101010100001100000000110v特点：l无向图的邻接矩阵对称，可压缩存储；有n个顶点的无向图需存储空间为n(n+1)/2l有向图邻接矩阵不一定对称；有n个顶点的有向图需存储空间为nl无向图中顶点Vi的度T

6、D(Vi)是邻接矩阵A中第i行元素之和l有向图中，u顶点Vi的出度是A中第i行元素之和u顶点Vi的入度是A中第i列元素之和l网络的邻接矩阵可定义为：，其它0E(G)v,v或)v,(v若,jijiijjiA0618360240120078400530750例1452375318642邻接表v实现：为图中每个顶点建立一个单链表，第i个单链表中的结点表示依附于顶点Vi的边（有向图中指以Vi为尾的弧）typedef struct node int adjvex;/邻接点域，存放与Vi邻接的点在表头数组中的位置 struct node *next;/链域，指示下一条边或弧JD;adjvex next表头

7、接点：typedef struct tnode datatype vexdata;/存放顶点信息 struct node *firstarc;/指示第一个邻接点TD;TD gaM;/ga0不用vexdata firstarc例G1bdac例aecbdG21234acdbvexdata firstarc 3 2 4 1adjvex next1234acdbvexdata firstarc 4 2 1 2adjvex next5e 4 3 5 1 5 3 2 3v特点l无向图中顶点Vi的度为第i个单链表中的结点数l有向图中u顶点Vi的出度为第i个单链表中的结点个数u顶点Vi的入度为整个单链表中邻接

8、点域值是i的结点个数l逆邻接表：有向图中对每个结点建立以Vi为头的弧的单链表例G1bdac1234acdbvexdata firstarc 4 1 1 3adjvex next深度优先遍历(DFS)v方法：从图的某一顶点V0出发，访问此顶点；然后依次从V0的未被访问的邻接点出发，深度优先遍历图，直至图中所有和V0相通的顶点都被访问到；若此时图中尚有顶点未被访问，则另选图中一个未被访问的顶点作起点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问为止V1V2V4V5V3V7V6V8例深度遍历：V1 V2 V4 V8 V5 V3 V6 V77.3 图的遍历V1V2V4V5V3V7V6V8例例V1V2V4V5

9、V3V7V6V8深度遍历：V1 V2 V4 V8 V5 V6 V3 V7深度遍历：V1 V2 V4 V8 V5 V6 V3 V7V1V2V4V5V3V7V6V8例深度遍历：V1 V2 V4 V8 V3 V6 V7 V5v深度优先遍历算法l递归算法开始访问V0,置标志求V0邻接点有邻接点w求下一邻接点wV0W访问过结束NYNYDFS开始标志数组初始化Vi=1Vi访问过DFSVi=Vi+1Vi=Vexnums结束NNYYV1V2V4V5V3V7V6V8例深度遍历：V112341342vexdata firstarc 2 7 8 3adjvex next55 6 4 1 5 1 2 8 267867

10、8 7 3 6 3 5 4V3 V7 V6 V2 V5 V8 V4V1V2V4V5V3V7V6V8例12341342vexdata firstarc 2 7 8 3adjvex next55 6 4 8 2678678 7深度遍历：V1V3 V7 V6 V2 V4 V8 V5广度优先遍历(BFS)v方法：从图的某一顶点V0出发，访问此顶点后，依次访问V0的各个未曾访问过的邻接点；然后分别从这些邻接点出发，广度优先遍历图，直至图中所有已被访问的顶点的邻接点都被访问到；若此时图中尚有顶点未被访问，则另选图中一个未被访问的顶点作起点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问为止V1V2V4V5V3V7

11、V6V8例广度遍历：V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8V1V2V4V5V3V7V6V8例例V1V2V4V5V3V7V6V8广度遍历：V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8广度遍历：V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8V1V2V4V5V3V7V6V8例广度遍历：V1 V2 V3 V4 V6 V7 V8 V5v广度优先遍历算法开始标志数组初始化Vi=1Vi访问过BFSVi=Vi+1Vi=Vexnums结束NNYY开始访问V0,置标志求V邻接点ww存在吗V下一邻接点ww访问过结束NYNYBFS初始化队列V0入队队列空吗队头V出队访问w,置标志w入队NaaY例142351

