解三角形（解答题）-大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）及答案.docx

1、解三角形（解答题）大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）一、解答题1在 ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c 已知 4a=5c，cosC=35 （）求 sinA 的值；（）若 b=11 ，求 ABC 的面积2记 ABC 的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为 S1，S2，S3 ，已知 S1S2+S3=32，sinB=13 （1）求 ABC 的面积； （2）若 sinAsinC=23 ，求b 3记 ABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知 sinCsin(AB)=sinBsin(CA

2、) （1）若 A=2B ，求C；（2）证明： 2a2=b2+c2 .4记 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，已知 sinCsin(AB)=sinBsin(CA) （1）证明： 2a2=b2+c2 ； （2）若 a=5，cosA=2531 ，求 ABC 的周长 5在 ABC 中， sin2C=3sinC （I）求 C ：（II）若 b=6 ，且 ABC 的面积为 63 ，求 ABC 的周长6记 ABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 cosA1+sinA=sin2B1+cos2B.（1）若 C=23， 求B；（2）求 a2+b2c2 的最小值.7已知点A(2，

3、1)在双曲线 C： x2a2y2a21=1(a1) 上，直线 l 交C于P，Q两点，直线 AP，AQ的斜率之和为0.（1）求 l 的斜率；（2）若 tanPAQ=22， 求 PAQ 的面积.8在 ABC 中，角A，B，C所对的边长分别为 a,b,c,b=a+1,c=a+2 （1）若 2sinC=3sinA ，求 ABC 的面积； （2）是否存在正整数a，使得 ABC 为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由 9已知在 ABC 中， c=2bcosB ， C=23 （1）求 B 的大小； （2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使 ABC 存在且唯一确定，并求出 BC 边上的中线的长

4、度 c=2b ；周长为 4+23 ；面积为 SABC=334 ；10在 ABC ，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c ，已知 sinA：sinB：sinC=2：1：2 ， b=2 （1）求a的值；（2）求 cosC 的值； （3）求 sin(2C6) 的值 11记ABC的内角A，B，C的对边分别为a.，b.，c,已知 b2 =ac,点D在边AC 上，BDsinABC=asinC. （1）证明：BD = b：（2）若AD = 2DC .求cosABC.12ABC 中，sin2Asin2Bsin2C=sinBsinC（1）求A； （2）若BC=3，求 ABC 周长的最大值. 13在ac=3

5、 ，csinA=3 ，c=3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由 问题：是否存在 ABC ，它的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，且 sinA=3sinB ， C=6 ， ?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分14在 ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 已知 a=22,b=5,c=13 （）求角C的大小；（）求 sinA 的值；（）求 sin(2A+4) 的值15在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 a=3,c=2,B=45 （1）求 sinC 的值； （2）在

6、边BC上取一点D，使得 cosADC=45 ，求 tanDAC 的值 16在 ABC 中， a+b=11 ，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求： （）a的值：（） sinC 和 ABC 的面积条件： c=7，cosA=17 ；条件： cosA=18，cosB=916 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分17在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsinA 3 a （）求角B；（）求cosA+cosB+cosC的取值范围18在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）若a=3c，b= 2 ，cosB= 23 ，求c的值； （2）若 sinAa=c

7、osB2b ，求 sin(B+2) 的值 19在 ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c .已知 b+c=2a ， 3csinB=4asinC . （）求 cosB 的值；（）求 sin(2B+6) 的值.20ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知 asinA+C2=bsinA（1）求B；（2）若ABC为锐角三角形，且c=1，求ABC面积的取值范围.21在ABC中，a=3，b-c=2，cosB=- 12 . （I）求b，c的值：（II）求sin（B+C）的值.22在ABC中，a=3，b-c=2，cosB=- 12 .（I）求b，c的值；（II）求sin（B-C）的

