向量复习PPT课件.ppt

1、一、向量的基本概念一、向量的基本概念向量、向量、零向量、单位向量、零向量、单位向量、共线向量共线向量（平行向量）、（平行向量）、相等向量、相反向量相等向量、相反向量等等.2、向量的表示、向量的表示AB 1、字母表示：AB或a2、坐标表示：xyaiO(x,y)jAaxyjyi xa），（yx），（yxOA Page 4Page 5Page 6ab作法（1）在平面内任取一点OoAB=(2)作 OAa,b=+作(3)O BabAB+已知向量 a,b,求作向量ab位移的合成可以看作向量加法位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。三角形法则的物理模型。还有没有其他的做法？还有没有其他的做法？Pa

2、ge 72 2、向量加法的平行四边形法则、向量加法的平行四边形法则aboABC力的合成可以看作向量加法的力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型。平行四边形法则的物理模型。作法（1）在平面内任取一点OOB=(2)作 OAa,b=+(3)O Cab作同起点的对角线同起点的对角线BOCAab以同一点以同一点O为起点的两个已知向量为起点的两个已知向量 为邻边作为邻边作 OACB，则以为起点的对角线，则以为起点的对角线OC就是就是 的和的和ba、ba与Page 8OabABba差向量的做法：差向量的做法：从从一个点一个点出发的两出发的两个向量的差向量就是从个向量的差向量就是从减向量减向量的终

3、点指向的终点指向被减被减向量向量终点的向量。终点的向量。Page 9 20013MABCMAMBMCADBECFOMOAOBOC 为重心 O为平面内任意一点ABCDEFMPage 10ababab结论：4 1,2812ab abababbbab ，为非零向量，平分 与 的夹角则（）A。a=b B。ab C。aa，则的最大值，最小值Page 11 2 11234233 120ACAOOCAOOCOAOCOCOAOAODADABACBDCDababababababab 可以表示成-若则 与 满足的条件若且 与 不共线，则与方向关系？Page 121212121 11221221 112212211

4、.12e eeeRaeeeeeeeeeeee 如果，是平面 内两个不共线的向量，那么下列命题中错误的是（）+（，）可以表示平面 内所有向量（）+的实数，有无数对（3）若向量+与+共线，则有且只有一个实数 使+（+）（4）若实数，使+20 则=02,3 平面向量基本定理Page 13 2.3.14.ADBEABCBCACAD BEBCABPAPBPOOPOAOBda 12121212，是边，中线，用基底，表示？设一条直线上三点，满足，为空间一点，则用，表示为？已知a=2e-3e，b=2e+3e，其中e，e 不共线c=2e-9e，问是否存在实数，使bc与 共线2233dab 121212解：2e-

5、3e2e+3eee/dckdkc 要使则存在实数，使得2233 1212即ee2ke-9ke222339kk 由平面向量基本定理得2 得，所以存在这样的实数，Page 14 12PABOPOA OB 结论：为中点则511OAOBPABOPOAOBOPOAOBABP 。已知，不共线，点在上，求证且变形且求证，三点共线Page 151.向量的共线条件（平行向量基本定理）/0ababab bab 存在唯一一个实数 使 00ba注意：1 若，则 不存在 0ba2 若则 存在但不唯一12211122/0/0baba aRbax yx yaxybxy，其中，二、向量的运算二、向量的运算（一）向量的加法（一

6、）向量的加法ABC三角形法则：ABCD平行四边形法则：ab2、坐标运算：、坐标运算：），（，），（设2211yxbyxa b ba a则），（2121yyxx1、作图、作图（二）向量的减法（二）向量的减法DBADAB2、坐标运算：），（，），（设2211yxbyxa b ba a则），（2121yyxx1、作图、作图平行四边形法则：abab+ab+ACBCABPage 17aa（1）长度：）长度：（2）方向：）方向：时，当0异向与aa，时当0同向与aa时，当00aa（三）数乘向量（三）数乘向量baba）（aaa）（aa、数乘向量的运算律：3：、数乘向量的坐标运算2的大小和方向：、a1），（），