12、2341342vexdata firstarc 5 5 4 3adjvex next55 1 5 1 1 4 3 2 20 1 2 3 4 51fr遍历序列：10 1 2 3 4 54fr遍历序列：1 40 1 2 3 4 54 3fr遍历序列：1 4 3例1423512341342vexdata firstarc 5 5 4 3adjvex next55 1 5 1 1 4 3 2 20 1 2 3 4 54 3 2fr遍历序列：1 4 3 20 1 2 3 4 5 3 2fr遍历序列：1 4 3 20 1 2 3 4 5 3 2 5fr遍历序列：1 4 3 2 50 1 2 3 4 5 2

13、 5fr遍历序列：1 4 3 2 50 1 2 3 4 5 5fr遍历序列：1 4 3 2 50 1 2 3 4 5 fr遍历序列：1 4 3 2 5例1423512341342vexdata firstarc 5 5 4 3adjvex next55 1 5 1 1 4 3 2 2生成树定义：所有顶点均由边连接在一起，但不存在回路的图叫深度优先生成树与广度优先生成树生成森林：非连通图每个连通分量的生成树一起组成非连通图的7.4 生成树和最小(代价)生成树说明:一个图可以有许多棵不同的生成树所有生成树具有以下共同特点：v生成树的顶点个数与图的顶点个数相同v生成树是图的极小连通子图v一个有n个顶

14、点的连通图的生成树有n-1条边v生成树中任意两个顶点间的路径是唯一的v在生成树中再加一条边必然形成回路含n个顶点n-1条边的图不一定是生成树GHKIV1V2V4V5V3V7V6V8例深度遍历：V1 V2 V4 V8 V5 V3 V6 V7V1V2V4V5V3V7V6V8深度优先生成树V1V2V4V5V3V7V6V8广度优先生成树V1V2V4V5V3V7V6V8V1V2V4V5V3V7V6V8广度遍历：V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8例ABLMCFDEGHKIJABLMCFJDEGHKI深度优先生成森林最小生成树v问题提出要在n个城市间建立通信联络网，顶点表示城市权城市间建立通信线

15、路所需花费代价希望找到一棵生成树，它的每条边上的权值之和（即建立该通信网所需花费的总代价）最小最小代价生成树v问题分析1654327131791812752410n个城市间，最多可设置n(n-1)/2条线路n个城市间建立通信网，只需n-1条线路问题转化为：如何在可能的线路中选择n-1条，能把 所有城市（顶点）均连起来，且总耗费 （各边权值之和）最小构造最小生成树方法方法一：普里姆(Prim)算法v算法思想：设N=(V,E)是连通网，T是N上最小生成树中边的集合Y初始令U=u0,(u0V),T=Y在所有uU,vV-U的边(u,v)E中，找一条代价最小的边(u0,v0)Y将(u0,v0)并入集合T

16、，同时v0并入UY重复上述操作直至U=V为止，则T=(V,TE)为N的最小生成树v算法实现：图用邻接矩阵表示v算法描述v算法评价：T(n)=O(n)例1654326513566425131163141643142116432142516543214253062460632055465051350651600 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5例1654326513566425165432651356642516543214253136425方法二：克鲁斯卡尔(Kruskal)算法算法思想：设连通网N=(V,E)，令最小生成树Y初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图T=(V,)，每个顶点自

17、成一个连通分量Y在E中选取代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上，则将此边加入到T中；否则，舍去此边，选取下一条代价最小的边Y依此类推，直至T中所有顶点都在同一连通分量上为止例165432651356642516543212345问题提出:用带权的有向图表示一个交通运输网，图中：顶点表示城市边表示城市间的交通联系权表示此线路的长度或沿此线路运输所花的时间或费用等问题：从某顶点出发，沿图的边到达另一顶点所经过的路径中，各边上权值之和最小的一条路径最短路径从某个源点到其余各顶点的最短路径51643208562301371732913长度最短路径8131921207.5 最短路径迪杰

18、斯特拉(Dijkstra)算法思想按路径长度递增次序产生最短路径算法：把V分成两组：（1）S：已求出最短路径的顶点的集合（2）V-S=T：尚未确定最短路径的顶点集合将T中顶点按最短路径递增的次序加入到S中，保证：（1）从源点V0到S中各顶点的最短路径长度都不大于从V0到T中任何顶点的最短路径长度 （2）每个顶点对应一个距离值 S中顶点：从V0到此顶点的最短路径长度 T中顶点：从V0到此顶点的只包括S中顶点作中间顶点的最短路径长度依据：可以证明V0到T中顶点Vk的最短路径，或是从V0到Vk的直接路径的权值；或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和（反证法可证）求最短路径步骤初使时令 S=V0,T