8、值.23ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC。（1）求A；（2）若 2a+b=2c ,求sinC.24在平面四边形 ABCD 中， ADC=90，A=45，AB=2，BD=5.（1）求 cosADB ；（2）若 DC=22， 求 BC .25在 ABC 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知 bsinA=acos(B6) .（）求角B的大小；（）设a=2，c=3，求b和 sin(2AB) 的值.26在ABC中，a=7，b=8，cosB=- 17 ，（）求A：（）求AC边上的高。答案解析部分1【答案】解：（） 由于 c

9、osC=35，sinC0 ，则 sinC=45 . 由正弦定理可知 4sinA=5sinC ，则 sinA=55 .（）因为 sinC=45sinA=55 ，则 AC2 ，所以 B1) 上，所以有 4a21a21=1解得 a2=2 ，所以双曲线 C：x22y2=1设直线 l：y=kx+m，P(x1，y1)，Q(x2，y2) ，联立 x22y2=1y=kx+m 消去y得到 (12k2)x24kmx2m22=0显然 12k20 ，否则不可能有两个交点，而 =(4km)24(12k2)(2m22)=8(m2+12k2)0 ，由韦达定理得 x1+x2=4km12k2 ， x1x2=2m2212k2因为

10、直线AP，AQ的斜率之和为0，所以 0=y11x12+y21x22=(y11)(x22)+(y21)(x12)(x12)(x22)所以 x12x22 所以 (y11)(x22)+(y21)(x12)=0即 (kx1+m1)(x22)+(kx2+m1)(x12)=0 ，所以有 2kx1x2+(m12k)(x1+x2)4(m1)=0 ，将韦达定理代入化简得 (k+1)(2k+m1)=0 ，而当 2k+m1=0 ，此时直线 l 为 y=kx+12k ，易知恒过定点 A(2，1) ，故舍去，所以 k=1 ，此时满足 0 .（2）又由（1）易知 x1+x2=4m，x1x2=2m2+2 ，且 |x1x2|

11、=(x1+x2)24x1x2=22m28依题可设AP斜率为 k1 ， AQ 斜率为- k1 ，则由夹角公式知（后面补充证明） 22=tanPAQ=k1k11+k1(k1) ，由对称性易知，只需考虑 k10 的情况就行，所以有 2k12+k12=0 ，解得 k1=2 或 k1=22 （舍）.而 k1=y11x12y11=k1(x12) ，同理 y21=k1(x22) ，而 AP=(x12，y11)，AQ=(x22，y21) ，SPAQ=12|(x12)(y21)(x22)(y11)|=12|k1(x12)(x22)k1(x22)(x12)|=22|(x12)(x22)|=22|x1x22(x1+

12、x2)+4|=2|m24m+3|另一方面，联立 y11=k1(x12)y1=x1+mm=k1(x12)+1+x1 ，（1）同理 m=k1(x22)+1+x2 ，（2）将以上两式相加，得 2m=k1(x1x2)+2+(x1+x2) ，解得 m=113 ，所以 SPAQ=2|m24m+3|=16298【答案】（1）因为 2sinC=3sinA ，则 2c=2(a+2)=3a ，则 a=4 ，故 b=5 ， c=6 ， cosC=a2+b2c22ab=18 ，所以， C 为锐角，则 sinC=1cos2C=378 ，因此， SABC=12absinC=1245378=1574 ；（2）显然 cba

13、，若 ABC 为钝角三角形，则 C 为钝角， 由余弦定理可得 cosC=a2+b2c22ab=a2+(a+1)2(a+2)22a(a+1)=a22a32a(a+1)0 ，解得 1a3 ，则 0aa+2 ，可得 a1 ， aZ ，故 a=2 .9【答案】（1）c=2bcosB ，则由正弦定理可得 sinC=2sinBcosB ， sin2B=sin23=32 ， C=23 ， B(0,3) ， 2B(0,23) ，2B=3 ，解得 B=6 ；（2）若选择：由正弦定理结合（1）可得 cb=sinCsinB=3212=3 ， 与 c=2b 矛盾，故这样的 ABC 不存在；若选择：由（1）可得 A=6