7、（yxyxaPage 185、平面向量基本定理、平面向量基本定理22112121eeaaee使，有且只有一对实数这一平面内的任一向量不共线向量，那么对于是同一个平面内的两个，如果向量 与非零向量 共线 有且只有一个实数 ，使得 =。baba4、共线向量基本定理、共线向量基本定理1、平面向量数量积的定义：bacos|ba 2、数量积的几何意义：.cos|的乘积方向上的投影在与的长度等于babaaOABB1(四四)数量积数量积abba）（1）（）（）（bababa2cbcacba）（34、运算律:2121yyxxba3、数量积的坐标运算Page 20五、向量垂直的判定五、向量垂直的判定01baba

8、）（022121yyxxba）（六、向量平行的判定六、向量平行的判定(共线向量的判定共线向量的判定)）（）（0/1aabba），（），（，其中）（221112210/2yxbyxayxyxab|32211AByxByxA），则，（），（）若（|a22yx 221221）（）（yyxx），则，（）设（yxa 2七、向量的长度七、向量的长度，）（2|1aaa2|aa 八、向量的夹角八、向量的夹角|cosbaba向量表示向量表示坐标表示坐标表示向量表示向量表示坐标表示坐标表示222221212121yxyxyyxxPage 22Page 23AMDCNBPage 24Page 25C C-3 341

9、23 21323abkkababkabab、已知（，），（，），当为何值时，（）与垂直？（）与平行？平行时它们是同向还是反向？Page 26Page 27Page 28122121,602,32.oe eaeebeeab 例：设为两个单位向量，且夹角为，若，求 与 的夹角解：解：22212122122124422eeeeeeeea71211141460cos44212221eeee 7a同理可得同理可得 7b27262322221212121eeeeeeeeba217727cosbaba=120Page 29Page 30 112112/2222123324211751cosabxxababa

10、bababababababa baabOPOAOBMOPMA MBOMAMB ，分别求若2，求则 1与的夹角，在直线上1 当最小时，求？2 求？Page 31训练：n 103PABCPA PBPB PCPC PAPABCOABCABACOPOAABACPABCABCBCaCAb ABa b 1为所在平面上一点，若则 为的心？2为所在平面上一点，且动点P满足，则 的轨迹一定通过的心？中，=c且b cc aABC ，则的形状？垂内等边三角形空间向量复习空间向量复习Page 33abOABba结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的

11、两条有向线段表示。同一平面内的两条有向线段表示。因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。关结论仍适用于它们。3.1.13.1.1空间向量的运算空间向量的运算Page 34平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义 表示法 相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零bkakbak)()()(cbacbaabba加法交换律加法结合律数乘分配律abba加法交换律bkakbak)(数乘分配律)()(cbacba加法结合律数乘:ka,k为正数,负数,零Page 3

12、5推广:（1 1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；向量的起点指向末尾向量的终点的向量；nnnAAAAAAAAAA11433221（2 2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。形，则它们的和为零向量。01433221AAAAAAAAnPage 36ABCDA1B1C1D1GM 始点相同的三个始点相同的三个不共面向量之和，等不共面向量之和，等于以这三个向量为棱于以这三个向量为棱的平行六面体的以公的平行六面体的以公共始点为始点的对角共始点为始点的对角线所示向量线所示向量

13、Page 37一、共线向量一、共线向量:零向量与任意向量共线零向量与任意向量共线.1.1.共线向量共线向量:空间两向量互相平行空间两向量互相平行或重合或重合,则这些向量叫做共线向量则这些向量叫做共线向量(或平行或平行向量向量),),记作记作ba/2.2.共线向量定理共线向量定理:对空间任意两个对空间任意两个向量向量 的充要条件是存在实的充要条件是存在实数数使使baobba/),(,ba3.1.2共线向量定理与共面向量定理共线向量定理与共面向量定理Page 38 推论推论:如果如果 为经过已知点为经过已知点A A且平行且平行已知非零向量已知非零向量 的直线的直线,那么对任一点那么对任一点O,O,