19、=其余顶点，T中顶点对应的距离值v若存在，为弧上的权值v若不存在，为从T中选取一个其距离值为最小的顶点W，加入S对T中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值比不加W的路径要短，则修改此距离值重复上述步骤，直到S中包含所有顶点，即S=V为止1383032V2:813-133032V1:13-13302220V3:13-192220V4:19终点 从V0到各终点的最短路径及其长度V1V2V3V4V5V6Vj-2120V6:20516432085623013717329问题提出：学生选修课程问题顶点表示课程有向弧表示先决条件，若课程i是课程j的先决条件，则图中有弧学生应按怎样

20、的顺序学习这些课程，才能无矛盾、顺利地完成学业拓扑排序定义AOV网用顶点表示活动，用弧表示活动间优先关系的有向图称为顶点表示活动的网(Activity On Vertex network)，简称AOV网v若是图中有向边，则vi是vj的直接前驱；vj是vi的直接后继vAOV网中不允许有回路，这意味着某项活动以自己为先决条件7.6 拓扑排序v拓扑排序把AOV网络中各顶点按照它们相互之间的优先关系排列成一个线性序列的过程叫l检测AOV网中是否存在环方法：对有向图构造其顶点的拓扑有序序列，若网中所有顶点都在它的拓扑有序序列中，则该AOV网必定不存在环拓扑排序的方法v在有向图中选一个没有前驱的顶点且输出

21、之v从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧v重复上述两步，直至全部顶点均已输出；或者当图中不存在无前驱的顶点为止例课程代号 课程名称 先修棵C1C2C3C4C5C6C7C8C9C10C11C12无C1C1,C2C1C3,C4C11C3.C5C3,C6无C9C9C1,C9,C10程序设计基础离散数学数据结构汇编语言语言的设计和分析计算机原理编译原理操作系统高等数学线性代数普通物理数值分析C1C2C3C4C5C6C7C8C9C10C11C12C1C2C3C4C5C6C7C8C9C10C11C12拓扑序列：C1-C2-C3-C4-C5-C7-C9-C10-C11-C6-C12-C8或 ：C9-C10-C

22、11-C6-C1-C12-C4-C2-C3-C5-C7-C8一个AOV网的拓扑序列不是唯一的C1C2C3C4C5C6C7C8C9C10C11C12C2C3C4C5C6C7C8C9C10C11C12拓扑序列：C1（1）C3C4C5C6C7C8C9C10C11C12拓扑序列：C1-C2（2）C4C5C6C7C8C9C10C11C12拓扑序列：C1-C2-C3（3）C5C6C7C8C9C10C11C12拓扑序列：C1-C2-C3-C4（4）C6C8C10C11C12拓扑序列：C1-C2-C3-C4-C5-C7-C9C6C8C11C12拓扑序列：C1-C2-C3-C4-C5-C7-C9 -C10（8）

23、C6C7C8C9C10C11C12拓扑序列：C1-C2-C3-C4-C5（5）C6C8C9C10C11C12拓扑序列：C1-C2-C3-C4-C5-C7（6）C6C8C12拓扑序列：C1-C2-C3-C4-C5-C7-C9 -C10-C11（9）C8C12拓扑序列：C1-C2-C3-C4-C5-C7-C9 -C10-C11-C6（10）C8拓扑序列：C1-C2-C3-C4-C5-C7-C9 -C10-C11-C6-C12（11）拓扑序列：C1-C2-C3-C4-C5-C7-C9 -C10-C11-C6-C12-C8（12）问题提出:把工程计划表示为有向图，用顶点表示事件，弧表示活动；每个事件表

24、示在它之前的活动已完成，在它之后的活动可以开始例 设一个工程有11项活动，9个事件事件 V1表示整个工程开始事件V9表示整个工程结束问题：（1）完成整项工程至少需要多少时间？（2）哪些活动是影响工程进度的关键？987645321a1=6a2=4a3=5a4=1a5=1a6=2a7=9a8=7a9=4a10=2a11=47.7 关键路径定义vAOE网(Activity On Edge)也叫边表示活动的网。AOE网是一个带权的有向无环图，其中顶点表示事件，弧表示活动，权表示活动持续时间v路径长度路径上各活动持续时间之和v关键路径路径长度最长的路径叫vVe(j)表示事件Vj的最早发生时间vVl(j)