14、 ，设 ABC 的外接圆半径为 R ，则由正弦定理可得 a=b=2Rsin6=R ，c=2Rsin23=3R ，则周长 a+b+c=2R+3R=4+23 ，解得 R=2 ，则 a=2,c=23 ，由余弦定理可得 BC 边上的中线的长度为：(23)2+122231cos6=7 ；若选择：由（1）可得 A=6 ，即 a=b ，则 SABC=12absinC=12a232=334 ，解得 a=3 ，则由余弦定理可得 BC 边上的中线的长度为：b2+(a2)22ba2cos23=3+34+332=212 .10【答案】（1）因为 sinA：sinB：sinC=2：1：2 ，由正弦定理可得 a：b：c=

15、2：1：2 ， b=2 ， a=22，c=2 ；（2）由余弦定理可得 cosC=a2+b2c22ab=8+242222=34 ； （3）cosC=34 ， sinC=1cos2C=74 ， sin2C=2sinCcosC=27434=378 ， cos2C=2cos2C1=29161=18 ，所以 sin(2C6)=sin2Ccos6cos2Csin6=378321812=321116 .11【答案】（1）在 ABC 中， ACsinABC=ABsinC ，BDsinABC=asinC ，BDsinC=asinABC ，联立 得 ABBD=ACa ，即 ac=bBD ，b2=ac ，BD=b

16、（2）若 AD=2DC ， ABC 中， cosC=a2+b2c22ab ，BCD 中， cosC=a2+(b3)2b22ab3 ，= ，(a2+b2c2)=3a2+(b3)2b2 ，整理得 a2+b2c2=3a2+b233b2 ，2a2113b2+c2=0 ，b2=ac ，6a211ac+3c2=0 ，即 a=c3 或 a=32c ，若 a=c3 时， b2=ac=c23 ，则 cosABC=a2+c2b22ac=c29+c2c2323c2=79c223c2=76 （舍），若 a=32c ， b2=ac=32c2 ，则 cosABC=a2+c2b22ac=94c2+c232c23c2=74c

17、23c2=712 .12【答案】（1）解：由正弦定理可得： BC2AC2AB2=ACAB ， cosA=AC2+AB2BC22ACAB=12 ，A(0,) ， A=23 .（2）解：由余弦定理得： BC2=AC2+AB22ACABcosA=AC2+AB2+ACAB=9 ， 即 (AC+AB)2ACAB=9 .ACAB(AC+AB2)2 （当且仅当 AC=AB 时取等号），9=(AC+AB)2ACAB(AC+AB)2(AC+AB2)2=34(AC+AB)2 ，解得： AC+AB23 （当且仅当 AC=AB 时取等号），ABC 周长 L=AC+AB+BC3+23 ， ABC 周长的最大值为 3+2

18、3 .13【答案】解：解法一： 由 sinA=3sinB 可得： ab=3 ，不妨设 a=3m,b=m(m0) ，则： c2=a2+b22abcosC=3m2+m223mm32=m2 ，即 c=m .选择条件的解析：据此可得： ac=3mm=3m2=3 ， m=1 ，此时 c=m=1 .选择条件的解析：据此可得： cosA=b2+c2a22bc=m2+m23m22m2=12 ，则： sinA=1(12)2=32 ，此时： csinA=m32=3 ，则： c=m=23 .选择条件的解析：可得 cb=mm=1 ， c=b ，与条件 c=3b 矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：sinA=3sin

19、B,C=6,B=(A+C) ,sinA=3sin(A+C)=3sin(A+6) ,sinA=3sin(A+C)=3sinA32+3cosA12 ，sinA=3cosA ,tanA=3 ,A=23 ,B=C=6 ,若选， ac=3 ,a=3b=3c ,3c2=3 ,c=1;若选， csinA=3 ,则 3c2=3 , c=23 ;若选,与条件 c=3b 矛盾.14【答案】解：（）在 ABC 中，由 a=22,b=5,c=13 及余弦定理得 cosC=a2+b2c22ab=8+25132225=22 ，又因为 C(0,) ，所以 C=4 ；（）在 ABC 中，由 C=4 ， a=22,c=13 及