14、点点P P在直线在直线 上的充要条件是存在实数上的充要条件是存在实数t,t,满足等式满足等式OP=OA+t OP=OA+t 其中向量其中向量a叫做直线的叫做直线的方向向量方向向量.llaaOABPa 若若P P为为A,BA,B中点中点,则则12 OPOAOB假如假如OP=OA+tABOP=OA+tAB，则点，则点P P、A A、B B三点共线。三点共线。可用于证明点共线可用于证明点共线Page 39二二.共面向量共面向量:1.1.共面向量共面向量:平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量叫做共面向量.OAaa注意：注意：空间任意两个向量是共面的，但空间空间任意两个向量是共面的，但

15、空间任意三个向量就不一定共面的了。任意三个向量就不一定共面的了。Page 402.2.共面向量定理共面向量定理:如果两个向量如果两个向量 不共线不共线,则向量则向量 与向量与向量 共面的充要共面的充要条件是存在实数对条件是存在实数对 使使,a byx,Pxayb p,a bOMabABAPp 注：可用于证明三个向量共面注：可用于证明三个向量共面Page 41 推论推论:空间一点空间一点P P位于平面位于平面MABMAB内的充内的充要条件是存在有序实数对要条件是存在有序实数对x,yx,y使使 或对空间任一点或对空间任一点O,O,有有 MPxMAyMB OPOMxMAyMB注意：注意：证明空间四点

16、证明空间四点P、M、A、B共面的两个依据共面的两个依据 存存在在唯唯一一实数对实数对,xyMPxMAyMB （）使得(1)OPxOMyOAzOBxyz 其其中中，Page 421 1、已知、已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),a=(2,4,5),b=(3,x,y),若若ab,ab,求求x,yx,y的值。的值。2 2、证明：三向量、证明：三向量a=ea=e1 1+e+e2 2,b=3e,b=3e1 1-2e-2e2 2,c=2e,c=2e1 1+3e+3e2 2 共面；若共面；若a=mb+nca=mb+nc，试求实数，试求实数m m、n n之值。之值。Page 431 1）两个向量的夹角

17、两个向量的夹角abbaba,0被唯一确定了，并且量的夹角就在这个规定下，两个向范围：bababa互相垂直，并记作：与则称如果,2,O OA AB Baabb3.1.33.1.3空间向量的数量积空间向量的数量积向量向量a a与与b b的夹角记作：的夹角记作：Page 442 2）两个向量的数量积）两个向量的数量积注意：注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量两个向量的数量积是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积等于零。零向量与任意向量的数量积等于零。cos,a ba ba b Page 453 3）射影）射影eaeaABBAelABBABlBAlAllelaAB,cos,111111射影。

18、方向上的正射影，简称或在上的在轴叫做向量，则上的射影在作点上的射影在点同方向的单位向量。作上与是，和轴已知向量BAleA1B1注意：是轴注意：是轴l l上的正射影上的正射影,A,A1 1B B1 1是一个可正可负的实数，是一个可正可负的实数，它的符号代表向量与它的符号代表向量与l l的方向的相对关系，大小代的方向的相对关系，大小代表在表在l l上射影的长度。上射影的长度。ABABPage 464)4)空间向量的数量积性质空间向量的数量积性质 aaababaeaaea2)30)2,cos)1注意：注意：性质性质2 2）是证明两向量垂直的依据；）是证明两向量垂直的依据；性质性质3 3）是求向量的长