25、表示事件Vj的最迟发生时间ve(i)表示活动ai的最早开始时间vl(i)表示活动ai的最迟开始时间vl(i)-e(i)表示完成活动ai的时间余量v关键活动关键路径上的活动叫，即l(i)=e(i)的活动问题分析v如何找e(i)=l(i)的关键活动？设活动ai用弧表示，其持续时间记为：dut()则有：（1）e(i)=Ve(j)（2）l(i)=Vl(k)-dut()jkaiv如何求Ve(j)和Vl(j)？(1)从Ve(1)=0开始向前递推为头的弧的集合是所有以其中jTnjTjijidutiVeMaxjVei2,),()()(2)从Vl(n)=Ve(n)开始向后递推为尾的弧的集合是所有以其中iSniS

26、jijidutjVlMiniVlj11,),()()(求关键路径步骤v求Ve(i)v求Vl(j)v求e(i)v求l(i)v计算l(i)-e(i)987645321a2=4a3=5a5=1a6=2a9=4a1=6a4=1a7=9a8=7a10=2a11=4V1V2V3V4V5V6V7V8V9顶点 Ve Vl0645771614180668710161418a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11活动 e l l-e00002266046258377077071031616014140033算法实现v以邻接表作存储结构v从源点V1出发，令Ve1=0,按拓扑序列求各顶点的Veiv从汇点Vn出

27、发，令Vln=Ven,按逆拓扑序列求其余各顶点的Vliv根据各顶点的Ve和Vl值，计算每条弧的ei和li,找出ei=li的关键活动邻接表结点：typedef struct node int vex;/顶点域 int length;struct node *next;/链域JD;表头结点：typedef struct tnode int vexdata;int in;/入度域 struct node *link;/链域TD;TD gM;/g0不用算法描述v输入顶点和弧信息，建立其邻接表v计算每个顶点的入度v对其进行拓扑排序l排序过程中求顶点的Veil将得到的拓扑序列进栈v按逆拓扑序列求顶点的Vl

28、iv计算每条弧的ei和li,找出ei=li的关键活动987645321a2=4a3=5a5=1a6=2a9=4a1=6a4=1a7=9a8=7a10=2a11=4987645321a2=4a3=5a5=1a6=2a9=4a1=6a4=1a7=9a8=7a10=2a11=4inlinkvexnextvexdatalength123456789123456789011121122 26 34 45 79 51 62 51 87 84 910 94v算法描述627543185623013717329017020605079032308131addist0 1 2 3 4 5 60 13 8 30 3

29、2pre0 1 2 3 4 5 60 1 1 0 1 0 1(1)k=1Ch6_5.c1133122 20221941215111长度最短路径13813192120v算法分析：T(n)=O(n)每一对顶点之间的最短路径v方法一：每次以一个顶点为源点，重复执行Dijkstra算法n次 T(n)=O(n)v方法二：弗洛伊德(Floyd)算法l算法思想：逐个顶点试探法l求最短路径步骤u初始时设置一个n阶方阵，令其对角线元素为0，若存在弧，则对应元素为权值；否则为u逐步试着在原直接路径中增加中间顶点，若加入中间点后路径变短，则修改之；否则，维持原值u所有顶点试探完毕，算法结束例ACB2643110 4

30、 116 0 23 0初始：路径：AB ACBA BCCA0 4 66 0 23 7 0加入V2：路径：AB ABCBA BCCA CAB0 4 116 0 23 7 0加入V1：路径：AB ACBA BCCA CAB0 4 65 0 23 7 0加入V3：路径：AB ABCBCA BCCA CABl算法实现u图用邻接矩阵存储ulength存放最短路径长度upathij是从Vi到Vj的最短路径上Vj前一顶点序号l算法描述例132264311初始：0 4 116 0 23 0length=0 1 12 0 23 0 0path=加入V1：0 4 116 0 23 7 0length=0 1 12 0 23 1 0path=加入V2：0 4 66 0 23 7 0length=0 1 22 0 23 1 0path=加入V3：0 4 65 0 23 7 0length=0 1 23 0 23 1 0path=Ch6_6.cl算法分析：T(n)=O(n)