20、正弦定理，可得 sinA=asinCc=222213=21313 ；（）由 a0 ，所以 cosB=2sinB0 ，从而 cosB=255 .因此 sin(B+2)=cosB=25519【答案】解：在 ABC 中，由正弦定理 bsinB=csinC ，得 bsinC=csinB ，又由 3csinB=4asinC ，得 3bsinC=4asinC ，即 3b=4a .又因为 b+c=2a ，得到 b=43a ， c=23a .由余弦定理可得 cosB=a2+c2b22=a2+49a2169a22a23a=14 . （）由（）可得 sinB=1cos2B=154 ，从而 sin2B=2sinBc

21、osB=158 ， cos2B=cos2Bsin2B=78 ，故sin(2B+6)=sin2Bcos6+cos2Bsin6=158327812=35+71620【答案】（1）解：由题设及正弦定理得 sinAsinA+C2=sinBsinA 因为sinA 0，所以 sinA+C2=sinB 由 A+B+C=180 ，可得 sinA+C2=cosB2 ，故 cosB2=2sinB2cosB2 因为 cosB20 ，故 sinB2=12 ，因此B=60（2）由题设及（1）知ABC的面积 SABC=34a 由正弦定理得 a=csinAsinC=sin(120C)sinC=32tanC+12 由于ABC

22、为锐角三角形，故0A90，0C90，由（1）知A+C=120，所以30C90，故 12a2 ，从而 38SABC32 因此，ABC面积的取值范围是 (38,32) 21【答案】解：（I）根据余弦定理 b2=a2+c22accosB ， 故 (2+c)2=9+c223c(12) ，解得c=5，b=7；（II）根据 cosB=12 ，得 sinB=32 ，根据正弦定理， bsinB=csinC ，得 732=5sinC ，解得 sinC=5314 ，所以 cosC=1114 ，所以 sin(B+c)=sinBcosC+cosBsinC=321114+(12)5314=3314 .22【答案】 解：

23、（I）根据余弦定理 b2=a2+c22accosB ，故 (2+c)2=9+c223c(12) ，解得c=5，B=7；（II）根据 cosB=12 ，得 sinB=32 ，根据正弦定理， bsinB=csinC ，得 732=5sinC ，解得 sinC=5314 ，所以 cosC=1114 ，所以 sin(BC)=sinBcosCcosBsinC=321114(12)5314=16328=437 .23【答案】（1）解：(sinBsinC)2=sin2AsinBsinC,sin2B+sin2Csin2A=sinBsinC,由正弦定理得： b2+c2a2=bc,由余弦定理得： cosA=b2+

24、c2a22bc=12,A=3或A=53,在三角形中， 0A,A=3（2）解： 2a+b=2c， A=3由正弦定理得：2sinA+sinB=2sinA+sinAsinC+cosAsinC=2sinC,代入A得： 62+sin（23-C）=2sinC解得：sin（C-6）=22C-6=4，C=4+6sinC=（4+6）=sin4cos6+=cos4sin6=2232+2212= 6+2424【答案】（1）解：在 ABD 中，由正弦定理得 BDsinA=ABsinADB .由题设知， 5sin45=2sinADB ，所以 sinADB=25 .由题设知， ADB90 ，所以 cosADB=1225=

25、235 .（2）解：由题设及（1）知， cosBDC=sinADB=25 .在 BCD 中，由余弦定理得BC2=BD2+DC22BDDCcosBDC=25+8252225=25 .所以 BC=5 .25【答案】解：.解：（） ABC 中，由正弦定理 asinA=bsinBbsinA=asinB=acos(B6)asinB=acos(B6)sinB=cos(B6)tanB=3又 0BB=3（） ABC 中，a=2，c=3， B=3 则 b2=a2+c22accosB=7b=7由 bsinA=acos(B6)sinA=37=217a 2 ，所以 A=3 。（）设AB边上的高为h，则h=asinC.又 sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=32(17)+12437=3314 ，而h= 73314=332 。