19、度（模）的依据；）是求向量的长度（模）的依据；对于非零向量对于非零向量 ，有：，有：,abPage 475)5)空间向量的数量积满足的运算律空间向量的数量积满足的运算律 注意：注意：分配律）交换律）()(3()2)()()1cabacbaabbababa数量积不满足结合律数量积不满足结合律)()cbacba（Page 481 1、应用、应用 可证明两直线垂直，可证明两直线垂直，2 2、利用、利用 可求线段的长度。可求线段的长度。0baba22aa向量数量积的应用向量数量积的应用Page 493.1.43.1.4空间向量正交分解及其坐标表示空间向量正交分解及其坐标表示空间向量基本定理：空间向量基

20、本定理：如果三个向量如果三个向量a,b,c不共面不共面，那么对空间任一向量，那么对空间任一向量p,存在有序存在有序实数组实数组x,y,z,使得使得p=xa+yb+zc.空间所有向量的集合空间所有向量的集合p|p=xa+yb+zc,x,y,zRa,b,c叫做空间的一个叫做空间的一个基底基底，a,b,c都叫做都叫做基向量。基向量。Page 50二、空间直角坐标系二、空间直角坐标系 单位正交基底：单位正交基底：如果空间的一个如果空间的一个基底基底的的三个三个基向量互相垂直基向量互相垂直，且，且长都为长都为1，则这个，则这个基底叫做基底叫做单位正交基底单位正交基底，常用，常用 i,j,k 表表示。示。

21、则空间中任意一个向量则空间中任意一个向量p可表示为可表示为 p=xi+yj+zk(x,y,z)就是向量就是向量p的坐标。的坐标。Page 513.1.5 向量的直角坐标运算向量的直角坐标运算则设),(),(321321bbbbaaaa;ab;ab;a;a b/;.ab;ab112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,),()aaaR1 12233a ba ba b112233,()ab ab abR112222/ababab1 122330a ba ba bPage 52二、距离与夹角二、距离与夹角2222123|aa aaaa2222123|bb bbbb1

22、.1.距离公式距离公式（1 1）向量的长度（模）公式）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。角线的长度。Page 53|ABABAB AB212121(,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222,212121()()()A Bdxxyyzz在空间直角坐标系中，已知、在空间直角坐标系中，已知、，则，则111(,)A xyz222(,)B xyz（2 2）空间两点间的距离公式）空间两点间的距离公式终点坐标减终点坐标减起点坐标起点坐标Page 54cos,|a ba bab1 1223 32222221231

23、23;a ba ba baaabbb2.2.两个向量夹角公式两个向量夹角公式注意：注意：（1）当）当 时，同向；时，同向；（2）当）当 时，反向；时，反向；（3）当）当 时，。时，。cos,1 a b与 abcos,1 a b与 abcos,0 a bab思考：当思考：当 及及 时，的夹角在什么范围内？时，的夹角在什么范围内？1cos,0 a b,10cos a bPage 55立体几何中的向立体几何中的向量方法量方法Page 561 1、用空间向量解决立体几何问题的、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间）建立立体图形与空间向量的联系，用空间

24、向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义。成相应的几何意义。（化为向量问题）（化为向量问题）（进行向量运算）（进行向量运算）（回到图形问题）（回到图形问题）Page 57la二、怎样求平面法向量？二、怎样求平面法向量？Page 581 1、已知正方体、已知正方体ABCD-A1B1

25、C1D1ABCD-A1B1C1D1的棱长为的棱长为2 2，E E、F F分别是分别是BB1BB1、DD1DD1的中点，求证：的中点，求证：（1 1）FC1/FC1/平面平面ADEADE（2 2）平面）平面ADE/ADE/平面平面B1C1FB1C1F证明：如图证明：如图1 1所示建立空间直角所示建立空间直角坐标系坐标系D-D-xyzxyz，则有，则有D D（0 0，0 0，0 0）、）、A A（2 2，0 0，0 0）、）、C C（0 0，2 2，0 0）、）、C1C1（0 0，2 2，2 2）、）、E E（2 2，2 2，1 1）、）、F F（0 0，0 0，1 1），所以），所以 )1,2,

