大学数学线性代数经典-课件5-6.ppt

1、一、拉格朗日配方法的具体步骤1.若二次型含有若二次型含有 的平方项，则先把含有的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过可逆线性样进行，直到都配成平方项为止，经过可逆线性变换，就得到标准形变换，就得到标准形;ixixiijjijkkxyyxyyxy jiknk,2,1 且且2.若二次型中不含有平方项，但是若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换则先作可逆线性变换0 ija),(ji 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方中方法配方法配方.解解3231

2、2123222162252xxxxxxxxxf .,62252 323121232221并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵为为标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxxxxf 例例1 131212122xxxxx 322322652xxxx 的项配方的项配方含有含有x1含有平方项含有平方项 2321xxx 322322652xxxx 3223222xxxx 去掉配方后多出来的项去掉配方后多出来的项 322322232144xxxxxxx .22322321xxxxx 3332232112xyxxyxxxy令令 3332232112yxyyxyyyx 321321100210111yyyxxx

3、32312123222162252xxxxxxxxxf .2221yy 所用变换矩阵为所用变换矩阵为 .01,100210111 CC,33212211 yxyyxyyx 令令解解,622323121xxxxxxf 代代入入.842232312221yyyyyyf 得得.,622 323121并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵成成标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxf 例例2 2由于所给二次型中无平方项，所以由于所给二次型中无平方项，所以 yyyxxx321321100011011即即再配方，得再配方，得 .622223232231yyyyyf 333223112yzyyzyyz 令令,

4、233322311 zyzzyzzy .622232221zzzf 得得 zzzyyy321321100210101即即所用变换矩阵为所用变换矩阵为 100210101100011011C.100111311 .02 C二、小结将一个二次型化为标准形，可以用将一个二次型化为标准形，可以用正交变换正交变换法法，也可以用，也可以用拉格朗日配方法拉格朗日配方法，或者其它方法，或者其它方法，这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用个可逆的线

5、性变换，那么各种方法都可以使用正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单需要注意的是，比较简单需要注意的是，使用不同的方法使用不同的方法，所所得到的标准形可能不相同得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项但标准形中含有的项数必定相同数必定相同，项数等于所给二次型的秩项数等于所给二次型的秩 .,323121321变变换换并并写写出出所所作作的的可可逆逆线线性性为为标标准准形形化化

6、二二次次型型xxxxxxxxxf 思考题思考题解答故令故令方项方项由于所给二次型不含平由于所给二次型不含平,解解 ,33212211 yxyyxyyx,)(2322312yyyyf 有有 ,3322311 3322211zyzyzzyyzyzyyz或或再令再令,232221zzzf 得标准形得标准形 .,3332123211zxzzzxzzzx所用可逆线性变换为所用可逆线性变换为 11、机智应变的猴子：工作的流程有时往往是一成不变的，新人的优势在于不了解既有的做法，而能创造出新的创意与点子。一味 地接受工作的交付，只能学到工作方法 的皮毛，能思考应 变的人，才会学到 方法的精髓。12、善解人意

7、的海豚：常常问自己：我是主管该怎么办才能有助于更好的处理事情的方法。在工作上善解人意，会减轻主管、共 事者的负担，也 让你更具人缘。11、机智应变的猴子：工作的流程有时往往是一成不变的，新人的优势在于不了解既有的做法，而能创造出新的创意与点子。一味 地接受工作的交付，只能学到工作方法 的皮毛，能思考应 变的人，才会学到 方法的精髓。12、善解人意的海豚：常常问自己：我是主管该怎么办才能有助于更好的处理事情的方法。在工作上善解人意，会减轻主管、共 事者的负担，也 让你更具人缘。11、机智应变的猴子：工作的流程有时往往是一成不变的，新人的优势在于不了解既有的做法，而能创造出新的创意与点子。一味 地接受工作的交付，只能学到工作方法 的皮毛，能思考应 变的人，才会学到 方法的精髓。12、善解人意的海豚：常常问自己：我是主管该怎么办才能有助于更好的处理事情的方法。在工作上善解人意，会减轻主管、共 事者的负担，也 让你更具人缘。