26、0(1FC)0,0,2(DA)1,2,0(AE设设 ，分别是分别是平面平面ADEADE、平面、平面B1C1FB1C1F的法向量，则，的法向量，则，),(1111zyxn),(2222zyxnnDAnAEPage 592、已知向量 则 上的单位向量为：2,2,1aa32,32,3132,32,31或同理可求)2,1,0(2n0)1,2,0()2,1,0(n11FC11nFC/1FC21/nn（1），又FC1平面ADE，平面ADE 平面ADE/平面B1C1F（2 2）yzxzyAExDA2002n02n11取取y=1y=1，则，则 )2,1,0(1nPage 60设直线设直线l,m的方向向量分别为

27、的方向向量分别为a,b，平面，平面，的法向量分别为的法向量分别为u,v,则则线线平行：线线平行：lm a b a=kb;线面平行：线面平行：l au au=0;面面平行：面面平行：u v u=kv.线线垂直：线线垂直：l m a b ab=0;面面垂直：面面垂直：u v uv=0.线面垂直：线面垂直：l a u a=ku;三、有关结论三、有关结论Page 61异面直线所成角的范围：0,2ABCD1D结论：结论：coscos,CD AB|题型一：线线角题型一：线线角3.2.3利用空间向量求空间角利用空间向量求空间角Page 62题型二：线面角题型二：线面角直线与平面所成角的范围：直线与平面所成角

28、的范围：0,2ABOn题型二：线面角题型二：线面角直线直线AB与平面与平面所成所成的角的角可看成是向量与可看成是向量与平面平面的法向量所成的的法向量所成的锐角的余角，所以有锐角的余角，所以有 nABnABnAB,cossinPage 63题型三：二面角题型三：二面角二面角的范围：0,1n2n 2n 1ncos12|cos,|n n cos12|cos,|n n ABO关键：观察二面角的范围关键：观察二面角的范围Page 64BAMNnab一、求异面直线的距离一、求异面直线的距离nnABnABABd,cos方法指导方法指导:作直线作直线a、b的的方向向量方向向量a、b，求，求a、b的法的法向量向

29、量n，即此异面直线，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；的公垂线的方向向量；在直线在直线a、b上各取一点上各取一点A、B，作向量，作向量AB；求向量求向量AB在在n上的射影上的射影d，则异面直线，则异面直线a、b间的距间的距离为离为方法指导方法指导:作直线作直线a、b的的方向向量方向向量a、b，求，求a、b的法的法向量向量n，即此异面直线，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；的公垂线的方向向量；在直线在直线a、b上各取一点上各取一点A、B，作向量，作向量AB；求向量求向量AB在在n上的射影上的射影d，则异面直线，则异面直线a、b间的距间的距离为离为3.2.4Page 65|sin|nPAn

30、PAnPAnPAPAPOd如图点如图点P为平面外一点，点为平面外一点，点A为平面内的任为平面内的任一点，平面的法向量为一点，平面的法向量为n,过点过点P作平面作平面 的垂的垂线线PO，记，记PA和平面和平面 所成的角为所成的角为，则点，则点P到平面的距离到平面的距离n APO 二、求点到平面的距离二、求点到平面的距离Page 66例例4、已知正方形、已知正方形ABCD的边长为的边长为4，CG平面平面ABCDABCD，CG=2,ECG=2,E、F F分别是分别是ABAB、ADAD的中点，求直线的中点，求直线BDBD到平面到平面GEFGEF的距离。的距离。DABCGFExyznnPAd三、求直线与

31、平面间距离三、求直线与平面间距离Page 67例例5、在边长为、在边长为1的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，M、N、E、F分别是棱分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求的中点，求平面平面AMN与平面与平面EFDB的距离。的距离。ABCDA1B1C1D1MNEFxyznnPAd四、求平行平面与平面间距离四、求平行平面与平面间距离Page 68立体几何中的向量方法坐标法问题1：已知：ABC为正三角形，EC平面ABC,且EC,DB在平面ABC同侧，CE=CA=2BD.求证：平面ADE平面ACE.怎样建立适当的空间直角坐标系？怎样建立适当的空间直角坐标系？怎样证明平面

32、怎样证明平面ADE平面平面ACE？如何求平面如何求平面ADE、平面平面ACE的法向量？的法向量？一个平面的法向量有多少个？一个平面的法向量有多少个？能否设平面能否设平面ADE的法向量为的法向量为n n=(1,y,z)?这样做有什么好处？这样做有什么好处？Page 69解：分别以解：分别以CB，CE所在直线为所在直线为y,z轴，轴，C为原点建立空为原点建立空间直角坐标系间直角坐标系C-xyz,如右下图如右下图,设正三角形设正三角形ABC边长为边长为2则则C(0,0,0)、E(0,0,2)、D(0,2,1)、B(0,2,0)、A(31 0)，设设N为为AC中点，则中点，则N 连接连接BN，ABC为

33、正三角形，为正三角形，BNAC，EC平面平面ABC,BNEC,又又ACEC=C,BN 平面平面ACE.因此可取向量因此可取向量 为平面为平面ACE的法向量的法向量.那么那么BN 设平面设平面ADE的法向量为的法向量为n=(1,y,z),n=(1,y,z),则则33BN(,0).22 n nn nEA0DA0 3 1(0)22，Page 70 EA(312)DA(3 1 1)(1 y z312)0(1 y z)(3 1 1)032 3y=z33 而，,)(，n=n=3 2 31)33(，n n3 2 33333BN(1)(0)0332222，-，平面平面DEA平面平面ACE.为了方便计算，能否取

34、平面为了方便计算，能否取平面ACE的法向量为的法向量为(33 0)ADE(33 2 3)?，、平面的法向量为，Page 71通过上例，你能说出用坐标法解决立体几通过上例，你能说出用坐标法解决立体几何中问题的一般步骤吗？何中问题的一般步骤吗？步骤如下：步骤如下：1.建立适当的空间直角坐标系；建立适当的空间直角坐标系；2.写出相关点的坐标及向量的坐标；写出相关点的坐标及向量的坐标；3.进行相关的计算；进行相关的计算；4写出几何意义下的结论写出几何意义下的结论.Page 72小结：小结：1 1、怎样利用向量求距离？、怎样利用向量求距离？点到平面的距离：点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量连

35、结该点与平面上任意一点的向量在平面定向法向量上的射影（在平面定向法向量上的射影（如果不知道判断方向，如果不知道判断方向，可取其射影的绝对值可取其射影的绝对值）。）。点到直线的距离：点到直线的距离：求出垂线段的向量的模。求出垂线段的向量的模。直线到平面的距离：直线到平面的距离：可以转化为点到平面的距离。可以转化为点到平面的距离。平行平面间的距离：平行平面间的距离：转化为直线到平面的距离、点到转化为直线到平面的距离、点到平面的距离。平面的距离。异面直线间的距离：异面直线间的距离：转化为直线到平面的距离、点到转化为直线到平面的距离、点到平面的距离。也可运用闭合曲线求公垂线向量的模或平面的距离。也可运用闭合曲线求公垂线向量的模或共线向量定理和公垂线段定义求出公垂线段向量的模。共线向量定理和公垂线段定义求出公垂线段向量的模。1、虽然信念有时薄如蝉翼，但只要坚持，它会越来越厚的。2、很多事情努力了未必有结果，但是不努力却什么改变也没有。3、人生那么多事可以做，鸡毛蒜皮并不足以成为你的全世界。3、在我们的一生中，没有人会为你等待，没有机遇会为你停留，成功也需要速度。4、生活不能游戏人生，否则就会一事无成；生活不能没有游戏，否则就会单调无聊。5、你要求的次数愈多，你就越容易得到你要的东西，而且连带地也会得到更多乐趣。6、把气愤的心境转化为柔和，把柔和的心境转化为爱，如此，这个世间将更加完美。